賀 丹，金明浩

(黑龍江工程學(xué)院)

0 引言

p-調(diào)和方程div(Δu|Δu|p-2)=0是Rn中關(guān)于函數(shù)的A-調(diào)和方程divA(x，Δu)=0的特例，而A-調(diào)和方程divA(x，Δu)=0是非齊次A-調(diào)和方程divA(x，Δu)=B(x，Δu)的特例，其中對(duì)幾乎所有的x∈Ω及所有ξ∈Rn滿足

這里A:Rn×Rn→Rn，B:Rn×Rn→R均可測(cè)，1＜p＜∞ 且a，b＞0是常數(shù).

近年來(lái)，非齊次A-調(diào)和方程的理論研究取得了很大進(jìn)展，該文將給出非齊次A-調(diào)和方程

及共軛A-調(diào)和方程

解的全局加權(quán)范數(shù)估計(jì)式.

定理1 設(shè)u和v是非齊次A-調(diào)和方程(1)在Ω上的解，

r＞1，那么存在一不依賴于u和v的常數(shù)C，使得對(duì)所有的球Q，若Q?Ω，有

這里α是一正常數(shù)，

定理2 設(shè)u和v是非齊次A-調(diào)和方程(1)在Ω上的解，(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ，Ω)，r＞1，那么存在不依賴于u和v的常數(shù)C，使得對(duì)所有的球體Q，若Q?Ω，有

這里 α 是一正常數(shù)，αr＜1，s=(1-α)p，t=

引理1 任一Ω均有一Whitney覆蓋V={Qi}，使得對(duì)所有x∈Rn及N＞1有

如果Qi∩Qj≠φ，那么存在一立體R(R不一定屬于V)，使得Qi∪Qj?NR特別地，當(dāng)Ω是一δ-張量域，那么在V內(nèi)存在一立體集，使得對(duì)某一 ρ= ρ(n，δ)，有Q? ρQi，i=0，1，…，k這里Q為V內(nèi)的任意立體.

現(xiàn)在來(lái)證明下面的全局范數(shù)估計(jì)定理.

定理3 設(shè)u和v是非齊次A-調(diào)和方程(1)在有界域 Ω 上的解，(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ，Ω)，r＞1，那么存在不依賴于u和v的常數(shù)C，有

這里 α 是一正常數(shù)，αr＜1，s=(1-α)q，t=

證明 應(yīng)用定理1及引理1，便得

證畢.

在定理3中，令g=0、h=0，于是便得到下面的結(jié)論.

推論1 設(shè)u和v是共軛A-調(diào)和方程(2)在有界域 Ω 上的解，(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ，Ω)，r＞1，那么存在不依賴于u和v的常數(shù)C，αr＜1，有

應(yīng)用定理2及引理1，便可以得出下面的全局的du的Ls-估計(jì).

定理4 設(shè)u和v是非齊次A-調(diào)和方程(1)在有界域 Ω 上的解，(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ，Ω)，r＞1，那么存在不依賴于u和v的常數(shù)C，有

這里α是一正常數(shù)，

類似地，在定理4中，令g=0、h=0，于是便得到下面的結(jié)論.

推論2 設(shè)u和v是共軛A-調(diào)和方程(2)在有界域 Ω 上的解，(ω1(x)，ω2(x))∈Ar(λ，Ω)，r＞1，那么存在不依賴于u和v的常數(shù)C，αr＜1，有

這里 α 是一正常數(shù)，αr＜1，s=(1-α)p，t=

［1］ 徐昌貴.一類調(diào)和方程邊值問(wèn)題的級(jí)數(shù)解.漳州師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，21(1):12-15.

［2］ Nolder C A.Hardy-Littlewood Theorems forA-harmonic Tensors.Illinois Journal of Mathematics，1999，43:613-631.

［3］ Xing Y.Weighted PoincaréA-type Estimates for ConjugateA-harmonic Tensors，J Inequal Appl，2005(1):1-6.

［4］ Wang Y.Two-weighted Poincaré-type Inequalities for Differential Forms inLs(μ )-averaging Domains.Applied Mathmatics Letters，2007，20:1161-1166.

［5］ Nolder C.A.A Quasi-regular Analogue of Theorem of Hardy-Littlewood.Trans Amer Math Soc，1992，331(1):215-226.

［6］ Ding S.Weighted Caccioppoli-type Estimates and Weak Reverse H?lder Inequalities forA-harmonic Tensors.Proc Amer Math Soc，1999，27:2657-2664.

［7］ Zhu M.On the Extremal Functions of Sobolev-Poincaré Inequality.Pacific J Math，2004，214(1):185-199.