劉佳秋

（廣東金融學(xué)院 思想政治理論課教學(xué)部，廣東 廣州 510521）

直覺主義思想概述

劉佳秋

（廣東金融學(xué)院 思想政治理論課教學(xué)部，廣東 廣州 510521）

一場關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的大論戰(zhàn)，產(chǎn)生了三大數(shù)學(xué)（哲學(xué)）流派，它們分別是邏輯主義學(xué)派、形式主義學(xué)派和直覺主義學(xué)派。直覺主義學(xué)派認(rèn)為任何數(shù)學(xué)對(duì)象都是思維構(gòu)造的產(chǎn)物，所以一個(gè)對(duì)象的存在性等價(jià)于它的構(gòu)造的可能性，因此直覺主義者堅(jiān)持用人類構(gòu)造性思維活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的方法。并且直覺主義者相信理論的真理性最終取決于理論的實(shí)際內(nèi)容，并且只有通過人類的實(shí)踐活動(dòng)才能得到檢證。

直覺主義；直覺主義邏輯

19世紀(jì)70~80年代，德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論（亦稱樸素集合論）。集合論逐漸為大多數(shù)數(shù)學(xué)家所接受，并成為全部經(jīng)典數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。但是，與此同時(shí)人們相繼發(fā)現(xiàn)了一系列集合論悖論，特別是1901年由羅素（B.Russell）發(fā)現(xiàn)的羅素悖論，①足以使整座數(shù)學(xué)大廈傾覆，這是絕對(duì)不能允許的。悖論產(chǎn)生的根源何在，能否最終為數(shù)學(xué)找到一個(gè)可靠的邏輯基礎(chǔ)，這些問題困擾著數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家，由此引發(fā)了一場關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的大論戰(zhàn)，這場論戰(zhàn)中產(chǎn)生了三大數(shù)學(xué)（哲學(xué)）流派，它們分別是以弗雷格（G.Frege）、羅素為代表的邏輯主義學(xué)派、以希爾伯特（D.Hilbert）為代表的形式主義學(xué)派和以荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維爾（L.E.J.Brouwer）為代表的直覺主義學(xué)派。

直覺主義學(xué)派思想源遠(yuǎn)流長。古代的數(shù)學(xué)家更多地訴諸直覺，側(cè)重直觀的圖形分析和計(jì)算，而較少用純邏輯的演繹推理。例如被譽(yù)為公理化楷模的歐幾里德幾何，其基本概念和大部分公理、公設(shè)都具有直觀的自明性。直覺主義學(xué)派的公認(rèn)的創(chuàng)始人是布勞維爾（Brouwer），他認(rèn)為任何數(shù)學(xué)對(duì)象都是思維構(gòu)造的產(chǎn)物，所以一個(gè)對(duì)象的存在性等價(jià)于它的構(gòu)造的可能性，而自然數(shù)是借助于人們的原始直覺創(chuàng)造出來的。因此在數(shù)學(xué)哲學(xué)和邏輯中，直覺主義者堅(jiān)持用人類構(gòu)造性思維活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的方法。從事這一理論研究的代表人物主要有海廷（Heyting）、克林（Kleene）、達(dá)米特（Dummett）和維爾（Weyl）等。他們認(rèn)為：“只有在直覺上得到構(gòu)造的對(duì)象（概念）及推理過程才是真正可靠的，而那些在直覺上無法得到構(gòu)造的東西則是‘形而上學(xué)’的假定，即應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)中清除出去?！盵1]這和古典的方法不同，因?yàn)楦鶕?jù)古典方法，一個(gè)實(shí)體的存在可以通過否定它的不存在來證明。對(duì)直覺主義者來說，這是不正確的：不存在的否定不表示可能找到存在的構(gòu)造證明。正因?yàn)槿绱耍庇X主義是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義的一種，但它不是唯一的一類。

一、直覺主義理論：存在必須被構(gòu)造

直覺主義理論（intuitionism）是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)之后為解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題而產(chǎn)生的最重要的理論之一，這一理論把數(shù)學(xué)命題的正確性和它可以被證明等同起來。直覺主義者認(rèn)為，集合論悖論的出現(xiàn)提醒我們必須依據(jù)可信性的要求對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)作全面的審查，徹底拋棄那些不符合可信性要求的數(shù)學(xué)概念和方法。它的一個(gè)突出的特點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中的一切都必須是構(gòu)造性的，將非構(gòu)造的對(duì)象排除在外，完全不承認(rèn)非構(gòu)造性證明，只有給出一個(gè)命題的構(gòu)造性證明，直覺主義者才承認(rèn)這個(gè)命題被證明了。因此強(qiáng)調(diào)構(gòu)造性是直覺主義理論的重要特征，其著名口號(hào)是“存在必須等于被構(gòu)造”，即構(gòu)造性地建立數(shù)學(xué)理論，也就是說，所有的數(shù)學(xué)概念和方法都必須是構(gòu)造性的，按照可操作的固定的方法都可以在有限之內(nèi)得到定義和施行。

另外，值得一提的是，直覺主義者從構(gòu)造性的觀點(diǎn)出發(fā)，承認(rèn)排中律p∨劭p在有窮集合上的有效性，而拒絕排中律p∨劭p的普遍有效性。他們認(rèn)為，排中律是從有限事物中概括出來的，因?yàn)閷?duì)于p和劭p我們總可以在有限之內(nèi)檢驗(yàn)完畢，即任何一個(gè)涉及有限事物全體的命題，總是可以通過對(duì)這些事物逐一地加以驗(yàn)證，來判明該命題的真?zhèn)?，因此?dāng)對(duì)象域有窮的時(shí)候，排中律是成立的。但是若將這個(gè)規(guī)律推廣到無窮就是沒有根據(jù)的，無窮只是處于不停的構(gòu)造之中，若涉及無窮，排中律就不是有效的。因此他們反對(duì)實(shí)無窮，而堅(jiān)持潛無窮②的觀點(diǎn)。值得指出的是，直覺主義者并不認(rèn)為排中律假,只是認(rèn)為它不普遍有效（涉及無窮的時(shí)候不有效）。除直覺主義學(xué)派,尚有其它一些不接受排中律的學(xué)派，如多值邏輯，特別是三值邏輯，但不接受排中律的原因與直覺主義學(xué)派不同。例如在三值邏輯中，使用{T，F(xiàn)，I}作為其真值集,盡管對(duì)中間值I的不同解釋導(dǎo)致多種三值系統(tǒng),但都是由于接受命題真值的三值性（多值邏輯為n值性，n為大于等于3的整數(shù)），所以它們都不接受排中律。

二、直覺主義邏輯：算子不可互定義

直覺主義學(xué)派最初是反對(duì)形式化方法的，認(rèn)為數(shù)學(xué)活動(dòng)無需借助于形式語言，形式系統(tǒng)也不能正確地表達(dá)數(shù)學(xué)思想。隨著時(shí)間的推移,形式化方法在邏輯學(xué)研究中被廣泛地采用,一些直覺主義學(xué)派的代表人物才對(duì)形式化方法采取了寬容的態(tài)度，發(fā)展了自己的邏輯。直覺主義邏輯的公式的語法類似于命題邏輯或一階邏輯。但是直覺主義邏輯的聯(lián)結(jié)詞不像經(jīng)典邏輯那樣是可互定義的，因此他們對(duì)邏輯初始聯(lián)結(jié)詞的選擇是慎重的。在直覺命題邏輯中通常使用→，∨，∧，⊥作為基本連結(jié)詞，把劭作為劭A=（A→⊥）的簡寫處理。在直覺主義一階邏輯中，量詞坌，堝都是需要的。下面給出海廷在1930年構(gòu)造的公理化的直覺主義命題演算系統(tǒng)，[2]它由十條公理和一條推理規(guī)則構(gòu)成（φ，ψ，δ為任意公式，他們是由任意命題變?cè)猵，q，r，…和邏輯聯(lián)結(jié)詞→，∨，∧，⊥組成的合式的符號(hào)序列）：

在經(jīng)典命題邏輯中，可以僅用兩個(gè)初始聯(lián)結(jié)詞，有可能選取合取、析取或蘊(yùn)涵中的一個(gè)作為原始的，并依據(jù)它和否定來定義另兩個(gè)，甚至可以依據(jù)自足算子比如皮爾士箭頭“↓”（析非）或Sheffer豎線“｜”（合非）定義它們四個(gè)。[3]類似的，在經(jīng)典一階邏輯中，一個(gè)量詞可以依據(jù)另一個(gè)量詞和否定來定義。這是二值原理的推論，它使得這種聯(lián)結(jié)詞僅僅是布爾函數(shù)。但是，二值原理在直覺主義邏輯中不成立，致使多數(shù)經(jīng)典恒等式只是直覺邏輯中在一個(gè)方向上的定理，盡管某些定理在經(jīng)典邏輯中是兩個(gè)方向的。它們?nèi)缦拢?/p>

合取與析?。?/p>

合取與蘊(yùn)涵：

析取與蘊(yùn)涵：

全稱量詞與存在量詞:

所以，例如，在直覺主義邏輯中，“p或q”是比“如果非p則q”更強(qiáng)的陳述，而在經(jīng)典邏輯中它們是可互換的。對(duì)很多經(jīng)典有效重言式不是直覺邏輯的定理的觀察導(dǎo)致了弱化經(jīng)典邏輯的證明論的想法。

三、直覺主義邏輯的否定：“劭A”即A不可證實(shí)

直覺主義邏輯與經(jīng)典邏輯的另一個(gè)顯著區(qū)別在于對(duì)否定的不同理解。經(jīng)典邏輯的否定采用的是二值語義：劭p真，當(dāng)且僅當(dāng)p假，即如果p真那么劭p假，并且如果p假那么劭p真。直覺主義者根據(jù)構(gòu)造性觀點(diǎn)認(rèn)為，不僅確定一個(gè)命題為真需要構(gòu)造性的證明，確定一個(gè)命題為假也需要構(gòu)造性的證明，因此直覺主義者對(duì)否定采取的是構(gòu)造性解釋：一個(gè)命題A的否定“劭A”是指存在這樣一個(gè)有關(guān)A的證明，證明A是不可證的。[4]或者說劭A的證明是一個(gè)結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)使得假定命題A為真的構(gòu)造導(dǎo)致謬誤（因?yàn)橹庇X主義者把劭作為劭A=（A→，⊥）的簡寫處理）。因此，按照直覺主義的觀點(diǎn)，說A或B，是宣稱A或B可以被證明，也就是要判定一個(gè)命題為真，就必須給出它的構(gòu)造性證明，要判定一個(gè)否定命題為真，就必須有一個(gè)構(gòu)造，這一構(gòu)造將任何一個(gè)假定原命題為真的證明轉(zhuǎn)換為一個(gè)虛假命題的證明，例如推出一對(duì)矛盾的命題B和劭B。正如海廷說：“命題‘C不是有理數(shù)’意味著我們能夠得到‘C是有理數(shù)’的矛盾命題”。[5]因此有些哲學(xué)家認(rèn)為直覺主義邏輯是用肯定詞項(xiàng)定義否定范疇的邏輯理論?？傊?，兩種不同的語義解釋分別賦予了經(jīng)典否定和直覺主義否定不同的涵義，如，在經(jīng)典邏輯中，p的否定的意義是p為假，而直覺主義邏輯中，p的否定的意義是指p不可證或p是可反駁（refutable）的。

在經(jīng)典邏輯和經(jīng)典數(shù)學(xué)中，人們經(jīng)常不是直接去證明一個(gè)命題為真，而是使用反證的間接證明的方法，先假定要證命題不真，然后推出邏輯矛盾，以此來證明此命題為真。顯然，反證法這種間接證明是直覺主義者所不能接受的，因?yàn)橹庇X主義者不承認(rèn)排中律，而反證法用的仍是排中律（A∨劭A），并且從構(gòu)造性的角度看，假定要證命題不真，推出邏輯矛盾，并不意味著為此命題找到一個(gè)構(gòu)造性證明，即證明了劭A將導(dǎo)致矛盾，這并沒有提供A的一個(gè)構(gòu)造性證明。相應(yīng)地，涉及否定的雙重否定律在經(jīng)典邏輯中是有效式，但在直覺主義邏輯中不再是普遍有效的。因?yàn)樽C明了劭A不可證，并沒有實(shí)際地給出A的證明，從而劭劭A→A在直覺主義邏輯中不成立，但直覺主義者承認(rèn)雙重否定律的另一方向，即A→劭劭A。可見，很多經(jīng)典邏輯的重言式在直覺邏輯中不再是可證明的。例子不只包括排中律 p∨劭p，還有反證法，甚至還有雙重否定消去規(guī)則。在經(jīng)典邏輯中，p→劭劭p和劭劭p→p二者都是定理，在直覺主義邏輯中，只有前者是定理：雙重否定可以介入但不能消去。

邏輯主義認(rèn)為邏輯是全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，經(jīng)典邏輯是絕對(duì)可靠的，只要構(gòu)造合適的邏輯系統(tǒng)，就可以推出全部經(jīng)典數(shù)學(xué)。因此把數(shù)學(xué)化歸為邏輯，是邏輯主義學(xué)派的基本綱領(lǐng)，避免悖論，維護(hù)集合論和已有的一切數(shù)學(xué)成果則是其基本出發(fā)點(diǎn)。和邏輯主義一樣，形式主義學(xué)派也堅(jiān)信經(jīng)典邏輯的有效性，都持“實(shí)無窮”的觀點(diǎn)（即承認(rèn)無限集合是一個(gè)完成了的實(shí)體），并捍衛(wèi)一切已有的數(shù)學(xué)成果。但是形式主義并不贊同邏輯主義“把數(shù)學(xué)歸約為邏輯”的綱領(lǐng)，形式主義學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)有著與邏輯無關(guān)的內(nèi)容，決不可能單靠邏輯建立起來，應(yīng)對(duì)邏輯和數(shù)學(xué)同時(shí)加以研究。對(duì)于形式主義學(xué)派方案的反對(duì)意見來自直覺主義陣營，直覺主義派則以“直覺上的可構(gòu)造性”作為“可信性”的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)全部已有數(shù)學(xué)進(jìn)行徹底的審查和改造。直覺主義學(xué)派認(rèn)為，任何一門科學(xué)理論都是形式與內(nèi)容的統(tǒng)一體，理論形式固然重要，形式化方法也有著嚴(yán)格、精密、高度概括與抽象的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，但理論的真理性最終取決于理論的實(shí)際內(nèi)容，并且只有通過人類的實(shí)踐活動(dòng)才能得到檢證。

（注：本論文得到2008年國家社科基金項(xiàng)目《更新語義與動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯研究》的資助，項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：08BZX050）

注 釋：

① 集合可以分為兩類：第一類集合的特征是：集合本身又是集合中的元素，例如“所有集合所成的集合”；第二類集合的特征是：集合本身不是集合的元素，例如直線上點(diǎn)的集合。顯然，一個(gè)集合必須是并且只能是這兩類集合中的一類?，F(xiàn)在假定R是所有第二類集合所成的集合。那么，R是哪一類的集合呢？ 如果R是第一類的，R是自己的元素，但由定義，R只由第二類集合組成，于是R又是第二類集合；如果R是第二類集合，那么，由R的定義，R必須是R的元素，從而R又是第一類集合。這就是著名的“羅素悖論”。

② 所謂“潛無窮”就是把無窮看成一個(gè)不斷創(chuàng)造著的又永遠(yuǎn)無法完成的過程,例如把自然數(shù)看作一個(gè)無限延伸的序列1，2，3…n，…，而不是一個(gè)已經(jīng)完成了的集合N=｛1，2，3…n，…｝。

[1]鄭毓信.現(xiàn)代邏輯的發(fā)展[M].沈陽：遼寧教育出版社，1989.97.

[2]Heyting，A.“Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik I”[J]. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften，1930.42-56.English translation in Mancosu 1998.311-327.

[3]A.G.Hamilton.Logic For Mathematicians[M].Cambridge University，1978.19-21.

[4]Graham Priest.An Introduction to Non-Classical Logic[M].University of Melbourne，Cambridge University Press，2001.100.

[5]Heyting，A.The Intuitionist Foundations of Mathematzcs[M].reprinted in P.Benacerraf and H.Putnam （eds），Philosophy of illathematzcs，2nd edn，Cambridge University Press，1983.59.