任 悅，王金鳳，王玉文

(哈爾濱師范大學)

0 引言

齊次環(huán)境中捕食-食餌系統(tǒng)的時空動力學行為可描述為一個非線性的拋物偏微分方程組:

其中H(X，T)，P(X，T)分別表示在T時刻和X位置時食餌和捕食者的密度，其中X∈Ω0?Rn是兩物種的空間棲息地;算子Δ描述了物種的擴散;D1和D2表示物種的擴散系數(shù);k表示食物的利用率.函數(shù)F(H)描述食餌的單位增長率，G(H)表示捕食者的反應功能函數(shù)，相應于捕食者的一種喜好和再生的能力;M(P)表示捕食者的死亡率.函數(shù)F(H)，G(H)，M(P)的形式在不同環(huán)境下可為不同的類型.

該節(jié)分析了當F(H)是Allee效應增長，反應功能G(H)為Holling型，捕食者的死亡率M(P)為線性的動力學行為:

其中A表示捕食者的最大捕獲率，B表示的自飽和的食餌數(shù)量，M表示單位死亡率，而食餌的增長滿足下述形式的Allee增長:

其中K是食餌的最大承載量，ω為最大單位增長率，H0表示Allee的效應強度，滿足0＜H0＜K.利用新的變量和參數(shù)替換

可得到如下的反應擴散系統(tǒng):

1 主要結果

定理1.1 令d，m，a，d1，d2＞0是Rn具有光滑邊界的有界區(qū)域，則有:

(i)若u0(x)≥0，v0(x)≥0，那么(1)有唯一正解

證明 (i)定義f(u，v)=u2(1-u)-.在0，v≥0}內，fv≤0，gu≥0，因此(1)是混擬單調系統(tǒng)，令(u(x，t)，v(x，t))=(0，0)以及)，v(x，t))=(u*(t)，v*(t))， 其 中 (u*(t)，v*(t))是下面常微分方程組的唯一解;

u*=supu0(x)，v*=supΩv0(x)則(u(x，t)，v(x，t))=(0，0) 和=(u*(t)，v*(t))分別是(1)的下解和上解，這是因為

以及邊界條件滿足0≤u0(x)≤u*，0≤v0(x)≤v*，因此由上下解定理表明系統(tǒng)(1)有唯一定義的全局解(u(x，t)，v(x，t))且滿足

進一步，強極大值原理保證了u(x，t)，v(x，t)＞結論(i)得證.

(ii)對所有的t＞0，u(x，t)≤u*(t)因為u*(t)是常微分系統(tǒng)(2)的解，且u*(t)→1，?u*＞0從而對于任意的ε＞0，都存在T＞0，使得

由(3)是梯度系統(tǒng)，可知(3)的每條解軌道都收斂到穩(wěn)態(tài)解us，由自治動力系統(tǒng)的漸近定理可得:當t→ ∞，(1)的解(u(x，t)，v(x，t))收斂于(us，0)，結論(ii)得證.

注 1.事實上(1)正解的全局存在性和有界性也可以由Hollis，Martin，Pierre的一般性結果可得，為了得到具體的界，對(1)構造了具體的上下解.

2.穩(wěn)態(tài)方程(2)的基本性質將繼續(xù)研究，一般，相對于(2)的拋物方程是雙穩(wěn)定的，具有兩個局部穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解u=0，u=1且存在余一維的流形M將u=0，u=1的吸引盆分開.［4-5］

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［3］ Courchamp F，Berec L，Gascoigne J.Allee Effects in Ecology and Conservation［M］.University of Chicago Press，2008.

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