粟塔山
(國防科技大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)
講授Riesz表示定理的兩點(diǎn)注記
粟塔山
(國防科技大學(xué)理學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)
對(duì)講授Riesz表示定理提出了兩點(diǎn)可供參考的資料和建議.
Riesz表示定理;超平面
筆者近年為工科碩士生講授《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程,使用的教材是《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(吳翊,李超,羅建書,戴清平編著,高等教育出版社,2006).講到Riesz表示定理時(shí),筆者圍繞該定理作了一點(diǎn)鋪墊和引申,這對(duì)于學(xué)生更細(xì)致地理解Hilbert空間可能有些益處.
Riesz表示定理的關(guān)鍵結(jié)論是:對(duì)于Hilbert空間X上的任何線性有界泛函f,存在對(duì)應(yīng)的元素y∈X,使得
稱y為f的表示.教材給出的證明是簡(jiǎn)潔而清晰的:當(dāng)f=0,取y=0即可;當(dāng)f≠0,則f的核N(f)≠X,從而N⊥(f)≠0,于是可取到y(tǒng)0∈N⊥(f),y0≠0.作
驗(yàn)證即得.第一次講授時(shí),有學(xué)生提問:怎么想到要這樣選取y呢?筆者當(dāng)時(shí)沒能回答.
教材畢竟不是教案,也許教師的課堂講授應(yīng)該說出教材沒有說出的話.筆者感覺,如果在Riesz表示定理之前做一些適當(dāng)?shù)匿亯|,就能讓學(xué)生更輕松地接受定理的證明.于是,筆者第二年講授該定理時(shí),先補(bǔ)充了一個(gè)結(jié)論(此前,教材中已經(jīng)講述了投影定理).
引理 設(shè)f是Hilbert空間X上的線性有界泛函,且f≠0,那么,N(f)與X只差1維,即存在y0∈N⊥(f),y0≠0,使得
其中[y0]表示y0的張成子空間表示正交和.
證 由f的線性連續(xù)性易知N(f)是X的閉子空間.又因?yàn)閒≠0,即N(f)≠X,故存在y∈X,y?N(f),取
其中是y在N(f)中的投影,從而y0∈N⊥(f),y0≠0.現(xiàn)在?x∈X,
有了這個(gè)引理,再來考察對(duì)于給定的線性連續(xù)泛函f,如何找到y(tǒng),使得
首先注意到,當(dāng)x∈N(f)時(shí),上式左邊為零,故必須y∈N⊥(f).而根據(jù)引理,N⊥(f)是y0張成的一維子空間,所以y必然形如y=λy0,再如下確定λ:
當(dāng)f(x)≠0時(shí),欲使得
等式右邊改寫為
這樣,學(xué)生對(duì)y的來龍去脈有了比較清晰的理解.
為了更細(xì)致地理解Riesz表示定理,對(duì)比Rn中過原點(diǎn)的超平面
π是Rn中的n-1維子空間,與Rn只差1維,這個(gè)性質(zhì)與N(f)類似.所以,也可以把N(f)看成X中的超平面.還注意到f的表示y使得
即y可以看成超平面N(f)的法向,它相當(dāng)于π的法向量a=(a1,a2,…,an)T.
設(shè)fi(i=1,…,r)是X上r個(gè)線性連續(xù)泛函,稱
為齊次線性方程組.如果fi對(duì)應(yīng)的表示為yi,則方程組可以寫作
顯然該齊次方程組的通解是X的子空間
這里[y1,…,yr]表示由y1,…,yr張成的子空間.
對(duì)非零常數(shù)c,{x∈X|f(x)=c}是不過原點(diǎn)的超平面(不再是子空間),它是一個(gè)仿射集(集合中任意兩點(diǎn)的連線屬于該集合).類似地,稱(當(dāng)c1,…,cr不全為零)
為非齊次方程組.由Riesz表示定理,該方程組也可寫作
我們有與有限維空間同樣的結(jié)論,即非齊方程組的通解等于一個(gè)特解加上齊方程組的通解.
命題設(shè)
那么,V=x*+M.
上述內(nèi)容使得學(xué)生對(duì)Riesz表示定理有了更細(xì)致的理解,也初步認(rèn)識(shí)了無窮維空間中的線性方程組.這些內(nèi)容對(duì)工科碩士生都是容易接受的.為此花費(fèi)的時(shí)間至多1學(xué)時(shí).
[1]吳翊,李超,羅建書,戴清平.應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2006.
[2]Luenberger D G.最優(yōu)化的矢量空間方法[M].北京:國防工業(yè)出版社,1987.
O177.1
C
1672-1454(2012)04-0133-03
2010-03-08