周 蘊(yùn)

(鄭州市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，鄭州 450052)

基于MATLAB的秩虧自由網(wǎng)平差研究

周 蘊(yùn)

(鄭州市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，鄭州 450052)

針對(duì)傳統(tǒng)經(jīng)典平差固定基準(zhǔn)存在的缺陷，研究基于MATLAB的秩虧自由網(wǎng)平差算法，在分析秩虧自由網(wǎng)平差函數(shù)模型和隨機(jī)模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用MTLAB進(jìn)行秩虧自由網(wǎng)平差，結(jié)果表明克服傳統(tǒng)經(jīng)典平差的不足，對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行更嚴(yán)密的平差，準(zhǔn)確地給出所有觀測(cè)點(diǎn)的誤差，對(duì)指導(dǎo)變形分析有重要的應(yīng)用價(jià)值。

MATLAB；秩；自由網(wǎng)；平差

MATLAB是由美國(guó)MathWorks公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。MATLAB的英文全稱是Matrix Laboratory，可直譯為矩陣實(shí)驗(yàn)室。測(cè)量數(shù)據(jù)的處理特別是測(cè)量平差主要應(yīng)用矩陣運(yùn)算，而MATLAB又特別易于做矩陣運(yùn)算，因此研究開發(fā)基于MATLAB的秩虧自由網(wǎng)平差具有極好的應(yīng)用價(jià)值。

1.秩虧自由網(wǎng)平差數(shù)學(xué)模型

1.1秩虧自由網(wǎng)平差概述

經(jīng)典平差中，都是以已知的起算數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將控制網(wǎng)固定在已知數(shù)據(jù)上。如水準(zhǔn)網(wǎng)必須至少已知網(wǎng)中某一點(diǎn)的高程，平面網(wǎng)至少要已知一點(diǎn)的坐標(biāo)、一條邊的邊長(zhǎng)和一條邊的方位角。當(dāng)網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時(shí)，我們稱其為自由網(wǎng)，網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)時(shí)的平差方法，即自由網(wǎng)平差。

函數(shù)模型為：

V=AX-l

(1)

隨機(jī)模型為：

D=σ02Q=σ02P-1

(2)

在經(jīng)典平差中，A為列滿秩矩陣，而在自由網(wǎng)平差中，R(A)=t-d，d為秩虧數(shù)，在最小二乘原則下，求得法方程為：

NX=ATPl

(3)

R(N)=R(A)=t-d。由于N是奇異的，故法方程是相容方程，它可以有無數(shù)解。在經(jīng)典平差里，滿足誤差方程的V有無數(shù)組，選擇其中VTPV=min這組?？梢赃\(yùn)用相似的原理附加一個(gè)最小范數(shù)條件

XTX=min

(4)

從而得到法方程的唯一解。

X=N+ATPl

(5)

(5)式中，N+為N的偽逆，這就是基于廣義逆矩陣原理的直接平差方法(即秩虧自由網(wǎng)平差)。

1.2 邊角網(wǎng)秩虧自由網(wǎng)平差數(shù)學(xué)模型

1.2.1 觀測(cè)邊長(zhǎng)誤差方程

圖1 邊長(zhǎng)觀測(cè)示意圖

(6)

按泰勒公式展開，得

(7)

式中

令

(8)

可得測(cè)邊的誤差方程為

(9)

(9)式中右邊前4項(xiàng)之和是由坐標(biāo)改正數(shù)引起的邊長(zhǎng)改正數(shù)。(9)式就是測(cè)邊坐標(biāo)平差誤差方程的一般形式，因在自由網(wǎng)中兩端都是待定點(diǎn)，所以系數(shù)均不為0。

1.2.2觀測(cè)方向誤差方程

圖2 方向觀測(cè)示意圖

(10)

由近似坐標(biāo)引起的近似坐標(biāo)方位角的改正數(shù)為δαjk，即

(11)

將方位角改正數(shù)表達(dá)為坐標(biāo)改正數(shù)可以利用

(12)

將(12)、(11)及

代入(10)式，即得jk方向的誤差方程：

(13)

(13)式中常數(shù)項(xiàng)

1.2.3 邊角網(wǎng)平差隨機(jī)模型

確定邊、方向兩類觀測(cè)的隨機(jī)模型，主要是為了給定兩類觀測(cè)值的權(quán)比問題。邊角網(wǎng)中各邊長(zhǎng)和各方向觀測(cè)相互之間都是獨(dú)立的，因此隨機(jī)模型D=σ02Q=σ02P-1中的權(quán)陣是對(duì)角陣。設(shè)網(wǎng)中有n1個(gè)角度觀測(cè)β1,β2,β3…,βn和n2個(gè)邊長(zhǎng)觀測(cè)S1，S2，…,Sn,n1+n2=n,則權(quán)陣為

P=diag(pβ1,…,pβn1,ps1,…,psn2)

(14)

定權(quán)公式為：

(15)

式中σβ1=σβ2=…=σβ。定權(quán)時(shí)一般令

(16)

即以方向觀測(cè)中誤差為邊角網(wǎng)平差中的單位權(quán)觀測(cè)值中誤差，由此可得：

(17)

2.基于MATLAB的自由網(wǎng)平差

2.1 控制點(diǎn)的自動(dòng)獲取

為減少用戶不干預(yù)的情況下進(jìn)行平差計(jì)算，本文采用從原始觀測(cè)文件獲取控制點(diǎn)的方法。具體算法為：在邊角網(wǎng)中，把所有點(diǎn)視為測(cè)站點(diǎn)或照準(zhǔn)點(diǎn)，所以只需對(duì)邊長(zhǎng)和角度觀測(cè)文件進(jìn)行遍歷并把點(diǎn)號(hào)存入相應(yīng)數(shù)組中即可。

2.2近似坐標(biāo)的計(jì)算

考慮到變形監(jiān)測(cè)的邊角網(wǎng)大多為邊角同測(cè)網(wǎng)，在計(jì)算近似坐標(biāo)時(shí)采用的是極坐標(biāo)法，基本思路：若存在已知方位角，首先判斷該方位角的起點(diǎn)是否是已知點(diǎn)A、終點(diǎn)是否是所求的待定點(diǎn)P，如果是，搜索邊長(zhǎng)AP即可按極坐標(biāo)公式計(jì)算坐標(biāo)；若沒有已知方位角或其終點(diǎn)不是P，則搜索與P有方向觀測(cè)的已知點(diǎn)A，再由A搜索另一個(gè)已知點(diǎn)B，且A到B有方向觀測(cè)值，于是可求出AP的方位角，在搜索AP的邊長(zhǎng)觀測(cè)值，由極坐標(biāo)公式即可計(jì)算P點(diǎn)的坐標(biāo)。

2.3平差計(jì)算和精度評(píng)定

在邊角網(wǎng)的誤差方程的線性化的過程中運(yùn)用的是泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行展開的，為保證平差結(jié)果的正確性，理論上說近似值應(yīng)很接近坐標(biāo)的真實(shí)值，這樣引起的改正數(shù)誤差才足夠小。本文采用的是迭代趨近，直至坐標(biāo)改正值小于0.1mm，這就保證了平差坐標(biāo)的可靠性，為后續(xù)的變形分析提供可靠的依據(jù)。

3.秩虧自由網(wǎng)平差結(jié)果及分析

采用的數(shù)據(jù)為pad2002邊角網(wǎng)算例(原網(wǎng)形如圖 3)，進(jìn)行自由網(wǎng)平差。平差結(jié)果見表1，表 2和表 3，驗(yàn)后平面單位權(quán)中誤差=0.67s，迭代次數(shù)為3。

圖3 采用算例邊角網(wǎng)網(wǎng)形圖

測(cè)站點(diǎn)照準(zhǔn)點(diǎn)邊長(zhǎng)觀測(cè)值(m)改正數(shù)(mm)邊長(zhǎng)平差值(m)132300.061.342300.06134143090.3531.83090.3548253643.234-9.313643.22469232115.9194.062115.92306244363.611-6.54363.6045352169.0733.522169.07652342620.9091.022620.91002453922.86-1.973922.85803

比較圖 3和圖 4不難看出，采用重心基準(zhǔn)進(jìn)行的秩虧自由網(wǎng)平差算法，有效克服了傳統(tǒng)經(jīng)典平差固定基準(zhǔn)的缺陷，準(zhǔn)確給出了所有觀測(cè)點(diǎn)(含固定基準(zhǔn)下已知點(diǎn)1，2)的誤差并形象繪制了誤差橢圓。為變形網(wǎng)的分析和變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的后處理提供了可靠的數(shù)據(jù)和準(zhǔn)確快捷的圖形分析依據(jù)。

4.結(jié)語

本文采用MATLAB開發(fā)的自由網(wǎng)平差程序克服了傳統(tǒng)經(jīng)典平差的不足，對(duì)變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行了更嚴(yán)密的平差，準(zhǔn)確的給出了所有觀測(cè)點(diǎn)的誤差。對(duì)指導(dǎo)變形分析和工程應(yīng)用有著重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。

表2 方向平差結(jié)果

表3 坐標(biāo)平差結(jié)果

圖4 邊角網(wǎng)網(wǎng)形圖及誤差橢圓圖(誤差橢圓比例為100)

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2012-01-14

周蘊(yùn)(1979—)，男，湖南攸縣人，鄭州市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院工程師，主要從事測(cè)繪工程技術(shù)研究。

P228.4；TP319.9

A

1008-3715(2012)02-0119-03

(責(zé)任編輯呂志遠(yuǎn))