劉清華，余 啟，張 昱

（南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖南 衡陽(yáng) 421001）

1 定 義

Schur凸函數(shù)的概念由I.Schur于1923年引入，它不僅在建立解析不等式方面發(fā)揮著極大的作用，而且在統(tǒng)計(jì)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)以及其它方面也有著許多重要的應(yīng)用（詳見(jiàn)Marshall和Olkin的專著［1－2］）。下面的定義可參見(jiàn)文獻(xiàn)［2－5］。

對(duì)于向量x＝ （x1，x2，…，xn），把其分量排成遞減次序后記為：x［1］≥x［2］≥ … ≥x［n］。

則稱x被y所控制（記為x?y）。

定義1.2 定義在集合Ω?Rn上的實(shí)函數(shù)φ稱為Ω上的Schur凸函數(shù)，如果

在Ω上x(chóng)?y?φ（x）≤φ（y）。

如果對(duì)于任意的x?y且x不是y的一個(gè)重排，有φ（x）＜φ（y），則稱φ為Ω上的嚴(yán)格Schur凸函數(shù)。φ在Ω上為Schur凹（嚴(yán)格Schur凹）的，當(dāng)且僅當(dāng)－φ在Ω上是Schur凸（嚴(yán)格Schur凸）的。

判斷函數(shù)f（x）為Schur凸函數(shù)，有下面的Schur條件。

定理1.3 設(shè)Ω?Rn是非空的對(duì)稱凸集，函數(shù)f：Ω→R在Ω上連續(xù)且在Ω的內(nèi)部Ω0可微，則f為Ω上的Schur凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f為Ω上的對(duì)稱函數(shù)，且對(duì)于所有x∈Ω0，

如果不等式（1.1）對(duì)于xi≠xj（1≤i，j≤n）是嚴(yán)格的，那么f為嚴(yán)格Schur凸的。

由于f（x）是對(duì)稱的，則Schur條件（1.1）可簡(jiǎn)化為［2］

如果（1.2）對(duì)于x1≠x2是嚴(yán)格的，那么f為嚴(yán)格Schur凸的。如果不等式（1.1）或（1.2）反向，那么f為Schur凹的。

則稱x被y對(duì)數(shù)控制，記為lnx?lny.

定義1.5 設(shè)I是 （0，∞）的子區(qū)間［7］，函數(shù)f：In→ （0，∞）稱為Schur幾何凸的，如果在In上lnx?lny?f（x）≤f（y）；函數(shù)f稱為Schur幾何凹的，如果In上lnx?lny?f（x）≥f（y）.

定理1.6 設(shè)f（x）＝f（x1，x2...xn）為對(duì)稱的［7］，且在In上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么f：In→ （0，＋∞）為Schur幾何凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

如果不等式（1.5）反號(hào)，則f為Schur幾何凹的Marshall和Olkin在文獻(xiàn)［2］中研究了函數(shù)

的Schur凸性問(wèn)題，這里0＜x1＜1，i＝1，2，...n.

本文研究Ψ（x）的對(duì)偶形式：

其中，0＜x1＜1，i＝1，2，...n. 我們將討論此函數(shù)的Schur凸性和Schur幾何凸性問(wèn)題，并利用“優(yōu)化理論”建立一些解析不等式。

2 Ψk，n（x）的 Schur凸性

為此，我們分兩種情形進(jìn)行討論。

情形1. 當(dāng)k＝2時(shí)，直接計(jì)算可得

取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)，可得

于是，當(dāng)x1≠x2時(shí)，我們有

情形2. 當(dāng)3≤k≤n－1時(shí) ，我們不難得到

取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)，得到

當(dāng)x1≠x2時(shí) ，由（2.4）和（2.5）可得

綜合上述，定理得證。

類似定理2.1的證明，我們還可以得到下面的

特別地

當(dāng)且僅當(dāng)x1＝...＝xn時(shí)等號(hào)成立。

注：（2.7）為Mewman不等式［2，（2.8）為Shapiro不等式［3。這樣，我們重新建立和推廣了這些不等式。

當(dāng)且僅僅當(dāng)x1＝...＝xn時(shí)等號(hào)成立

注：如果在 （2.9）中取k＝1，可得著名的 Ky Fan不等式［1，p.5；4，p.363］：

當(dāng)且僅當(dāng)x1＝...＝xn時(shí)等號(hào)成立。

3.Ψk，n（x）的Schur幾何凸性

定理3.1 設(shè)xi＞0，i＝1，2，...，n（n≥3），那么

（1）函數(shù) Ψ1，n（x）在 0，（1）n是Schur幾何凹的；

求導(dǎo)得

因此，當(dāng)x1≠x2時(shí)，我們有

由定理1.6，Ψ1，n（x）在 （0，1 ）n上是Schur幾何凹的。

情形1. 當(dāng)k＝2時(shí)，由（2.2）和（2.3）可得

情形2. 當(dāng)3≤k≤n 時(shí)，根據(jù)（2.4）和（2.5），直接計(jì)算可得

再根據(jù)定理1.6，Ψk，n（x）是Schur幾何凸的。定理證畢。

證明： 利用定理3.1并注意到ln（G（x），...，G（x））?ln（x1，....，xn），即可得到該推論。

［1］E.F.Beckenbach and R.Bellman.Inequalities［M］.Berlin：Springer－Verlag，1961.

［2］A.W.Marshall and I.Olkin.Inequalities：Theory of Majorization and Its Application［M］.New York：Academic Press，1979.

［3］匡繼昌.常用不等式［M］.3版.濟(jì)南：山東科技出版社，2004.

［4］D.S.Mitrinovic.Analytic Inequalities［M］.New York：Springer－Verlag，1970.

［5］J.Pecaric，F(xiàn).Proschan，and Y.L.Tong.Convex Functions，Partial Orderings，and Statistical Applications［M］.New York：Academic Press，1992.

［6］C.P.Niculescu，Convexity according to the geometric mean［J］.Math.Inequal.Appl.，2000，3（2）：155－167.

［7］張小明.幾何凸函數(shù)［M］.合肥：安徽大學(xué)出版社，2004.

［8］F.Z.Zhang，Matrix inequalities by means of block matrices［J］.Math.Inequal.Appl.，2001，4（4）：481－490.