弱n次積分半群拓?fù)?/h1>
2012-11-02 07:15畢偉
延安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） 2012年4期
畢 偉
(延安大學(xué) 學(xué)報編輯部，陜西 延安 716000)
1 預(yù)備知識
設(shè)(X，‖·‖)為 Banach 空間，(X，‖·‖)'為 X 的共軛空間，B(X)為X到X的有界線性算子的全體，A是X中的線性算子，R(λ，A)、ρ(A)分別表示 A的預(yù)解式、預(yù)解集。
定義1.1［1］設(shè) n∈N，稱強(qiáng)連續(xù)算子族{T(t)，t≥0}?B(X)是(X，‖·‖)中的n次積分半群，如果:
又稱T(t)是非退化的，如果T(t)x=0(t≥0)蘊(yùn)涵x=0.
定義1.2［1］設(shè)A為Banach空間X中的閉線性算子(不必稠定)，n為非負(fù)整數(shù)，若存在X中的強(qiáng)連續(xù)算子族{T(t)，t≥0}?B(X)以及常數(shù)ω≥0，M≥0，滿足‖T(t)‖≤Meωt(t≥0)使得(ω，+∞)?ρ(A)及
2 主要結(jié)果
對?λ ＞ ω 及 x'∈(X，‖·‖)'，令 Pλ，x'(x)=|x'［R(λ，A)x］|，x∈X，則利用 n 次積分半群的定義可以驗(yàn)證，對?x，y∈X及λ＞ω有:
即Pλ，x'(x)是X上的一擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S={Pλ，x':λ＞ω}可以誘導(dǎo)出一局部凸向量拓?fù)?，記為?
定義2.1 由上述擬范數(shù)族 S={Pλ，x':λ ＞ ω}導(dǎo)出的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為X的相對于x'的弱n次積分半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X，τ).
引理2.1［2］設(shè)E是線性空間，A1、B1是E上的兩族擬范數(shù)，則由A1確定的拓?fù)淙跤谟葿1確定的拓?fù)涞某湟獥l件是:對于每個 q∈A1，必存在 p1，p2，…，pm∈B1以及正數(shù)c1，c2…，cm使得對一切x∈E下式成立:
定理2.1 由范數(shù)所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)鋸?qiáng)于X上的弱n次積分半群拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?λ ＞ω，x'∈X'及x∈X，有:
Pλ，x'(x)=|x'［R(λ，A)x］|≤‖x'‖·‖R(λ，A)‖·‖x‖再根據(jù)引理2.1，定理得證。
定義2.2 在一局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，若對于任意的 Cauchy序列{xn}，{x'［R(λ，A)xn］}(λ＞ω)都收斂，則稱X相對于x'是弱n次積分半群完備的。
定理2.2 局部凸線性拓?fù)淇臻g(X，τ)是弱n次積分半群完備的。
證明 設(shè){xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，則對于任意連續(xù)擬范數(shù)q(x)及ε＞0，集合U={x:q(x)＜ε}構(gòu)成零的一個環(huán)境，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m ＞N 時，有(xn－xm)∈U，即 q(xn－xm)＜ ε，特別地，對?Pλ，x'(x)∈S 有
可知{x'［R(λ，A)xn］}(λ ＞ ω)是一 Cauchy數(shù)列，從而必收斂。再由定義2.2可得(X，τ)是弱n次積分半群完備的。
定理2.3 設(shè){T(t)，t≥0}是非退化的n次積分半群且x'≠0，則{T(t)，t≥0}誘導(dǎo)出的弱 n次積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明 因?yàn)閧T(t)，t≥0}是非退化的，即若對?t有 T(t)x=0，那么必有 x=0，所以對?x≠0，有
從而對?x≠y，即x－y≠0，必存在一 α∈(ω，+∞)使得 Pα，x'(x)=3d ＞0，令 V={x:Pα，x'(x)≤1}，則 x的環(huán)境x+dV與y的環(huán)境y+dV互不相交，即弱n次積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
對于不同的x'∈X'的弱n次積分半群拓?fù)渲g的關(guān)系，有如下結(jié)果:
定理2.4 設(shè) λ，μ ＞ ω 且 λ，μ∈ρ(A)，x'1，x'2∈X'，x'=αx'1+βx'2其中 α，β 為任意常數(shù)，則由擬范數(shù)族{Pλ，x'(x):λ＞ω}所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)族{Pλ，x'1(x)，Pλ，x'2(x):λ ＞ ω}所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?x∈X有:
再根據(jù)引理2.1，可得定理成立。
定理2.5 X上的弱n次積分半群拓?fù)淙跤趎次積分半群拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?x＞ω，x'∈X'及x∈X有:
再根據(jù)引理2.1和n次積分半群拓?fù)涞母拍?，可得定理成立?/p>
［1］鄭權(quán).積分半群與抽象Cauchy問題［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1992，21(3):257－273.
［2］夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.
［3］王曉夢，趙華新，常勝偉.積分半群拓?fù)洌跩］.延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007，26(4):10 －11.
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定義1.1［1］設(shè) n∈N，稱強(qiáng)連續(xù)算子族{T(t)，t≥0}?B(X)是(X，‖·‖)中的n次積分半群，如果:
又稱T(t)是非退化的，如果T(t)x=0(t≥0)蘊(yùn)涵x=0.
定義1.2［1］設(shè)A為Banach空間X中的閉線性算子(不必稠定)，n為非負(fù)整數(shù)，若存在X中的強(qiáng)連續(xù)算子族{T(t)，t≥0}?B(X)以及常數(shù)ω≥0，M≥0，滿足‖T(t)‖≤Meωt(t≥0)使得(ω，+∞)?ρ(A)及
2 主要結(jié)果
對?λ ＞ ω 及 x'∈(X，‖·‖)'，令 Pλ，x'(x)=|x'［R(λ，A)x］|，x∈X，則利用 n 次積分半群的定義可以驗(yàn)證，對?x，y∈X及λ＞ω有:
即Pλ，x'(x)是X上的一擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S={Pλ，x':λ＞ω}可以誘導(dǎo)出一局部凸向量拓?fù)?，記為?
定義2.1 由上述擬范數(shù)族 S={Pλ，x':λ ＞ ω}導(dǎo)出的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為X的相對于x'的弱n次積分半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X，τ).
引理2.1［2］設(shè)E是線性空間，A1、B1是E上的兩族擬范數(shù)，則由A1確定的拓?fù)淙跤谟葿1確定的拓?fù)涞某湟獥l件是:對于每個 q∈A1，必存在 p1，p2，…，pm∈B1以及正數(shù)c1，c2…，cm使得對一切x∈E下式成立:
定理2.1 由范數(shù)所導(dǎo)出的局部凸向量拓?fù)鋸?qiáng)于X上的弱n次積分半群拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?λ ＞ω，x'∈X'及x∈X，有:
Pλ，x'(x)=|x'［R(λ，A)x］|≤‖x'‖·‖R(λ，A)‖·‖x‖再根據(jù)引理2.1，定理得證。
定義2.2 在一局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，若對于任意的 Cauchy序列{xn}，{x'［R(λ，A)xn］}(λ＞ω)都收斂，則稱X相對于x'是弱n次積分半群完備的。
定理2.2 局部凸線性拓?fù)淇臻g(X，τ)是弱n次積分半群完備的。
證明 設(shè){xn}是(X，τ)中的任意Cauchy序列，則對于任意連續(xù)擬范數(shù)q(x)及ε＞0，集合U={x:q(x)＜ε}構(gòu)成零的一個環(huán)境，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n，m ＞N 時，有(xn－xm)∈U，即 q(xn－xm)＜ ε，特別地，對?Pλ，x'(x)∈S 有
可知{x'［R(λ，A)xn］}(λ ＞ ω)是一 Cauchy數(shù)列，從而必收斂。再由定義2.2可得(X，τ)是弱n次積分半群完備的。
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證明 因?yàn)閧T(t)，t≥0}是非退化的，即若對?t有 T(t)x=0，那么必有 x=0，所以對?x≠0，有
從而對?x≠y，即x－y≠0，必存在一 α∈(ω，+∞)使得 Pα，x'(x)=3d ＞0，令 V={x:Pα，x'(x)≤1}，則 x的環(huán)境x+dV與y的環(huán)境y+dV互不相交，即弱n次積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
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證明 因?yàn)閷?x∈X有:
再根據(jù)引理2.1，可得定理成立。
定理2.5 X上的弱n次積分半群拓?fù)淙跤趎次積分半群拓?fù)洹?/p>
證明 因?yàn)閷?x＞ω，x'∈X'及x∈X有:
再根據(jù)引理2.1和n次積分半群拓?fù)涞母拍?，可得定理成立?/p>
［1］鄭權(quán).積分半群與抽象Cauchy問題［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，1992，21(3):257－273.
［2］夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論［M］.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.
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