白瑞蒲，周恒，李佳倩

（河北大學 數(shù)學與計算機學院，河北 保定 071002）

研究報告

γ-矩陣構成的3-李代數(shù)的結構

白瑞蒲，周恒，李佳倩

（河北大學 數(shù)學與計算機學院，河北 保定 071002）

γ-矩陣是物理上有重要應用的矩陣，且γ-矩陣與3-李代數(shù)之間有著緊密的關系.證明γ-矩陣按照通常的換位運算不構成李代數(shù)，但γ-矩陣可構成復數(shù)域上的單的3-李代數(shù).研究γ-矩陣構成的3-李代數(shù)的結構性質、度量結構及3-Hom李代數(shù)結構.

3-李代數(shù)；γ-矩陣；3-Hom-李代數(shù)；度量3-李代數(shù)

MSC 2010：15A69；17B05

n-李代數(shù)［1］的研究之所以受到越來越多的數(shù)學家及物理學家的關注，是因為人們發(fā)現(xiàn)多元李代數(shù)在很多領域都有著廣泛的應用.特別是3-李代數(shù)的應用更為廣泛.3-李代數(shù)被廣泛地應用到幾何學、力學系統(tǒng)、弦論及 M2-膜理論［2-4］.例如，Bagger-Lambert理論的重要模型就是建立在度量3-李代數(shù)的結構上.因為 Hom-代數(shù)理論與向量場的形變理論及微分計算有很密切的關系，Hom-李代數(shù)中的Jacobi等式利用線性映射進行了扭轉，或是形變.所以在多元代數(shù)理論中也被廣泛的研究.

關于有限維n-李代數(shù)及n-Hom李代數(shù)的例子還很少，在文獻［5-6］中研究了特征零域上低維n-李代數(shù)的分類，及3-李代數(shù)的實現(xiàn)，為研究n-李代數(shù)的結構提供了很多依據(jù).目前利用矩陣的基本運算直接構成n-李代數(shù)的實現(xiàn)問題及n-Hom李代數(shù)的實現(xiàn)，一直是人們在探討的問題.在數(shù)學物理中，γ-矩陣（γ1，γ2，γ3，γ4）也稱為Dirac矩陣，有著非常重要的應用.γ-矩陣構成了時間空間中反變向量的一組正交基的矩陣值表示，且γ-矩陣與3-李代數(shù)之間有著緊密的關系.本文利用γ-矩陣的乘積運算構造的3-李代數(shù)的結構，且討論構造的3-李代數(shù)的度量結構及3-Hom李代數(shù)結構.本文假設所討論的代數(shù)是復數(shù)域上的代數(shù).首先介紹要用到的定義及符號.

3-李代數(shù) A是具有3-元運算［，，］的域F上的線性空間，且滿足下列恒等式：?x1，x2，x3，y2，y3∈A，

γ-矩陣γ1，γ2，γ3，γ4（也稱為Dirac矩陣）分別為：γ4＝diag（1，1，-1，-1），

記Λ為由γ1，γ2，γ3，γ4張成的復數(shù)域上的線性空間.直接計算可知，

從上面的計算可知，線性空間Λ按李代數(shù)的換位運算不能構成1個李代數(shù).

定義矩陣

其中［γi，γj］＝γiγj-γjγi為換位運算，則有下列定理.

定理1［6］線性空間Λ按運算（1）構成1個3-李代數(shù)，且具有乘法表

為進一步研究3-李代數(shù)Λ的性質，引進下面的概念.

定義1 設L是域F上的3-李代數(shù)，μ：L?L→F是線性空間L上的非退化的對稱雙線性型，如果μ滿足

則稱μ是L上的一個度量，（L，μ）是度量3-李代數(shù).

3-李代數(shù)L上的雙線性型μ如果滿足等式（2），則稱μ是具有不變性的雙線性型.

定義2 設L是域F上的線性空間，［，，］：L∧L∧L→L是L的斜對稱的3-元線性運算，α：L→L是線性變換滿足α（［x，y，z］）＝［α（x），α（y），α（z）］，?x，y，z∈L.如果α滿足對任意x，y，z，u，v∈L，有

則稱（L，［，，］，α）為3-Hom-李代數(shù).如果α＝idL，則稱（L，［，，］，idL）是平凡的3-Hom-李代數(shù).

下面首先研究3-李代數(shù)Λ的度量結構.

定理2 設μ是由γ-矩陣構成的3-李代數(shù)Λ的不變雙線性型，H＝（hij）是μ在基γ1，γ2，γ3，γ4下的度量矩陣，即hij＝μ（γi，γj）∈F，1≤i，j≤4.則hij滿足

證明根據(jù)定理1及式（3），如果

綜合上述討論可得到μ的度量矩陣為H＝diag（λ，λ，λ，-λ），λ＝μ（γ1，γ1）.

推論由γ-矩陣構成的3-李代數(shù)Λ上的對稱不變雙線性型μ非零的充要條件μ是Λ的一個度量，且在基γi，i＝1，2，3，4下的度量矩陣為diag（λ，λ，λ，-λ），λ∈F，λ≠0.

最后研究3-李代數(shù)Λ的Hom結構.

定理3 設Λ是由γ-矩陣按式（1）構成的3-李代數(shù).α∶Λ→Λ是非零線性變換.則（Λ，［，，］，α）是-3-Hom-李代數(shù)的充要條件是α＝idΛ，即Λ按式（1）定義的3-元運算構成的3-Hom-李代數(shù)結構僅有平凡結構.

證明由定理1可知，Λ的乘法表為：

設α是3-李代數(shù)Λ的非零代數(shù)同態(tài)，且滿足式（3）.因為Λ是單的3-李代數(shù)，所以α是3-李代數(shù)同構.因為Λ的自同構群Aut（Λ）的李代數(shù)為Der（Λ）＝ad（Λ），所以Λ的代數(shù)同構都為內自同構.記：

［1］ FILIPPOV V T.n-Lie algebras［J］.Sib Mat Zh，1985，26（6），126-140.

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［3］ TAKHTAJAN L.On foundation of the generalized Nambu mechanics［J］.Comm Math Phys，1994（160）：295-315.

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［6］ BAI Ruipu，BAI Chengming，WANG Jinxiu.Relations of 3-Lie algebras［J］.J Math Phys，2010，51：063505.

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Structures of 3-Lie algebras generated byγ-matrices

BAI Ruipu，ZHOU Heng，LI Jiaqian
（College of Mathematics and Computer Science，Hebei University，Baoding 071002，China）

γ-matrix is impotant in physics，and it has close relaships with 3-ary algebras.The paper proved that the vector spaceΛofγ-matrices is non a Lie algebra in the multiplication defined by commutators.The simple 3-Lie algebra constructed on the vector space，metric structures and the Hom-structures are studied.

3-Lie algebra；γ-matrix；3-Hom-Lie algebra；metric 3-Lie algebra

O152.5

A

1000-1565（2012）05-0449-04

2012-03-27

國家自然科學基金資助項目（10871192）；河北省自然科學基金資助項目（A2010000194）

白瑞蒲（1960-），女，河北保定人，河北大學教授，博士，主要從事李群、李代數(shù)方面的研究.

E-mail：bairuipu＠hbu.cn

王蘭英）