邊學(xué)艷

摘要：為提高中職學(xué)生解決排列組合問題的能力，試就排列組合的典型題型進行歸類分析。選題綜合了排列組合的一些常用解題方法，并巧妙的應(yīng)用于解題當(dāng)中。

關(guān)鍵詞：排列；組合；解題方法

Abstract: in order to improve the secondary students solve the permutation and combination problem ability, to try to arrange a combination of typical questions classified analysis. The topic selection comprehensive to arrange a combination of some of the most common problem solving method, and the application of problem solving in clever.

Keywords: arrangement; Combination; Problem solving method

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A 文章編號：

中職教學(xué)中，排列組合問題一直是重點，也是難點，更是春季高考和三二分段學(xué)生中職升高職轉(zhuǎn)段考試的必考內(nèi)容，尤其從2012年開始，春季高考和3+2轉(zhuǎn)段考試題型以及考試內(nèi)容發(fā)生了很大的變化。自2009級的學(xué)生（2012年參加高考或轉(zhuǎn)段考試）開始使用中等職業(yè)教育課程改革國家規(guī)劃新教材，而新教材中增加了概率與統(tǒng)計的內(nèi)容，占到考試比例的18%，這讓作為概率基礎(chǔ)的排列組合顯得尤為重要。

對于中職學(xué)生來說，排列組合題型多，如何分析解答排列組合問題成了一個難點，針對這種情況，本文就解決排列組合問題的一些技巧進行總結(jié)歸納。

基本知識的掌握

掌握好“分類計數(shù)原理”和“分步計數(shù)原理”，這兩個原理是排列組合的基礎(chǔ)性原理。

“分類計數(shù)原理”是指完成一件事，有類方式，在第1類方式中有種不同的方法，在第2類方式中有種不同的方法，……，在第類方式中有種不同的方法。那么完成這件事共有種不同的方法。

“分步計數(shù)原理” 是指完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，……，做第步有種不同的方法。那么完成這件事共有種不同的方法。

必須深刻理解排列組合的概念，牢記排列數(shù)和組合數(shù)的公式。

排列與排列數(shù)：在個不同的元素中選出個元素，按照一定的次序排成一列，叫做從個不同元素中選出個元素的一個排列；在個不同的元素中選出個元素的所有排列的個數(shù)叫做從個不同元素中選出個元素的排列數(shù)，記作。排列數(shù)的公式為：

組合與組合數(shù)：在個不同的元素中選出個元素，組成一組，叫做從個不同元素中選出個元素的一個組合；在個不同的元素中選出個元素的所有組合的個數(shù)叫做從個不同元素中選出個元素的組合數(shù)，記作。組合數(shù)的公式為：

弄清楚排列和組合的區(qū)別：排列有順序性，組合無順序性。

排列組合問題的解決技巧

針對新教材的指導(dǎo)方針和解題難度，本文總結(jié)了幾種解決排列組合問題的方法。

1、特殊元素與特殊位置優(yōu)先法：哪個元素或者哪個位置有特殊要求則對該元素或者該位置優(yōu)先安排。

例1：用0，1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)？

分析：0不能作為首位，所以首位為特殊位置，所以要首先安排。

解：第一步：因為0不能作為首位，所以首位只能從1,2,3,4,5五個元素中選取，為種方法；第二步，十位和個位上的數(shù)字可以從剩下的五個數(shù)字中選擇兩個排列，為種方法。

共可組成個3位數(shù)。

2、固定位置忽視法：對于某個元素必須要在某個位置上的，直接忽視這個元素和這個位置。

例2：用1，2，3，4，5可以組成多少個大于50000的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？

分析：要大于50000，首位必須要是5，所以在排的時候可以忽略5，同時首位的位置也可以忽略。將其他四個數(shù)在其余四個位置排列即可。如圖：

5 千位 百位 十位 個位

解：共有種不同的方法。

3、相鄰元素捆綁法：對于必須相鄰的問題將兩個必須相鄰的元素捆綁在一起成為一個復(fù)合元素再與其他元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。

例3：五個人站成一排，甲乙兩人必須相鄰，共有多少種不同的排法？

分析：甲乙必須相鄰，則把甲乙兩個人看成一個復(fù)合元素與其他三人進行排列有種方法，同時甲乙內(nèi)部可以互換位置，有種方法。

解：共有種排法。

4、元素順序固定消序法或留空法：如果兩個元素的需要的順序是一定的，那可以先把所有元素排列，再消去（除以）這幾個元素的順序；或者先把其他元素選擇位置排列好，留下兩個位置給這兩個元素。

例4：6個人排成一排，甲總站在乙的左側(cè)有多少種站法？

分析：將六個人依次排好，有種站法，然后消去甲乙的順序；或者先讓甲乙之外的四人從六個位置中選出四個站好，剩下的兩個位置甲乙只有一種站法。

解：共有或者種站法。

5、不相鄰問題插空法：解決這類問題要先把沒有位置要求的元素進行排列，再把有位置要求的元素插入進去。

例5：3門不同的文化課和2門不同的專業(yè)課排在同一天的課表里，一門只排一節(jié)，且專業(yè)課不能相鄰，有多少種排法？

分析：第一步先將沒有順序要求的文化課排好，有種排法，然后在出現(xiàn)的五個空位中選出兩個把專業(yè)課排進去。如圖所示：

空位 專業(yè)課 空位 專業(yè)課 空位 專業(yè)課 空位

解：共有種排法。

6、多排問題直排法：元素分為多排的排列問題，可以歸為一排考慮，再分段研究。

例6：有兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，現(xiàn)有8名學(xué)生入座，每人一個座位，甲要坐在第一排，求不同的坐法總數(shù)。

分析：8個人分成兩排，可以看做8個人坐成一排，分兩部分排列即可。甲先選擇，從第一排中的三個座位中選擇一個坐，方法為，剩下7人隨便坐即可。如圖所示：

解：共有種坐法。

7、不平均分配分組法：對于不平均分配的問題，先將元素分好組，然后排列即可。

例7：有四項不同的工程，要發(fā)包給三個工程隊，要求每個工程隊至少要得到一項工程，共有多少種分配方式？

分析：將四個工程分配給三個工程隊，而且要求每個工程隊至少得到一項工程，相當(dāng)于有一個工程隊將得到兩個工程。所以先將四個工程分成三組，其中一組有兩個工程，然后分配給三個工程隊即可。

解：共有種分配方式。

8、無關(guān)因素剔除法：排列組合應(yīng)用題往往和一些其他的知識聯(lián)系起來，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時，要注意使用相關(guān)知識對答案進行取舍，從總體中剔除不符合條件的方法數(shù)，從而達到解決問題的目的。或者解決組合的抽樣問題時也會經(jīng)常遇到“至多”和“至少”的問題，可以將總體計算出來，將不符合題意的剔除掉。

例8：已知直線，現(xiàn)從集合中選出3個數(shù)分別作為，則所組成的直線中不經(jīng)過坐標原點的有幾條？

分析：共可組成條直線，其中當(dāng)時的直線經(jīng)過坐標原點，將這一部分剔除掉。

解：不經(jīng)過坐標原點的直線有條。

例9：袋中共有10個不同顏色的球，其中白色球6個，紅色球4個。從中任取3個球，取出的球至少有一個紅球的取法共有多少種？

分析：至少一個紅球分為三種情況：1個紅球，2個紅球，3個紅球，那么可以用總的方法數(shù)減掉沒有紅球的情況即可。

解：共有種不同的取法。

9、合理分類分步法：合理分類與準確分步含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。

例10：某班有30名學(xué)生，其中班長、副班長各1名，現(xiàn)選派4名學(xué)生參加某項課外活動，班長和副班長至少有1個人參加，共有多少種不同的選法？

分析：班長和副班長至少1個人參加包含兩類情況：第一類，班長和副班長中只有1個人參加，那么28名普通學(xué)生中有3人參加，共有種方法；第二類，班長和副班長都參加，那么28名普通學(xué)生中有2人參加，共有種方法。

解：共有種不同的選法。

10、平均分組問題除法：平均分成的組，不管他們順序如何，都是一種情況，所以分組后要出了（為所分的組數(shù)）

例11：12個人分成兩隊進行排球比賽，每隊6個人，共有多少種不同的分法？

分析：分成兩隊，應(yīng)該先從12人中選出6人，共有種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)記數(shù)的現(xiàn)象，如果將12人編號分別為1，2，3，…，12，若第一組選1，2，3，4，5，6，那么剩下的7，8，9，10，11，12為第二組，和第一組選擇7，8，9，10，11，12，剩下的1，2，3，4，5，6為另一組是重復(fù)的，所以需要將重復(fù)的除掉。

解：共有種不同的分法。

11、分階段分析法：對于有些問題需要分階段進行，最后將總數(shù)加在一起即可。

例12：有11個隊參加的籃球比賽分成兩個階段進行。第一階段，分成2個小組，第1小組5個隊，第二小組6個隊，各組都進行單循環(huán)比賽，第二階段，各組的前兩名進行單循環(huán)比賽確定冠、亞軍。問共需要準備多少次比賽？

分析：需要注意的是，問的是比賽場次，而且如何分組無關(guān)。分為兩個階段，第一階段需要進行兩個組的比賽，其中第1小組需要進行場比賽，第2小組需要進行場比賽，而第二階段是第一階段選出的4個組之間進行比賽，共有場比賽。

解：共需要準備場比賽。

12、排列組合綜合題先選后排法：解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想。

例13：從6名男生和5名女生中選出3名男生和2名女生排成一行，有多少種不同的站法？

分析：可以先將男生選出，再將女生選出，然后對選出的5名學(xué)生排序。

解：共有種不同的排法。

13、重排問題求冪法：允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為種。

例14：某城市的電話號碼是由0到9的7個數(shù)字組成（允許重復(fù)），問該城市最多可以裝多少部電話？

解:完成此事共分七步：把第一位確定下來有 10 種方法，把第二位確定下來也有 10 種方法，依此類推,由分步計數(shù)原理共有個不同的電話號碼。

10個 10個 10個 10個 10個 10個 10個

解：共可安裝部電話。

參考文獻：

尚峰.計數(shù)原理，《數(shù)學(xué)通訊》2011年Z1期

孫宜新.計數(shù)原理、排列組合、二項式定理，數(shù)學(xué)愛好者(高二新課標人教版)2008年01期

孔德宏.排列、組合、二項式定理疑難攻略，考試（高考數(shù)學(xué)版），2011年Z2期

郭青初.解讀排列、組合與二項式定理，《試題與研究》2009年02期

高考數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法，百度文庫

解排列組合問題的幾種基本方法，百度文庫

高考數(shù)學(xué)排列組合難題，百度文庫

注：文章內(nèi)所有公式及圖表請以PDF形式查看。