翁興中，寇雅楠，顏祥程

(空軍工程大學 工程學院，西安 710038)

機場道面除停放飛機外，還要保證飛機在其上滑行、起飛、著陸。飛機滑行時對道面產(chǎn)生的作用最大［1］。目前，在機場水泥混凝土道面板厚度設(shè)計時，將這種移動荷載作用下道面的受力特征，用作用在道面板上的靜載乘以動載系數(shù)來表示，然后按靜力分析方法進行計算。為了研究飛機動、靜荷載之間的差別，需要對移動荷載作用下道面板的響應(yīng)進行分析。1961年，Члущков采用無阻尼的 Winklen地基模型，把飛機—道面板—土基體系看作是一個自由度的振動問題。美軍工程兵Waterways試驗站［2］對柔性道面和剛性道面在飛機動荷載作用下的應(yīng)力和撓度進行了大量實測工作，但沒有給出理論計算方法。Vajarasathira等［3］把道面板作為梁來處理，并假設(shè)地基是線粘彈性休，由結(jié)構(gòu)阻抗法導出直接數(shù)值解法。黃曉明等［4］采用Green函數(shù)法求得了移動荷載作用下板穩(wěn)態(tài)撓度和瞬態(tài)撓度的積分解析解。孫璐等［5－6］對粘彈性文克勒地基在移動荷載作用的力學進行了分析。蔣建群等［7］采用移動荷載作用下Kelvin地基上的無限大板作為力學分析模型，分析了運動車輛荷載作用下路面體系的動力響應(yīng)。婁平等［8－10］對粘彈性地基上的長梁進行了研究。以上的研究成果較好地解決運動荷載作用下粘彈性地基上板的響應(yīng)分析問題，但在板的結(jié)構(gòu)和地基類型上與目前國內(nèi)軍用機場水泥混凝土道面設(shè)計［11］所采用的模型的差別較大，無法解決在機場水泥混凝土道面結(jié)構(gòu)設(shè)計中動響應(yīng)問題。

本文應(yīng)用半解析元法，建立了粘彈性層狀地基上四邊自由的矩形道面板的力學計算模型;對飛機滑行時對道面板作用的荷載進行了研究;計算了飛機滑行作用下道面板的響應(yīng)。此外，提出了道面板動撓度的測定方法，在某機場對H－6飛機以不同速度滑跑時，道面板的動撓度進行了實測，并將實測結(jié)果與計算結(jié)果進行對比分析。

1 計算方法

機場水泥混凝土道面是由四邊為接縫相連接的板塊所組成，結(jié)構(gòu)分為面層、基層(墊層)和土基。為了簡化計算，將面層視為四邊自由的單塊板。飛機在道面上滑行時，其作用在道面上的位置是發(fā)生移動的，形成了移動荷載。這種移動荷載相對于道面某一點，其作用的時間是很短的;考慮基層(墊層)和土基材料本身的變形特性，將基層(墊層)和土基視為粘彈性層狀體系。計算模型如圖1所示，并作如下假定:

(1)水泥混凝土道面板為各向同性的等厚板。

(2)基層(墊層)和土基為粘彈性層狀體。

(3)道面板與基層之間為光滑接觸，基層(墊層)與土基之間為連續(xù)接觸［12］。

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

為了便于分析，采用相對坐標 ξ、η、ζ，令:

式中:a為板在x軸方向上的長度;b為板在y軸方向上的長度;zi為第i層層元上結(jié)面的z軸方向的坐標;hi為第i層層元的厚度。

對于基層和土基采取分層的方法(見圖1)，則第i層的位移函數(shù)為:

板作為特殊的層元，采用如下的位移函數(shù):

式中:Xm(ξ)，Yn(η)分別是ξ和η方向上滿足兩端自由梁的振型函數(shù);Uimnlk，Vimnlk，Wimnlk，Ui+1mnlk，Vi+1mnlk，Wi+1mnlk和W0mn為待求系數(shù)。

Xml(ξ)，Ynk(η)分別由兩部分組成，一部分是兩端自由梁的振型函數(shù)Xm(ξ)，Yn(η)組成;另一部分是由衰減函數(shù)組成，其表達式為:

根據(jù)假定(3)，板與基層頂面的豎向位移連續(xù)，則:

由式(6)可知，板的位移可以用基層頂面的豎向位移(即第1層頂面位移)來表示。因此，道面結(jié)構(gòu)體系的未知參數(shù)為:

式(3)可表示為:

其中，

式(2)可表示為:

式中:

水泥混凝土板的應(yīng)變?yōu)?

其中:［Bp］為水泥混凝土板的幾何矩陣，按下式計算:

第i層元中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:

與此產(chǎn)生的動應(yīng)力按下式計算:

其中，［D］為彈性矩陣，水泥混凝土板的彈性矩陣為:

式中:E，μ，h分別為水泥混凝土板的彈性模量、泊松比、厚度。

第i層元的彈性矩陣為:

式中:Ei，μi，hi分別為第 i層層元的彈性模量、泊松比、厚度。

水泥混凝土道面板的剛度矩陣為:

第i層層元的剛度矩陣為:

在此基礎(chǔ)上，集合成整體剛度矩陣:

類似地可以建立起水泥混凝土道面板的質(zhì)量矩陣:

第i層層元的質(zhì)量矩陣:

在此基礎(chǔ)上，集合成整體質(zhì)量矩陣:

將板、基層(墊層)和土基所產(chǎn)生的阻尼等效為當量綜合阻尼。該阻尼可用瑞尼阻尼表示，其阻尼矩陣為:

式中:α，β與道面結(jié)構(gòu)體系振型有關(guān)的阻尼比。

當飛機在道面上滑行時，其作用在道面上的荷載屬于表面力，而且僅與板層元有關(guān)，與基層(墊層)和土基無關(guān)。荷載列陣可按下式計算:式中:P→為作用在板上的表面力。

根據(jù)漢彌登原理建立起道面結(jié)構(gòu)體系的運動方程:

求解式(25)就可以得到{δ}。按式(8)計算道面板的飛機滑行作用下的動位移，按式(10)計算第i層層元中的動位移;按式(11)計算水泥混凝土板的動應(yīng)變，按式(13)計算第i層層元中的動應(yīng)變;并按式(14)計算相應(yīng)的動應(yīng)力;從而分析道面結(jié)構(gòu)在飛機滑行作用下產(chǎn)生的動響應(yīng)。

2 道面板動撓度實測

在陜西某機場對H－6飛機不同滑行速度下道面板的動撓度進行了實測。采用的位移傳感器為變磁阻式位移傳感器，記錄儀為KV－Ⅰ型微變形自動監(jiān)測儀，它能根據(jù)設(shè)定的位移值自動進行記錄。該機場道面板分塊尺寸為6 m×4 m，四邊為企口接縫，板厚為0.24 m，基層為0.24 m砂礫石基礎(chǔ)。在距跑道端部490 m處相鄰的三塊板內(nèi)共布置了13個測點(見圖2)。9～13號測點主要是根據(jù)所測得的道面板變形曲線判斷飛機滑行通過道面板的位置;2，3號和7，8號主要測定接縫傳荷系數(shù)對動撓度的影響;其它測點主要是測定道面板的動響應(yīng)。每個測點在道面結(jié)構(gòu)中的埋設(shè)方式見圖3。該埋設(shè)方法保證了位移傳感器在飛機荷載作用下自身不產(chǎn)生移動，并對飛機滑行通過時能自動量測。這次測試共進行兩項內(nèi)容:

(1)飛機停放在道面板上的所產(chǎn)生的撓度，所測得的數(shù)值作為進行動效應(yīng)分析的基準;

(2)飛機以不同滑行速度通過道面板時，道面板的撓度隨時間變化規(guī)律，所測得的數(shù)據(jù)作為道面動響應(yīng)分析的依據(jù)，同時驗證理論分析方法的正確性和有關(guān)計算參數(shù)的確定，為理論分析奠定基礎(chǔ)。

圖2 位移傳感器平面布置圖(單位:m)Fig.2 Floor chart of transducers(unit:m)

圖3 位移傳感器埋設(shè)方式(單位:m)Fig.3 Installed method of transducer(unit:m)

3 動響應(yīng)分析

飛機在道面上滑行時，作用在道面上的荷載主要是由兩部分組成:一是飛機自身的重量G;二是飛機滑行時產(chǎn)生的升力Fs，其算式為:

式中:Cy為升力系數(shù);S為機翼面積;ρg為空氣密度;v為飛機滑行速度。

可以根據(jù)飛機的離地速度計算飛機不同滑行速度時的升力。飛機滑行時作用在道面板上的荷載P由自身重量和滑行產(chǎn)生的升力組成，算式為:

式中:vl為飛機的離地速度。

道面結(jié)構(gòu)的計算參數(shù):道面板，Ec=35 000 MPa，μc=0．167，ρP=2 400 kg/m3;基層，E1=210 MPa，μ1=0．3，ρ1=2 100 kg/m3;土基，E0=80 MPa，μ0=0．3，ρ0=1 800 kg/m3。對式(25)求解采用逐步積分法的Wilson－θ法。在Wilson－θ法中，隨著步長(v×t)的減少，其結(jié)果逐漸收斂。從計算結(jié)果可知，當步長取0．5 m時，其撓度和彎矩值趨向穩(wěn)定，且收斂于正確解。

不同的α，β取值表示道面結(jié)構(gòu)的不同阻尼。計算結(jié)果(見圖4)表明:道面板的動撓度變化與β的取值有較大的關(guān)系，與α取值關(guān)系較小。阻尼的改變主要影響道面板撓度變化曲線的形狀和滯后性。當β較小時，板邊(見圖2(a))出現(xiàn)波動現(xiàn)象，發(fā)生的滯后性較小。隨著β的增加，波動現(xiàn)象減少，滯后性增大。當α =0．5，β =0．05 時，波動現(xiàn)象完全消失。

圖5為實測結(jié)果與理論計算結(jié)果的對比，從圖中可以看出:無論是從其峰值，還是變化規(guī)律來看，兩者的吻合程度是相當高的，說明本文所建立的道面板動響應(yīng)的計算方法可以反映道面的實際工作狀況，可用來進行道面板的動響應(yīng)計算。從計算結(jié)果還可得出:板中的吻合程度較板邊的吻合程度要高，說明了板的邊界條件對板中的影響較小，對板邊的影響較大。因為在本文的計算方法假定板的邊界條件為自由邊，而

圖4 動撓度與阻尼的關(guān)系Fig.4 Relationship of dynamic deflection and damp

可以根據(jù)飛機的離地速度計算飛機不同滑行速度時的升力。飛機滑行時作用在道面板上的荷載P由自身重量和滑行產(chǎn)生的升力組成，算式為:實際板的邊界條件介于自由和鉸接之間。板邊的動撓度要大于板中的動撓度。從荷載在道面板上作用的時間與動撓度的關(guān)系來看，動撓度有明顯的滯后性，說明道面結(jié)構(gòu)存在著較大的阻尼。飛機滑行通過道面板時，道面板上不同位置的動效應(yīng)是不同的，板邊的動效應(yīng)要大于板中。這是因為，板中的結(jié)構(gòu)強度一般要高于板邊的結(jié)構(gòu)強度，板中的阻尼特性表現(xiàn)得更突出。

圖5 計算值與實測值對比Fig.5 Comparisons of calculation and experiment data

圖6為道面板各點的動撓度隨飛機滑行速度的變化規(guī)律。在板邊(x=0)，其動撓度出現(xiàn)了波動現(xiàn)象，說明了突加荷載的影響。道面板不同點隨著飛機滑行速度的變化規(guī)律是不同的。靠近板邊時，其動撓度隨著滑行速度的增大而減小;而靠近板中(x=1.5 m，3.0 m)時，其動撓度先隨著滑行速度的增大而增大，但達到某一速度時，則隨著滑行速度的增大而減小，說明其動撓度隨著滑行速度的變化存在著極值。這種現(xiàn)象的出現(xiàn)是飛機滑行過程中產(chǎn)生的升力引起的。飛機的升力與飛機滑行速度的平方成正比，在滑行速度比較小時，飛機的升力產(chǎn)生很小，飛機對道面結(jié)構(gòu)的作用主要是由其自身重量產(chǎn)生的，此時的升力可以忽略不計。由于飛機的滑行在道面上產(chǎn)生動力效應(yīng)，使得道面結(jié)構(gòu)的動響應(yīng)會大于靜響應(yīng)，即出現(xiàn)極值，其極值出現(xiàn)的速度為20 km/h左右。隨著飛機滑行速度的增大，所產(chǎn)生的升力加速增大，對道面作用的荷載也相應(yīng)地減小，產(chǎn)生的動撓度也隨之減小，基本呈線性關(guān)系。板邊位置的動撓度沒有出現(xiàn)極值的原因是板邊為自由邊，飛機荷載的作用類似為沖擊力的作用。相對而言其荷載的作用時間較短，由于阻尼的作用，沒有足夠的荷載作用時間使道面的撓度得到完全產(chǎn)生。這種現(xiàn)象隨著滑行速度的增大而越明顯，因此隨著滑行速度的增大道面產(chǎn)生的動撓度逐漸下降。

圖6 動撓度與飛機滑行速度曲線(y=2.0 m)Fig.6 Curves of dynamic deflection and airplane taxing

4 結(jié)論

研究了飛機滑行時，粘彈性層狀地基上道面板的動響應(yīng)。采用的半解析元法較好地解決了粘彈性半空間地基與道面板的相互作用。計算方法較其它數(shù)值計算方法具有未知變量少，計算速度和收斂快等特點。建立了飛機在道面上滑行的荷載計算公式。運用瑞尼阻尼表示整個道面結(jié)構(gòu)體系的阻尼特性，使道面結(jié)構(gòu)的阻尼特性得到簡化。用Wilson－θ法求解運動方程組，得到板的撓度變化曲線。在道面內(nèi)部鉆孔安裝位移傳感器，解決了道面板動撓度的測定方法。實測了H－6飛機在不同滑行速度下，道面板撓度隨時間的變化規(guī)律。實測結(jié)果與計算結(jié)果誤差在3%以內(nèi)。說明本文所建立的道面板動響應(yīng)分析方法是正確的，可用來進行道面結(jié)構(gòu)動響應(yīng)的分析，為機場水泥混凝土道面結(jié)構(gòu)設(shè)計中動載系數(shù)的確定奠定了理論分析基礎(chǔ)。

［1］翁興中，蔡良才.機場道面設(shè)計［M］.北京:人民交通出版社，2007:22 －23.

［2］Hom W J.Pavement response to aircraft dynamic loads［R］.ArmyEngineerWaterwaysExperimentStation，Defense Technical Information Center，1975.

［3］Vajarasathira K V，Yener M，Ting E C，et al.Aircraft pavement interaction in runway analysis［J］.Journal of Structure Engineering，1984，110(5):1008－1020.

［4］黃曉明，鄧學鈞.移動荷載作用下粘彈性文克勒地基板的力學分析［J］.重慶交通學院學報，1990，9(2):45 －51.HUANG Xiao-ming， DENG Xue-jun. Themechanical analysis of plate on visco-elastic winkler foundation under moving load［J］.Journal of Chongqing Jiaotong University，1990，9(2):45－51.

［5］孫 璐，鄧學鈞.運動分布荷載作用下彈性地基上無限大板瞬態(tài)響應(yīng)［J］.應(yīng)用力學學報，1997，14(2):72－78.SUN Lu，DENG Xue-jun.Transient response for infinite plate on winkler foundation by a moving distributed load［J］.Chinese Journal of Applied Mechanics，1997，14(2):72－78.

［6］孫 璐，鄧學鈞.運動負荷下粘彈性Kelvin地基上無限大板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［J］.巖土工程學報，1997，19(2):14－22.SUN Lu，DENG Xue-jun.Steady response of infinite plate on viscoelastic winkler foundation to moving load［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1997，19(2):14 －22.

［7］蔣建群，周華飛，張土喬.移動荷載下粘彈性地基上無限大板的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［J］.中國公路學報，2006，19(1):6－11.IANG Jan-qun，ZHOU Ha-fei，ZHANG Tu-qiao.Steady state response of infinite plate on visco-elastic foundation subjected to moving load［J］.China Journal of Highway and Transport，2006，19(1):6 －11.(in Chinese).

［8］婁 平，曾慶元.移動荷載作用下連續(xù)粘彈性基礎(chǔ)支承無限長梁的有限元分析［J］.交通運輸工程學報，2003，3(2):1－6.LOU P，ZENG Q Y.Finite element analysis of infinitely long beam resting on continuous viscoelastic foundation subjected to moving loads［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2003，3(2):1 －6.

［9］婁 平，曾慶元.移動荷載作用下板式軌道的有限元分析［J］.交通運輸工程學報，2004，4(1):29－33.LOU Ping，ZENG Qing-yuan.Finite element analysis of slab track subjected to moving load［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2004，4(1):29 －33.

［10］聶志紅，阮 波，李 亮.鐵路道床路基動力響應(yīng)的參數(shù)影響［J］.交通運輸工程學報，2004，4(1):34－37.NIE Zhi-hang，RUAN Bo，LI Liang. Dynamic response parameters of railway ballast-subgrade［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2004，4(1):34－37.

［11］GJB 1278A－2009.軍用機場水泥混凝土道面設(shè)計規(guī)范［S］.

［12］趙煒誠，許志鴻，黃 文.混凝土面層與貧混凝土基層的層間作用對荷載應(yīng)力和彎沉的影響［J］.中國公路學報，2003，16(4):9－15.ZHAO Wei-cheng，XU Zhi-hong，HUANG Wen.Influence of load stress and deflection on interfacial interaction between portland concrete pavement and lean concrete base［J］.China Journal of Highway and Transport，2003，16(4):9－15.