桑利恒，杜雪樵

（1.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000；2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

分?jǐn)?shù)－跳擴(kuò)散模型下的兩種奇異期權(quán)定價(jià)

桑利恒1，杜雪樵2

（1.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 滁州 239000；2.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

在股票價(jià)格遵循帶有非時(shí)齊Poisson跳躍的分?jǐn)?shù)擴(kuò)散過程的假定下，刻畫了股票價(jià)格的相依性和市場中重大信息的到達(dá)引起股票價(jià)格的跳躍，同時(shí)利用鞅方法，導(dǎo)出了兩種奇異期權(quán)的定價(jià)公式.

分?jǐn)?shù)－跳擴(kuò)散 風(fēng)險(xiǎn)中性測度 上限型買權(quán) 抵付型買權(quán)

期權(quán)是金融衍生產(chǎn)品中重要產(chǎn)品之一，而期權(quán)定價(jià)是金融數(shù)學(xué)研究的核心問題。1973年Black和Scholes提出了著名的B－S期權(quán)定價(jià)模型［1］，該模型假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。由于實(shí)際分析發(fā)現(xiàn)股票價(jià)格變化并不總是連續(xù)的，于是在1976年Merton首先提出了股票價(jià)格的跳過程為Poisson跳的跳擴(kuò)散模型［2］，其后，Aase建立了It過程和隨機(jī)點(diǎn)過程混合模型［3］；Jarrow（1992）建立了隨機(jī)利率模型；Schweizer建立了一般半鞅模型［4］；以及Chan建立了幾何Levy過程的模型［5］等。但由于投資者的投機(jī)心理和從眾心理，使得股票價(jià)格對(duì)過去價(jià)格具有某種依賴性，而分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)恰好能刻畫這種依賴性，于是一些學(xué)者考慮用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來刻畫股票價(jià)格的變化，其中貢獻(xiàn)最為突出的是Hu和Kendal［7］，他們給出了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)積分的理論及其在金融中的應(yīng)用。文獻(xiàn)［8］～［11］分別研究了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下期權(quán)定價(jià)問題。

利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫了股票價(jià)格的變化，并且利用了Poisson過程刻畫了重大信息到達(dá)時(shí)股票價(jià)格的較大波動(dòng)。在此基礎(chǔ)上假設(shè)股票價(jià)格滿足分?jǐn)?shù)一跳擴(kuò)散過程，并設(shè)有股票預(yù)期收益率，波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率均為時(shí)間函數(shù)。運(yùn)用鞅方法給出了上限型實(shí)權(quán)和抵付型買權(quán)兩種奇異期權(quán)的定價(jià)公式。

1 預(yù)備知識(shí)與模型假設(shè)

定義1.1［7］設(shè)0＜H＜1，Hurst參數(shù)為 H的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為一個(gè)連續(xù)高斯過程｛BH（t），t∈R＋｝，滿足BH（0）＝0和E［BH（t）］＝0且協(xié)方差為：

設(shè)（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)t，P）是一個(gè)具有σ－流的概率空間，其中Ft是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)BH（t）產(chǎn)生的自然σ－流?，F(xiàn)在我們假設(shè)，Itó型分?jǐn)?shù)Black－Scholes市場僅有兩種證券：一種是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假定為債券，另一種是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假定為股票，其中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格滿足如下方程：

其中，r（t）為無風(fēng)險(xiǎn)利率。

假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程｛S（t），t≥0｝滿足其中u（t）為股票的瞬時(shí)期望收益率，σ（t）為股票的瞬時(shí)波動(dòng)率，N（t）表示股票價(jià)格在［0，t］內(nèi)隨機(jī)跳躍次數(shù)，它是與BH（t）獨(dú)立的參數(shù)為λ（t）的非時(shí)齊Poisson跳躍過程，（Vi）i≥0表示在隨機(jī)時(shí)刻i＝0，1，2，…，N（t）的跳躍高度，無發(fā)生跳躍時(shí)V0＝0，Vi（＞－1）為股票價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)股票價(jià)格的相對(duì)跳躍高度，設(shè)（Vi）i≥0，N（t）與BH（t）相互獨(dú)立，θ為Vi的無條件期望，即Ε（Vi）＝θ，它表示股票價(jià)格由跳帶來的平均增長率。記σ20為ln（1＋Vi）的方差，則

2 分?jǐn)?shù)－跳擴(kuò)散過程模型下的兩種奇異期權(quán)的定價(jià)

2.1 上限型買權(quán)定價(jià)

定義2.1 上限型買權(quán)在到期時(shí)T的現(xiàn)金流量為：

證畢。

2.2 抵付型買權(quán)定價(jià)

定義2.2 抵付型買權(quán)在到期時(shí)T的現(xiàn)金流量為：

其中K＜L給定，K為敲定價(jià)格，由現(xiàn)金流量知這種期權(quán)只有當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S（T）高于L時(shí)才支付現(xiàn)金。

運(yùn)用類似的證明方法可以得到以下定理：

定理2.2 設(shè)S（t），P（t）分別滿足（1）和（2），則抵付型買權(quán)的定價(jià)公式為：

注：1）在文中所述的這兩種奇異期權(quán)，當(dāng)上限型權(quán)證中K2→∞，抵付型買權(quán)K＝L時(shí)，則它們?yōu)闅W式看漲期權(quán)。

2）當(dāng)λ為常數(shù)時(shí)，方程（2）為帶時(shí)齊Poisson跳躍過程的分?jǐn)?shù)型擴(kuò)散過程，同樣可得出與上述兩個(gè)定理類似的結(jié)果。

3）把假設(shè)中的0時(shí)刻該為t時(shí)刻，那么對(duì)于方程（3）則有：對(duì)于0≤t≤T有，

用類似的方法可以得出這兩種奇異期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)格。

［1］Black F.Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities［J］.Journal of Political Economy，1973.81（3）：637－654.

［2］Merton R C.Option pricing when underling stock returns are discontinuous［J］.Journal of Economy，1976.3：125－144.

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［12］Merton Robert C.Continuous－Time Finance（Revised Edition），Blackwell Publishers Inc.，（1997）.中文版.R.C.默頓，連續(xù)時(shí)間金融（修訂版），北京：中國人民大學(xué)出版社，（2005）.

Pricing of Two Kinds of Exotic Options with a Fractional－Jump－diffusion Models

Sang Liheng，Du Xueqiao

In order to characterize the dependence in stock prices and the stock price jumps caused by the arrival of significant information in markets，this article assumes the stock price follows with a nonhomogeneous Poisson jump－diffusion process scores and derives the pricing formulas of the two exotic options by martingale method by the way of the existing integral theory.

Fractional-Jump-diffusion；risk-neutral measure；capped calls；deductible calls

0211.6

A

1673-1794（2012）02-0028-04

桑利恒（1983－），男，安徽太和人，助教，理學(xué)碩士，研究方向：金融工程。

滁州學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目（2011KJ003B）

2011-12-22