馮韓梅，趙華新

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

眾所周知，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上左可微時(shí)，并不一定在區(qū)間上可微。本文將討論函數(shù)在左可微的條件下函數(shù)的可微性。即當(dāng)函數(shù)在左開(kāi)右閉的區(qū)間上實(shí)值連續(xù)且左可微，左導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，得到函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)可微。

定理1 設(shè)w是(a，b］上實(shí)值連續(xù)且左可微的函數(shù)。記D－w(t)為w的左導(dǎo)數(shù)。如果w(b)=0且D－w(t)≤0，對(duì)于 t∈(a，b］，則 w(t)≥0，對(duì)于 t∈(a，b］。

證明 首先考慮D－w(t)＜0。若結(jié)論不成立，則?t1∈(a，b)，使得 w(t1)＜0。

令t0=sup{t:w(t)＜0}，則w(t0)=0。由上確界的定義，?{tn}，使得tn→t0－，w(tn)＜0。因此，

這與D－w(t)＜0矛盾。所以在(a，b］上有w(t)≥0。

考慮一般情形D－w(t)≤0。

對(duì)?ε＞0，令Wε=w(t)+ε(b－t)，則 Wε(b)=0。

由前段證得的結(jié)論，有Wε(b)≥0。即w(t)≥－ε(b－t)，由 ε 的任意性，有 w(t)≥0，t∈(a，b］。

注 設(shè)w是(a，b］上實(shí)值連續(xù)且左可微的函數(shù)。記D－w(t)為w的左導(dǎo)數(shù)。如果w(b)=0且D－w(t)≥0，對(duì)于 t∈(a，b］，則 w(t)≤0，對(duì)于 t∈(a，b］。

定理2 設(shè)φ是(a，b］上連續(xù)左可微的函數(shù)。若D－φ 在(a，b］上連續(xù)，則 φ 在(a，b］上是連續(xù)可微的。

證明 令g=D－φ，f(t)=φ(b)－∫btg(τ)dτ，則f(t)在(a，b］上連續(xù)，且 f'(t)=g(t)。

設(shè) w(t)=f(t)－φ(t)，則w(b)=0。且

由定理1得，在(a，b］上有 w(t)≥0。同理 －w(t)≥0，則 w(t)≤0。所以在(a，b］上 w(t)=0。

因此 φ(t)=f(t)=φ(b)－ ∫btg(τ)dτ，則 φ 在(a，b］上是連續(xù)可微的。

［1］Marsden J E，Sirovich L，John F.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations［M］.New York:Springer－ Verlag，1983.

［2］王梅英.函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)判別法［J］.南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，2(1):74 －75.

［3］胡承望.函數(shù)單調(diào)性的判定方法研究［J］.長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009，6(2):154 －155.

［4］王金金，任春麗.函數(shù)的右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限的關(guān)系［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2009，5(12):41 －42.

［5］王梅英.函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)的一個(gè)充要條件［J］.南京審計(jì)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，6(3):85 －87.

［6］高民犀.具有上(下)導(dǎo)數(shù)的上(下)半連續(xù)函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)充要條件［J］.貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，22(3):90 －91.