阮傳同，張瑞麗

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Jacobi橢圓函數(shù)展開法在兩個非線性偏微分方程解中的應(yīng)用

*阮傳同，張瑞麗

（周口師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南，周口 466001）

介紹構(gòu)造非線性方程精確解的一種直解代數(shù)方法——Jacobi橢圓函數(shù)展開法，并分析了Jacobi橢圓函數(shù)展開法的適用條件，揭示了Jacobi橢圓函數(shù)展開法的解題思想和技巧。最后，運用此方法構(gòu)造出了兩個非線性方程的精確解，并給出特殊情況下的波形圖。

Jacobi橢圓函數(shù)；秩；非線性方程；齊次平衡法；精確解

自然學(xué)科中的很多現(xiàn)象是非線性學(xué)科研究的重要內(nèi)容，我們可以把非線性的許多問題歸結(jié)為求解非線性偏微分方程的精確解的問題?？捎捎诜蔷€性方程的復(fù)雜性，對于非線性方程還沒有通用的解法。不過經(jīng)過長時間不斷努力，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了很多求解非線性演化方程的方法，如齊次平衡法[1]、Jacobi橢圓函數(shù)展開法[2]、雙曲正切函數(shù)展開法[3]、試探方程法[4]等，它們各具特色。其中劉式適提出的Jacobi橢圓函數(shù)展開法，不但算法直接，而且求得的非線性偏微分方程的精確解類型豐富，深受學(xué)者們喜愛。

本文利用文獻(xiàn)[5]提出了“秩”的概念，分析了Jacobi橢圓函數(shù)法的適用條件，介紹了Jacobi橢圓函數(shù)展開法的基本思想。通過求解兩個非線性方程的精確解，加深了對Jacobi橢圓函數(shù)展開法的理解。同時，也豐富了非線性方程的精確解。

１ Jacobi橢圓函數(shù)展開法[6]

假設(shè)非線性方程的一般形式為：

尋找它如下形式的行波解：

由于

以此類推：

在（3）中選擇，使得非線性方程(1)中的非線性項和最高階導(dǎo)數(shù)項平衡。

所以Jacobi橢圓函數(shù)法包含了雙曲正切函數(shù)展開法。

下面，對Jacobi橢圓函數(shù)展開法適用條件進(jìn)行分析，把(2)式代入方程(1)，方程可化為

假設(shè)方程的項數(shù)為，最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為，則上式（5）的任一項都可表示為：

根據(jù)Jacobi橢圓函數(shù)間的關(guān)系，只有(5)中每一項的秩同為奇數(shù)或偶數(shù)的情況下，才能應(yīng)用Jacobi橢圓函數(shù)展開法來求解方程(1)。

2 求解非線性方程

2.1 非線性波動方程[7]

尋找方程行波解：

把它代入方程(6)得到常微分方程如下：

并且

根據(jù)齊次平衡原則，應(yīng)有

從而，得到=1。

因此方程有如下形式的解：

對其求二階導(dǎo)，得

把（8）、（9）代入（7），得

根據(jù)吳消元法得到

從而，得到方程（6）的精確解為：

2.2 Zhiber-Shabat方程[8]

首先作變換

將（11）代入方程（10），可得

再作行波變換

其中為待定非零常數(shù)，將(13)代入方程(12)得

并且

根據(jù)齊次平衡原則

對其求導(dǎo)得

并且

把（15）、（16）、（17）、（18）代入（14）得方程

根據(jù)吳消元法得到

將（20）代入（15），則

最后將(13)，(22)代入(11)中可得到方程(10)的精確解為：

這時，（24）、（26）可約化為

３　總結(jié)

把自然學(xué)科中的非線性問題化為非線性偏微分方程求解，具有很重要的意義。通過介紹Jacobi橢圓函數(shù)展開法，求解了兩個非線性偏微分方程的顯式精確解，清楚了此方法的解題思路和步驟。仿照此方法，利用換算關(guān)系，同樣可以求解出其它形式的Jacobi橢圓函數(shù)解，限于篇幅，本文從略。值得注意的是，一定要在Jacobi橢圓函數(shù)展開法適用的條件下才能使用此方法。Jacobi橢圓函數(shù)展開法在很多自然科學(xué)中求解其它重要的方程也發(fā)揮著重要的作用。

[1] 范恩貴，張鴻慶. 非線性孤子方程的齊次平衡法[J].物理學(xué)報,1998,47 (3):353-362.

[2] 劉式適.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用[J].物理學(xué)報,2001,50(11):2068-2073.

[3] Parkes E J, Duffy B R.Travelling solitary wave solutions to a compound KdV-Burgers equation[J].Physics Letters A,1997,229:217-220.

[4] 劉成仕.試探方程法及其在非線性發(fā)展方程中的應(yīng)用[J]. 物理學(xué)報,2005,54 (6) :2505-2509.

[5] 張善卿, 李志斌. Jacobi 橢圓函數(shù)展開法的新應(yīng)用[J]. 物理學(xué)報, 2003, 52(5):1066-1069.

[6] 沈水金.Jacobi橢圓函數(shù)展開法的應(yīng)用[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報,2006,26(10):13-16.

[7] 曹瑞.一類非線性波動方程的精確行波解[J].大學(xué)物理，2012,31(6):25-27.

[8] 郭鵬，張磊，王小云，等.幾個特殊類型非線性方程的顯示精確解[J].山東大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2012,47(12): 117-120.

Jacobi elliptic function expansion method is applied to two nonlinear partial differential equations

*RUAN Chuan-tong, ZJANG Rui-li

(Department of Mathematics, Zhoukou Normal University, Zhoukou, Henan 466001, China)

We mainly introduced a method of direct Algebra -- the Jacobian elliptic function expansion method, using for constructing the exact solutions to the nonlinear equations. We also analyzed the application conditions of the Jacobi elliptic function expansion method. Furthermore, we revealed the solving ideas and skills of the Jacobi elliptic function method. Finally, we constructed the exact solutions of two nonlinear equations based on the method and the waveform diagram was given under special circumstances.

Jacobi elliptic function expansion method; rank; nonlinear equation; homogeneous balance method; exact solution

1674-8085(2013)05-0004-05

O159.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.05.002

2013-05-08；

2013-07-16

周口師范學(xué)院青年科研基金項目(2012QNB09)

*阮傳同(1979-)，男，河南淮陽人，講師，碩士生，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)研究(E-mail:ruangong8888@sina.com);

張瑞麗(1989-)，女，河南中牟人，主要從事偏微分方程及應(yīng)用研究(E-mail:859142354@qq.com).