王東方， 楊嘉陵

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 100191 北京

含膠層復(fù)合材料梁構(gòu)件性能分析

王東方， 楊嘉陵*

北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院， 100191 北京

復(fù)合材料剪切模量通常比彈性模量低1個(gè)數(shù)量級，這就導(dǎo)致復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)剪切效應(yīng)比普通梁結(jié)構(gòu)顯著得多，尤其是梁截面高度較大的情況。作為夾膠玻璃等結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料支撐框架，復(fù)合材料方管梁翼緣通常存在較弱的膠層，此時(shí)復(fù)合材料梁橫截面包含不同剪切模量的材料層，這就導(dǎo)致梁橫截面在剪切作用下發(fā)生復(fù)雜的翹曲。剪切翹曲效應(yīng)對梁結(jié)構(gòu)的性能有著極大的影響，本文在分段線性位移場假設(shè)基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了對稱面內(nèi)變形的方管梁結(jié)構(gòu)靜力以及自振周期計(jì)算模型，并同經(jīng)典梁理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，分析了梁幾何參數(shù)、膠層力學(xué)參數(shù)等因素對兩個(gè)模型計(jì)算誤差的影響。計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)膠層較弱時(shí)，弱層帶來的層間剪切效應(yīng)對梁的性能有著決定性的影響，此時(shí)經(jīng)典梁理論不再適用。

方管梁； 復(fù)合材料； 橫截面翹曲； 膠層； 分段線性

近年來，在航空工程中，復(fù)合材料層合板得到了廣泛的應(yīng)用，許多飛機(jī)內(nèi)部都有相當(dāng)一部分的復(fù)合材料承載框架。當(dāng)前針對復(fù)合材料層合板的研究大多集中在復(fù)合材料板殼[1-7]上，而針對復(fù)合材料梁構(gòu)件的研究數(shù)量[8-15]相對較少，已有的研究基本上集中在薄壁梁構(gòu)件以及含分層復(fù)合材料梁構(gòu)件[16-18]上，其理論一般都建立在一階剪切基礎(chǔ)上。關(guān)于厚壁梁的研究目前還很少見，Kim和White[19-20]采用Reddy建立的整體三次位移場理論[3]建立了閉合厚壁復(fù)合材料梁的計(jì)算模型。

復(fù)合材料框架構(gòu)件多為方管式梁，為提高梁構(gòu)件的承載力，通常在梁的上、下表面附加幾片成型復(fù)合材料板，此時(shí)方管梁翼緣厚度增加，方管梁可能成為厚壁梁。另外在某些型號飛機(jī)座艙復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中，采用復(fù)合材料制作的夾膠玻璃邊框架，翼緣存在多層膠層、多層玻璃以及復(fù)合材料板。通常來說，復(fù)合材料的剪切模量遠(yuǎn)低于面內(nèi)彈性模量，因此同普通梁構(gòu)件相比，復(fù)合材料梁構(gòu)件的剪切效應(yīng)對其性能有著更加顯著的影響。而且對于含膠層復(fù)合材料層合梁來說，一般情況下膠層的力學(xué)性能遠(yuǎn)弱于復(fù)合材料。在這種情況下，梁構(gòu)件橫截面將很難滿足平截面假設(shè)，此時(shí)采用經(jīng)典梁理論進(jìn)行求解將不可避免地帶來一定的誤差。當(dāng)前復(fù)合材料梁的研究基本上是基于整體位移場進(jìn)行計(jì)算的，然而當(dāng)梁橫斷面上各部分剪切模量相差較大且翼緣承擔(dān)剪力不可忽略時(shí)，復(fù)合材料梁橫斷面在剪力作用下的翹曲很難用簡單的整體位移場進(jìn)行描述，此時(shí)將不得不采用分層位移場[21]進(jìn)行計(jì)算。目前關(guān)于有弱層的復(fù)合材料梁的研究還很少見，為分析膠層以及剪切效應(yīng)對復(fù)合材料梁構(gòu)件性能帶來的影響，本文假定沿著梁截面高度位移場為分段線性，推導(dǎo)了含膠層復(fù)合材料方管梁構(gòu)件的靜力計(jì)算模型與自振頻率計(jì)算模型，并同經(jīng)典梁理論計(jì)算結(jié)果相對比，分析了兩個(gè)模型之間計(jì)算誤差的影響因素。

1 復(fù)合材料層合梁靜力計(jì)算模型

圖1所示復(fù)合材料梁為典型的含弱層層合梁構(gòu)件，假定圖1所示復(fù)合材料層合梁在對稱面內(nèi)彎曲，通常每一片復(fù)合材料層合板由幾十層復(fù)合材料鋪成(如圖2所示)，如果計(jì)算時(shí)細(xì)化到每一層都假定為位移分段線性，計(jì)算量將很龐大，而且也不太必要。由于單片層合板各層剪切模量相差不大且厚度較薄，因此在計(jì)算時(shí)位移場可假定如下：

1) 上翼緣附加單片層合板沿著厚度方向位移線性分布。

2) 上翼緣膠層沿著厚度方向位移線性分布。

3) 復(fù)合材料方管上翼緣位移沿著厚度方向線性分布。

4) 復(fù)合材料腹板因截面高度大，剪應(yīng)力相對較高，為減小誤差，沿著截面高度分為4段，每一段位移沿著截面高度方向線性分布。

5) 下翼緣各層位移場假定同上翼緣。

6) 如果翼緣有多個(gè)弱膠層，則應(yīng)在每個(gè)弱膠層界面進(jìn)行分段，假設(shè)整個(gè)梁斷面共劃分為m段，則加上上下表面共有m+1個(gè)界面。

7) 假設(shè)層合梁在對稱面內(nèi)變形，不考慮z向位移。

圖1 層合梁橫截面Fig.1 Cross section of a laminate beam

圖2 單片層合板鋪層示意圖Fig.2 Layer diagram of a single laminate plate

1.1 平衡控制方程的推導(dǎo)

在位移沿厚度方向線性分布的假設(shè)下，單片層合板第i層位移場可以表示為

(1)

另外由于位移場沿厚度方向線性分布，u1i、w1i、u2i、w2i與層合板上下表面位移u1(x)、w1(x)、u2(x)、w2(x)應(yīng)該滿足

(2)

式中：yi為第i個(gè)界面的y軸坐標(biāo)；h為單片層合板厚度。

第i層應(yīng)變的表達(dá)式為

(3)

一般性各向異性材料本構(gòu)方程為

(4)

式中：c1～c6為復(fù)合材料力學(xué)參數(shù)。

將式(3)和式(4)代入第i層結(jié)構(gòu)勢能表達(dá)式，可得

(5)

式中：B為層合板寬度；

單片層合板各層勢能組裝在一起，其結(jié)構(gòu)勢能表達(dá)為

(6)

式(6)為單片層合板線性位移假設(shè)下結(jié)構(gòu)勢能的表達(dá)式。如圖1所示復(fù)合材料梁，根據(jù)前述位移假設(shè)，可分別建立膠片層等各段結(jié)構(gòu)勢能表達(dá)式，然后仿照有限元結(jié)構(gòu)剛度矩陣的建立方法，將各層結(jié)構(gòu)剛度矩陣組裝在一起，形成整體層合梁結(jié)構(gòu)的勢能表達(dá)式。其中在形成腹板結(jié)構(gòu)勢能表達(dá)式時(shí)，復(fù)合材料層合板材料參數(shù)同翼緣不同，腹板應(yīng)采用復(fù)合材料面內(nèi)材料參數(shù)，而翼緣則應(yīng)采用面外材料參數(shù)。根據(jù)第1節(jié)的位移假設(shè)6),沿著高度方向?qū)⒏拱骞卜譃閙段，則加上上下表面后，共有界面數(shù)為m+1，結(jié)構(gòu)勢能表達(dá)式為

(7)

式中：q=[u1w1u2w2…umwm

基于最小勢能原理，對層合梁結(jié)構(gòu)勢能式(7)進(jìn)行變分，并假設(shè)梁兩端固定，即δq=0(x=0,x=L)，可得

(8)

從而可得到結(jié)構(gòu)的靜力平衡控制方程為

(9)

1.2 邊界條件的引入

假設(shè)層合梁兩端邊界條件為

ui(0)=0,wi(0)=0,ui(L)=0,wi(L)=0
(i=1,2,…,m+1)

可以假定位移具有下列形式：

(10)

式(10)滿足層合梁兩端的邊界條件，代入式(9)，可得

(11)

式中：

由迦遼金法[22]，式(11)兩端分別乘以sin(iπx/L) (i=1，2,…,n)，并在[0,L]區(qū)間積分，整理之后可得

K(2m+2)n×(2m+2)nA(2m+2)n×1=cp(2m+2)n×1

(12)

求解式(12)，可求得A(2m+2)n×1，即a1n、a2n、a3n、a4n、…、a(2m+1)n、a(2m+2)n，代入式(10)，即可求得層合梁各點(diǎn)位移。

2 復(fù)合材料層合梁自振頻率計(jì)算模型

式(5)中計(jì)入慣性力-ρu,tt的影響，可得

(13)

對層合梁各層組裝后，結(jié)構(gòu)勢能表達(dá)式為

(14)

對式(14)進(jìn)行變分，可得

(15)

假設(shè)q,tt=-ω2q，其中ω為結(jié)構(gòu)自振頻率，代入式(15)可得

(16)

假設(shè)層合梁結(jié)構(gòu)兩邊固定，以類似于靜力計(jì)算式(10)～式(12)的方法，可得

K(2m+2)n×(2m+2)nA(2m+2)n×1=
-ω2Km(2m+2)n×(2m+2)nA(2m+2)n×1

(17)

式(17)的求解是一個(gè)廣義特征值問題，求解其特征值，即可得到結(jié)構(gòu)的自振頻率。

3 考慮橫截面剪切翹曲效應(yīng)計(jì)算結(jié)果同經(jīng)典梁理論計(jì)算結(jié)果的對比分析

基于式(12)與式(17)進(jìn)行求解，可得到考慮橫截面剪切翹曲效應(yīng)時(shí)層合梁結(jié)構(gòu)靜力荷載作用下的位移響應(yīng)以及結(jié)構(gòu)的自振頻率。本文針對圖3和圖4所示的層合梁(兩端固定)進(jìn)行計(jì)算。

圖3 計(jì)算結(jié)構(gòu)簡圖Fig.3 Structural calculation diagram

圖4 層合梁橫斷面Fig.4 Cross section of the beam

3.1 本文算法與有限元計(jì)算結(jié)果比較驗(yàn)證

首先為驗(yàn)證本文計(jì)算模型的合理性，分別采用本文算法以及Nastran通用有限元計(jì)算軟件對含膠層層合梁進(jìn)行計(jì)算分析。在有限元計(jì)算模擬過程中，為保證分析的精確性，采用三維單元?jiǎng)澐钟邢拊W(wǎng)格，三維有限元網(wǎng)格如圖5所示。

圖5 梁橫斷面及單元局部放大圖Fig.5 Cross section and partial enlargement of the element of beam

計(jì)算中假設(shè)膠層、翼緣其他層以及腹板等材料為各向同性材料。膠層的力學(xué)參數(shù)假設(shè)為：泊松比為0.3，彈性模量為5 000 MPa，膠層厚度為2 mm。翼緣其他層以及腹板材料的力學(xué)參數(shù)假設(shè)為：泊松比為0.2，彈性模量為60 000 MPa，各層厚度相等，為2.1 mm。腹板高度hw=30 mm。在以上參數(shù)基礎(chǔ)上分別采用本文建立的算法(Analytical Model)以及有限元模型(FE Model)對層合梁進(jìn)行計(jì)算得到梁撓度曲線如圖6所示。

圖6 本文模型以及有限元模型計(jì)算得到的梁撓度曲線比較Fig.6 Comparison of deflection curves of beam based on model presented in this paper and FE model

由于有限元模型采用精細(xì)的三維單元進(jìn)行計(jì)算，因此有限元計(jì)算結(jié)果充分考慮了層合梁的腹板剪切以及弱膠層的層間剪切影響。從圖6可以看出，本文模型計(jì)算得到的梁撓度曲線同有限元模型計(jì)算得到的梁撓度曲線基本重合，這驗(yàn)證了考慮剪切翹曲效應(yīng)的本文模型的正確性，因此本文模型的計(jì)算結(jié)果是可靠的。

3.2 弱膠層層間剪切影響因素分析

假設(shè)層合梁各部分的層合板為相同材料、相同鋪層，翼緣與腹板位置層合板剪切模量不同。層合梁上層頂部作用著均布荷載p=10 kN/m，其余表面荷載為0，在此工況下分別采用本文提出的考慮橫截面剪切翹曲效應(yīng)的算法和經(jīng)典梁理論計(jì)算結(jié)構(gòu)靜力荷載作用下的位移響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的自振頻率，探討膠層力學(xué)參數(shù)、截面幾何參數(shù)等因素對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

3.2.1 膠層較強(qiáng)時(shí)橫截面翹曲對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

計(jì)算中假設(shè)翼緣以及腹板層合板采用相同鋪層[0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°]，每層厚度均為0.3 mm。假設(shè)翼緣層合板材料屬性在0°方向?yàn)?/p>

腹板層合板材料屬性在0°方向?yàn)?/p>

膠層材料屬性：膠層泊松比為0.3，彈性模量E=5 600 MPa。在這種假設(shè)下，膠層剪切模量同復(fù)合材料剪切模量相當(dāng)，從而在排除膠層影響的情況下分析是否考慮橫截面剪切翹曲效應(yīng)兩個(gè)模型之間的差別。經(jīng)典梁理論定義為模型1，考慮橫截面剪切翹曲效應(yīng)定義為模型2。分別采用兩個(gè)模型編程計(jì)算，得到層合梁跨中位移以及層合梁的第1自振周期，如圖7和圖8所示。圖7和圖8的橫坐標(biāo)是腹板高度；圖7的縱坐標(biāo)是兩個(gè)模型跨中中點(diǎn)位移相對誤差((模型2-模型1)/模型1)，圖8的縱坐標(biāo)是兩個(gè)模型的第1自振周期相對誤差((模型2-模型1)/模型1)。

圖7 兩種計(jì)算模型跨中位移對比圖(E=5 600 MPa)Fig.7 Comparison of the midpoint displacement based on the two models (E=5 600 MPa)

圖8 兩種計(jì)算模型第1自振周期對比圖(E=5 600 MPa)Fig.8 Comparison of the first vibration cycle based on the two models (E=5 600 MPa)

由圖7和圖8可以看出，隨著腹板高度的增加，兩個(gè)模型的計(jì)算誤差也隨之增大。由于在計(jì)算中，采取的膠層剪切模量同復(fù)合材料剪切模量相當(dāng)，因此基本可以排除弱膠層對計(jì)算結(jié)果的影響。兩個(gè)模型誤差隨腹板高度增大的主要原因在于，當(dāng)腹板高度增加時(shí)，橫截面剪切翹曲增大，因而采用經(jīng)典梁理論計(jì)算誤差會隨之增大。

3.2.2 膠層較弱時(shí)橫截面翹曲對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

假設(shè)復(fù)合材料層合板材料屬性以及鋪層順序不變，膠層泊松比為0.3，彈性模量E=20 MPa，這種材料假設(shè)是很典型的含弱膠層層合梁。假設(shè)腹板高度在0～60 mm之間變化，計(jì)算得到層合梁跨中位移以及層合梁的第1自振周期如圖9和圖10所示。

圖9 兩種計(jì)算模型跨中位移對比圖(E=20 MPa)Fig.9 Comparison of the midpoint displacement based on the two models (E=20 MPa)

圖10 兩種計(jì)算模型第1自振周期對比圖(E=20 MPa)Fig.10 Comparison of the first vibration cycle based on the two models (E=20 MPa)

由圖9和圖10可以看出，隨著腹板高度的增加，兩種計(jì)算模型的誤差逐漸減少，同圖7和圖8的變化趨勢相反。其主要原因在于當(dāng)膠層較弱時(shí)，膠層的層間剪切效應(yīng)影響顯著。當(dāng)腹板高度較小時(shí)，翼緣承擔(dān)的剪力相對較大，膠層的層間剪切效應(yīng)也相對較大。此時(shí)橫截面剪切翹曲效應(yīng)主要體現(xiàn)在翼緣膠層界面的層間剪切上。由圖9和圖10的計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)翼緣存在弱層(如膠層)時(shí)，經(jīng)典梁理論的計(jì)算結(jié)果誤差很大，此時(shí)應(yīng)當(dāng)采取分層位移場的方法進(jìn)行計(jì)算。

3.2.3 膠層彈性模量對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響

假設(shè)復(fù)合材料層合板材料屬性以及鋪層順序不變，腹板高度固定為15 mm，膠層泊松比固定為0.3，其彈性模量在10～5 000 MPa之間變化，計(jì)算得到層合梁跨中位移以及層合梁的第1自振周期如圖11和圖12所示。

圖11 兩種計(jì)算模型跨中位移對比圖(hw=15 mm)Fig.11 Comparison of the midpoint displacement based on the two models (hw=15 mm)

圖12 兩種計(jì)算模型第1自振周期對比圖(hw=15 mm)Fig.12 Comparison of the first vibration cycle based on the two models (hw=15 mm)

由圖11和圖12的計(jì)算結(jié)果可以看出，在膠層彈性模量低于1 000 MPa時(shí)，兩個(gè)模型的計(jì)算誤差對膠層彈性模量的取值非常敏感，其主要原因在于：當(dāng)膠層較弱時(shí)，膠層的層間剪切效應(yīng)顯著；而隨著膠層性能增強(qiáng)，膠層的層間剪切效應(yīng)逐漸減小，兩個(gè)模型的計(jì)算誤差也隨之減小。

4 結(jié) 論

當(dāng)層合梁翼緣存在膠層等弱層時(shí)，層合梁結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、膠層力學(xué)參數(shù)等對層合梁性能有顯著的影響：

1) 當(dāng)翼緣膠層較強(qiáng)，膠層界面層間剪切效應(yīng)不顯著時(shí)，經(jīng)典梁理論計(jì)算誤差相對較小，但計(jì)算誤差會隨著截面高度的增加逐漸增大。由于復(fù)合材料剪切模量通常比彈性模量低20～30倍，因此復(fù)合材料梁的剪切效應(yīng)比普通梁大得多。因此當(dāng)截面高度較大時(shí)，僅僅考慮一階剪切效應(yīng)的經(jīng)典梁理論計(jì)算誤差較大，此時(shí)應(yīng)考慮層合梁的高階剪切效應(yīng)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。

2) 當(dāng)翼緣膠層較弱，膠層界面層間剪切效應(yīng)顯著時(shí)，不應(yīng)采用經(jīng)典梁理論進(jìn)行計(jì)算，而應(yīng)在分層位移場假設(shè)基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算。

3) 隨著翼緣膠層彈性模量的增加，膠層界面層間剪切效應(yīng)逐漸減小。當(dāng)膠層是為了粘結(jié)復(fù)合材料層合板增加層合梁剛度時(shí)，應(yīng)盡可能采用高彈性模量膠層；當(dāng)復(fù)合材料梁是作為夾膠玻璃等支撐框架時(shí)，夾膠玻璃中的弱膠層、玻璃與梁之間的弱膠層對復(fù)合材料梁的性能影響較大，應(yīng)采用分層位移場假設(shè)進(jìn)行計(jì)算。

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AnalysisofthePerformanceofaBeamMadeofCompositeMaterialswithaGlueLayer

WANGDongfang,YANGJialing*

SchoolofAeronauticScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Becausetheshearmodulusofacompositematerialisusuallyfarlessthanitselasticmodulus,shearresponseplaysagreatroleintheperformanceofabeammadeofcompositematerials,especiallyinthecaseofabeamwithlargesectionheight.Whenasquarepipebeammadeofcompositematerialssupportsastructuremembersuchasaglass-glue-glassstructure,thereisaweakergluelayerinthemiddleofthebeamflange.Inthiscase,complexwarpingwillbeproducedinthebeamcrosssectionbecauseofshearing.Basedonthepiecewiselineardisplacementfieldtheory,calculationmodelsofstaticanalysisandself-vibrationfrequencyaresetupforasquarepipebeammadeofcompositematerialsanddeformedwithinthesymmetryplane,andtheresultsarecomparedwiththosefromclassictheory.Thecalculationresultsinthispaperprovethatthegeometryparametersofthebeamandthemechanicalparametersofthegluelayerhavegreateffectontheperformanceofthebeam;inparticular,whentheglueisbyfarweakerthanthecompositematerial,theglueplaysadominantrole，andinthissituationtheclassicbeamtheoryisnotapplicable.

squarepipebeam;compositematerial;cross-sectionwarping;gluelayer;piecewiselinearity

2012-03-14；Revised2012-04-10；Accepted2012-04-24；Publishedonline2012-07-111704

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WangDF,YangJL.Analysisoftheperformanceofabeammadeofcompositematerialswithagluelayer.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1655-1663. 王東方，楊嘉陵. 含膠層復(fù)合材料梁構(gòu)件性能分析. 航空學(xué)報(bào)，2012,33(9):1655-1663.

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