薛春榮

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南714000)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，非線性現(xiàn)象在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域的作用越來越重要，物理、化學(xué)、生物、工程技術(shù)，甚至社會(huì)的經(jīng)濟(jì)問題都存在著大量的非線性問題，這些問題的研究常常能用非線性偏微分方程來描述.因此如何求解這些非線性方程成為廣大數(shù)學(xué)和物理工作者致力于研究的一個(gè)課題.近年來，人們提出和發(fā)展了求解非線性方程的有效方法.如齊次平衡法［1－2］，雙曲正切函數(shù)展開法［3－5］，并用這些方法求解了許多非線性方程.

本文推廣了已被人們廣泛使用的雙曲函數(shù)方法，并利用該方程求解mkdv方程［6］.

很顯然，各種重要的非線性演化方程如kdv方程，kdv-mkdv方程，mkdv-Burgers方程，都是方程

的特殊情形.我們通過求解方程(2)來介紹這種方法，并利用這種方法對(duì)(1)進(jìn)行求解.

1 Kdv-mkdv-Burgers方程的精確行波解

Kdv-mkdv-Burgers方程：ut+ αuut+ βu2ux+ γuxx+ δuxxx=0

假定u(ξ)=.其中函數(shù) f(ξ) 可取為：f(ξ)=tanhξ，f(ξ)=cothξ，f(ξ)=tanξ，f(ξ)=cotξ，系數(shù)Ai(i=1，2，…m)為待定常數(shù).把(5)式代入方程(2)，通過平衡方程的線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)uξξξ和非線性項(xiàng)uuξ的階數(shù)，可以確定行波解的階數(shù)m. (5)

把(6)式代入(4)式中，可得到一組確定常數(shù)A0，A1，K，和ω的方程

由于方程(8)和(9)相同，都是共有4個(gè)未知數(shù)，而只有3個(gè)獨(dú)立方程，選取ω為自由參數(shù)，如果δ＞0，β ＜ 0，ω或 δ＜ 0，β ＞ 0，ω ＞則A，A和K有實(shí)解.解(8)或(9)，得到01

把(10)代入(6)和(3)，由于tanh(－ ξ)= －tanhξ，coth(－ ξ)= －cothξ，得到組合Kdv-mkdv-Burgers方程的4個(gè)精確行波解

將(13)代入(6)和(3)，于是我們又得到組合Kdv-mkdv-Burgers方程的4個(gè)精確行波解

2 mkdv方程的精確行波解

把 u(x，t)=u(ξ)=u［k(x － ωt)］代入方程(1) 得到

假定u(ξ)=其中函數(shù) f(ξ) 可取為：f(ξ)=tanhξ，f(ξ)=cothξ，f(ξ)=tanξ，f(ξ)=cotξ，系數(shù)Bi(i=1，2，…，m)為待定常數(shù).把(16)式代入方程(1)，通過平衡方程的線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)的階數(shù)，可以確定行波解的階數(shù)m.m+3=3m+1，故m=1. (16)

由于方程(19)和(20)相同，都是共有4個(gè)未知數(shù)，而只有3個(gè)獨(dú)立方程，選取ω為自由參數(shù)，如果ω＞0，則 B0，B1，k有實(shí)數(shù)解，解(19) 或(20) 得

將(21) 代入到 (17)和(3)，由于tanh(－ ξ)=tanhξ，coth(－ ξ)= － cothξ，得到mkdv方程的4個(gè)精確行波解

將(24)代入到(17)和(3)，于是我們又得到mkdv方程的4個(gè)精確行波解

3 結(jié)論

利用一種推廣的直接方法，求出mkdv方程的多類精確行波解.很顯然，本文方法也可以用來處理(2+1)維組合Kdv-mkdv-Burguers方程

(ut+ αuux+ βu2ux+ γuxx+ δuxxx)x+ ηuyy=0

和Kolmogorov-Petrovski-Piskunov方程(ut－uxx+μu+νu2+λu3)x+δuyy=0的精確行波解.

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［6］Lou S.Y，Huang G.X，Ruan H.Y.Exact solitary waves in a convecting fluid［J］.J.Phys.A;Math.Gen，1991，24：587-590.