王 慶

(遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部，遼寧 大連 116052)

形變映射法及其在BBM方程中的求解應(yīng)用

王 慶

(遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課教學(xué)部，遼寧 大連 116052)

形變映射法在求解非線性方程的過程中起著重要作用，借助于計(jì)算機(jī)代數(shù)幾何系統(tǒng)，不僅得到了一類非線性波動(dòng)方程與非線性Klein?Gordon(NKG)方程特殊類型解之間的代數(shù)映射關(guān)系，而且由此給出BBM方程的許多顯示精確解。并且由這些解再次映射出了諸多行波解，在物理學(xué)的研究方面具有重要的指導(dǎo)意義。

形變映射法；BBM方程；非線性Klein?Gordon(NKG)方程

近年來,人們對(duì)非線性問題的研究逐步升溫, 非線性問題涉及到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的諸多領(lǐng)域。但要得到描述這種關(guān)系的非線性演化方程的精確函數(shù)卻并不容易。隨著數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)代數(shù)幾何系統(tǒng)的巨大發(fā)展,非線性演化方程的許多新的求解方法不斷應(yīng)運(yùn)而生,如Jacobi橢圓函數(shù)展開法[1]、雙曲函數(shù)法、李對(duì)稱群變換法、形變映射法、Darboux變換法、Backlund變換法、反散射法、齊次平衡法、對(duì)稱約化法[2]等。各種求解方法都有其各自的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，而形變映射法在求解非線性發(fā)展方程中，解法簡便靈活，解的形式多樣，深受學(xué)習(xí)者的偏愛。其基本思想是通過建立與所給的非線性方程同已知的線性或非線性方程及其解之間的代數(shù)映射關(guān)系,從而獲得所求的非線性方程的解。通過形變映射法針對(duì)BBM方程求解,它的最大優(yōu)點(diǎn)是能夠給出更多的顯式精確解。下面，筆者對(duì)形變映射法及其在BBM方程中的求解應(yīng)用進(jìn)行了研究。

1 形變映射法

我國著名科學(xué)家樓森岳先生在20世紀(jì)80年代首先提出了形變映射法[3],他通過建立三次非線性Klein-Gordon(NKG)方程得到了代數(shù)映射關(guān)系，從而可以獲得非線性偏微分方程豐富的新的顯示精確行波解[4]，包括孤子解、周期波解、雅可比橢圓函數(shù)解以及其他一些精確解。具體步驟如下：

(i)假定非線性物理方程：

F(x,t,u,ut,ux,uxx,…)=0

(1)

具有如下的形波解u(x,t)=u(ξ)，ξ=k(x-ct)，其中，k，c為待定常數(shù)。則方程(1)可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于u(ξ)的非線性常微分方程：

F(u,uξ,uξξ,…)=0

(2)

(ii)引入中間函數(shù)Φ=Φ(ξ)，滿足非線性Klein-Gordon方程：

(3)

2 BBM方程的求解

Benjamin、Bona和Mahony研究表明[1]，Kdv方程作為流體當(dāng)中長波單向傳播的模型方程是有缺點(diǎn)的，進(jìn)而提出了另一個(gè)更合適的非線性色散介質(zhì)中長波單向傳播模型方程即BBM方程：

ut+ux+uxt+αuxxt=0

取代了Kdv方程，這類方程還出現(xiàn)在其他許多數(shù)學(xué)物理問題中。在文獻(xiàn)[5]中，三次非線性NKG方程的許多精確解已經(jīng)給出。下面，筆者利用代數(shù)變換關(guān)系u=a0+a1φ2得到BBM方程多種類型的顯式精確解，如孤波解、周期波解、Jacobi橢圓函數(shù)解等。

首先，對(duì)BBM方程作行波約化：

u(x,t)=U(ξ)ξ=k(x-ct)

(4)

式中，k為波數(shù)；c為波速。將式(4)代入BBM方程，得到下面的常微分方程：

(1-c)U′+UU′-αck2U?=0

(5)

式(5)兩邊對(duì)ξ積分一次，得：

(6)

式中，A為積分常數(shù)。建立代數(shù)變換關(guān)系：

u(x,t)=U(ξ)=U(φ(ξ))=a0+a1φ2

(7)

式中，a1為待定常數(shù)，φ=φ(ξ)為三次非線性NGK方程：

(8)

的解，b，λ，μ是常數(shù)，ξ=k(x-ct)。

將式(7)和式(8)代入方程(6)，得到：

(9)

令式(9)中φi(i=0,2,4)項(xiàng)前面的系數(shù)為零，得到：

(10)

式中，α,b,c,k,λ,μ均為任意常數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[5]就可以得到BBM方程一系列解,其中大部分解與前面所求的解形式一樣，下面只列出新形式的橢圓函數(shù)解。

這樣就得到了BBM方程的新的復(fù)合形式的橢圓函數(shù)解。

3 結(jié) 語

運(yùn)用形變映射法建立三次非線性Klein-Gordon(NKG)方程，解得代數(shù)映射關(guān)系，得到了一類Kdv方程(6)豐富的新的顯示精確行波解，包括孤波解、周期波解、雅可比橢圓函數(shù)解和其他一些精確解。當(dāng)然，這只是在非線性方程的求解方法做出了一點(diǎn)嘗試，求解非線性方程有很大難度，為尋求更一般的更有普遍意義求解方法還需要更多的努力。

[1]李德生,張鴻慶.非線性演化方程橢圓函數(shù)解得一種簡單求法及其應(yīng)用[J].物理學(xué)報(bào),2006,55:1565-1570.

[2]谷超豪.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州：浙江科技出版社，1990:176-215.

[3] Lou S Y,Ni G J.The relations among a special type of solutions in some (D+1)-dimensional nonlinear equations[J].J Math Phys,1989,30:1614.

[4]傅海明,戴正德.一類Kdv方程的孤波解[J].寧夏師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,30(3):1-4.

[5]范恩貴.可積系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)代數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.004

O175 2

A

16731409(2012)11N01002