張 巧,楊 永

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系,河南鄭州450015)

一個(gè)2n維辛流形指的是一個(gè)2n維的流形M與其上一個(gè)非退化的閉2-形式ω組成的對(duì)(M,ω)。在一篇值得慶賀的文獻(xiàn)[1]中,著名數(shù)學(xué)家Gromov引入了第一個(gè)非平凡的辛不變量——Gromov辛寬度WG。一個(gè)2n維辛流形(M,ω)的Gromov辛寬度定義為

這里B2n(r)={(x,y)∈R2n|x|2+|y|2

(單調(diào)性)若有辛嵌入φ:(M1,ω1)→(M2,ω2),則有WG(M1,ω1)≤WG(M2,ω2);

(共形性)WG(M,cω)=|c|WG(M,ω)(這里c≠0)。

Gromov辛寬度WG是第一個(gè)非平凡的不變量。記Z2n(r)={(x1,y1)∈R2n

并由此得出了辛拓?fù)渲兄腉romov非擠壓性定理。

Ekeland與Hofer受Gromov辛寬度WG性質(zhì)的推動(dòng),文獻(xiàn)[2]引入了辛容量的概念。一個(gè)辛容量是一個(gè)函子(funtor)c,它給每個(gè)辛流形(M,ω)指定了一個(gè)非負(fù)(可能無限)的數(shù)c(M,ω),并滿足下面條件:

(單調(diào)性)若有余維數(shù)為零的辛嵌入φ:(M1,ω1)→(M2,ω2),則c(M1,ω1)≤c(M2,ω2);

(共形性)c(M,λω)=|λ|c(M,ω)(?λ∈R{0});

(非平凡性)c(B2n(1),ω0)=π=c(Z2n(1),ω0)。

顯然c的單調(diào)性意味著c是一個(gè)辛不變量。容易驗(yàn)證WG是第一個(gè)辛容量。

Hofer與Zehnder[3]引入了另一個(gè)重要的辛容量cHZ即Hofer-Zehnder辛容量。辛流形(M,ω)上一個(gè)光滑函數(shù)H被稱為容許的(admissible),如果存在一個(gè)非空開子集U和一個(gè)緊致子集K?M?M,使得:

(b)0≤H≤max H;

(c)M上哈密爾頓系統(tǒng)˙x=XH(x)沒有非常值的周期小于1的周期解。這里XH定義為ω(XH,v)=d H(v)(v∈TM)。記Had(M,ω)為(M,ω)上的容許函數(shù)集。定義(M,ω)上的Hofer-Zehnder辛容量為cHZ(M,ω)?sup {maxHH∈Had(M,ω)}。它與WG滿足如下關(guān)系:

另外還有許多辛容量,它們是研究辛拓?fù)浜凸軤栴D動(dòng)力系統(tǒng)的重要的不變量,然而對(duì)辛容量進(jìn)行計(jì)算和估計(jì)通常是很困難的。在文獻(xiàn)[4]中,第一作者定義了擬辛容量的概念。特別的,他構(gòu)造了Hofer-Zehnder型的典型的擬辛容量,并用這種擬辛容量計(jì)算出了許多辛流形的Gromov辛寬度和Hofer-Zehnder辛容量,詳見文獻(xiàn)[4]與[5]。對(duì)辛容量理論的歷史與概況參見文獻(xiàn)[4,6,7]及它們的參考文獻(xiàn)。

1 主要結(jié)果及主要定理的證明

典型域是多復(fù)變函數(shù)論和復(fù)幾何中的一類重要的研究對(duì)象。四類典型域的矩陣表示[7]為

這里Z∈CmXn表示Z是m X n階的復(fù)矩陣,ˉZT表示矩陣Z的共軛轉(zhuǎn)置,以及H>0意味著H是一個(gè)正定的埃爾米特矩陣。

更一般地,由文獻(xiàn)[4]中的引理4.1、引理4.2和式(22),立即可以得到

在主要定理的證明中將給出式(3)中“cHZ(?Ι(m,n),ω)≤π”的一個(gè)簡單的證明。本文的主要結(jié)果是對(duì)另外三類典型域獲得如下估計(jì):

定理

注 (i)式(5)和(7)中的上界估計(jì)是最優(yōu)的。事實(shí)上,當(dāng)p=n=1時(shí),?Ⅱ(1)=?Ⅳ(1)=B2(1),因?yàn)閃G和cHZ都是辛容量,有

(ii)式(7)中的下界估計(jì)是最優(yōu)的。由文獻(xiàn)[7]中的引理2.1.3,線性映射

給出了?Ⅳ(4)與?Ⅰ(2,2)的一個(gè)線性同構(gòu)。這里w1=z1+i z2,w2=z1-i z2,w3=i z3-z4,w4=i z3+z4。直接計(jì)算可得

式(6)的證明 設(shè)Z∈?Ⅲ(q),由引理3,若q=2r,則存在酉方陣U∈U(q)使得

類似的,若q=2r+1,則存在酉方陣U∈U(q)使得

若Z∈Bq(q-1)(1),則有

所以λi<1(i=1,…,r),從而可得Z∈?Ⅲ(q),因此有

同樣,由式(8)知

類似上面式(5)的證明,式(6)可以從式(11)與(12)如下推得

式(7)的證明 設(shè)Z∈?Ⅳ(n),則

所以|Z|2-1<0,即Z∈B2n(1)。因此

注意到

從式(14)和(15)可以得出Z∈?Ⅳ(n),故

由Gromov辛寬度的共形性及式(1)有

類似上面式(5)和(6)的證明,理想的式(7)可以立即從式(13)、(16)和(17)推出。

[1]Gromov M.Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds[J].Invent.Math.,1985,82:307-347.

[2]Ekeland I,Hofer H.Symplectic topology and Hamiltonian dynamics[J].Mathematische Zeitschrift,1989,200:355-378.

[3]Hofer H,Zehnder E.A new capacity for symplectic manifolds[M].New York:Academic Press,1990:405-429.

[4]Lu G C.Gromov-Witten invariants and pseudo symplectic capacities[J].Israel Journal of Mathematics,2006,156:1-63.

[5]Lu G C.Symplectic capacities of toric manifolds and related results[J].Nagoya mathematical Journal,2006,181:149-184.

[6]Gin Zburg V L.The Weinstein conjecture and the theorems of nearby and almost existence[J].Progr.Math.,2005, 232:139-172.

[7]陸啟鏗.典型流形與典型域[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1963.