王小改，李巧艷，王 璐

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

0 引言

1982年波蘭數(shù)學(xué)家Z.Pawlak首次提出了粗糙集理論［1］，這是一種處理不確定性和不精確性問題的新的數(shù)學(xué)工具，在數(shù)據(jù)挖掘、知識(shí)約簡(jiǎn)等方面得到成功的應(yīng)用.1983年Zakowski［2］從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，提出了覆蓋粗糙集模型，并討論了相關(guān)的性質(zhì).2003年William Zhu和WANG Fei-yue［3］在覆蓋粗糙集的基礎(chǔ)上給出了約簡(jiǎn)的概念和方法，證明了一個(gè)覆蓋通過約簡(jiǎn)得到的最簡(jiǎn)覆蓋是唯一的，并且證明了最簡(jiǎn)覆蓋相同的兩個(gè)覆蓋產(chǎn)生相同的上、下近似.

1 一種基于概率的覆蓋粗糙集模型

定義1［4］設(shè)U是有限論域，集函數(shù)P∶2U→［0，1］成為概率側(cè)度，若

(1)P(U)=1，

(2)當(dāng)A∩B=?，有P(A∪B)=p(A)+p(B)，

若P是U上的概率測(cè)度，稱A，B?U且P(B) ＞0，稱

為在事件B發(fā)生的情況下事件A發(fā)生的條件概率.

定義2 (覆蓋、覆蓋近似空間)設(shè)U是一個(gè)論域，C是U的一個(gè)子集族.如果C中的所有子集都不空，且∪C=U，則稱C是U的一個(gè)覆蓋，稱有序?qū)?＜U，C＞為覆蓋近似空間.

定義3［5］(最小描述)設(shè) ＜U，C ＞ 為一個(gè)覆蓋近似空間，x∈U，則稱

為x的最小描述.

定義4 (覆蓋下近似、上近似)設(shè)C={K1，K2，…，Kn}是論域U上的一個(gè)覆蓋，P為定義在U的子集類構(gòu)成的σ代數(shù)上的概率測(cè)度，記A=(U，C，P)為覆蓋概率近似空間，則對(duì)任意X?U，0≤β＜α≤1，定義X的關(guān)于A=(U，C，P)依參數(shù)α，β的下近似和上近似分別為：

X 的關(guān)于 A=(U，C，P) 依參數(shù) α，β，的覆蓋邊界域?yàn)?Bn(X，α，β)=

定理1 對(duì)于定義4下的覆蓋上、下近似有如下性質(zhì)：

2 覆蓋粗糙集的數(shù)字特征

文獻(xiàn)［6］介紹給出了粗糙集的數(shù)字特征.本節(jié)我們?cè)谖墨I(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上討論定義4給出的覆蓋粗糙集的數(shù)字特征.

定義5 (集合的近似精度和粗糙度)設(shè)C是論域U上的一個(gè)覆蓋，對(duì)?X?U，稱集合X的α近似精度和ρ粗糙度分別為

對(duì)每一個(gè)X?U，有0≤α(X)≤1.當(dāng)α(X)=1時(shí)，X的邊界域?yàn)榭占?，所以集合X是可定義的;當(dāng)α(X)＜1時(shí)，集合X有非空的邊界域，所以集合是不可定義的;當(dāng)集合X為空集時(shí)，我們就定α(X)=α(?)=1.

X的α粗糙度與ρ近似精度恰恰相反，它反映了我們?cè)诟采wC對(duì)于集合X表達(dá)的范疇了解的不完全程度.

定義6 (近似分類精度和近似分類質(zhì)量)設(shè)C是論域U上的一個(gè)覆蓋，以及論域U上的一個(gè)劃分π(U)={X1，X2，X3，…，Xn} ∈ Π(U)，且這個(gè)劃分獨(dú)立于覆蓋 C.其中子集 Xi(i=1，2，…，n) 是劃分π(U)的等價(jià)類.首先定義π(U)的下近似和上近似分別為：

定義7 (知識(shí)庫中系統(tǒng)參數(shù)的重要度)設(shè)C是論域U上的一個(gè)覆蓋，C表示描述覆蓋近似空間 ＜U，C＞的一組數(shù)或單個(gè)的系統(tǒng)參數(shù).?X?U和獨(dú)立于系統(tǒng)參數(shù)C的論域U的一個(gè)劃分π(U)={X1，X2，…，Xn}，定義集合X關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)C的重要度和劃分π(U)關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)C的重要度分別為

由定義，系統(tǒng)參數(shù)具有以下性質(zhì)：

(1)?X?U，π(U)∈∏(U)，0≤sigC(X)≤1;0≤sigC(π(U))≤1.

(2)當(dāng)sigC(X)=1時(shí)，表明覆蓋C可精確描述出集合X.

(3)當(dāng)sigC(X)=0時(shí)，表明覆蓋C無法判斷論域U中的任意元素是否屬于概念X.

(4)X系統(tǒng)參數(shù)C的重要度越大，表明用覆蓋C描述集合X的近似精度就越高.

(5)當(dāng)sigC(π(U))=1時(shí)，表明覆蓋C可精確描述出劃分π(U)，即劃分π(U)是比覆蓋C所表示的劃分更粗的劃分.

(6)當(dāng)sigC(π(U))=0時(shí)，表明覆蓋C無法判斷論域U中的任意元素是否屬于劃分π(U)中的概念Xi(i=1，2，…，n).

(7)劃分π(U)系統(tǒng)參數(shù)C的重要度越大，表明用覆蓋C描述該劃分π(U)的似精度就越高.

(8)無論集合還是劃分，它的系統(tǒng)參數(shù)C的重要度越大，表明覆蓋C分類能力越強(qiáng).

(9)無論集合還是劃分，它的系統(tǒng)參數(shù)C的重要度隨著C的細(xì)劃而單調(diào)遞增.

3 覆蓋粗糙集的拓?fù)涮卣?/h2>

定義8 設(shè)C是論域U上的一個(gè)覆蓋，

定理3 (1)集合X為C-可定義，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義，當(dāng)且僅當(dāng) ～X為C-可定義的，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義;

(2)X為C-外(或內(nèi))不可定義當(dāng)且僅當(dāng) ～X為C-外(或內(nèi))不可定義.

所以X為C-粗糙可定義? ～X為C-粗糙可定義.

綜上所述，集合X為C-可定義，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義，當(dāng)且僅當(dāng) ～X為C-可定義的，或C-粗糙可定義，或C-全不可定義.

同理可證(2)成立.

4 結(jié)語

本文提出了一種新的覆蓋粗糙集的上、下近似定義，并討論了其性質(zhì).同時(shí)，研究了其數(shù)字特征與拓?fù)涮卣?，豐富了覆蓋粗糙集的研究.

［1］Pawlak Z.Rough sets［J］.International Journal of Computer and Information Sciences，1982，11：341 －356.

［2］Zakowski W.Approximation in the space(U，∏)［J］.Demonstration Mathematic，1983，16：761 －769.

［3］William Zhu，WANG Fei-yue.Reduction and axiomization of covering generalized rough set［J］.Information Sciences，2003，152：217 －230.

［4］孫秉珍，鞏增泰.變精度概率粗糙集模型［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005，41(4)：23－26.

［5］Zhu W，Wang F Y.Reduction and axiomization of covering generalized rough sets［J］.Information Sciences，2003，152：217 －230.

［6］苗奪謙，李道國(guó).粗糙集理論、算法與應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2008.34－57.