王存舉

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

并半連續(xù)格的一些性質(zhì)

王存舉

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

文章給出并半連續(xù)格的概念，討論并半連續(xù)格的一些性質(zhì).在并半連續(xù)格中引入并半Scott開(kāi)集簇，用其來(lái)刻畫(huà)并半連續(xù)格.

半素濾子;并連續(xù)格;并半連續(xù)格

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中引入連續(xù)格的概念后，人們對(duì)連續(xù)格進(jìn)行深入研究，把連續(xù)格推廣到半連續(xù)格[1]中得到許多新性質(zhì).在本文中，我們?cè)诓⑦B續(xù)格的基礎(chǔ)上，從半素濾子上定義了并半連續(xù)格，研究了并半連續(xù)格的一些性質(zhì)，引入了Scott開(kāi)集簇來(lái)刻畫(huà)并半連續(xù)格.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè) F為格 L的濾子，若對(duì)于任意 x，y，z∈L，當(dāng) x∨y∈F，x∨z∈F時(shí)，有 x∨(y∧z)∈F，則稱(chēng) F為半素濾子.用 Fi(L)表示所有半素濾子組成的集合.

定義2[2]設(shè)(L，≤)是偏序集，對(duì)于?x，a∈L，D?L，定義:↓a=｛x∈L:x≤a｝，↑a=｛x∈L:a≤x｝，↓D=∪｛↓a:a∈D｝，↑D=∪｛↑a:a∈D｝，當(dāng) D=↓D時(shí)稱(chēng) D為下集，當(dāng) D=↑D時(shí)稱(chēng) D為上集.

定義3[3]設(shè) L是完備格，對(duì)于 a，b∈L，稱(chēng) a?b，若對(duì)任意 F∈Fi(L)，∧F≤a，有 b∈F.記?a=｛x∈L∶x?a｝，?a=｛x∈L:a?x｝.若 a?a，則 a稱(chēng)是?緊元，記 K(L)=｛a∈L:a是?緊元｝.

2 并半連續(xù)格概念及性質(zhì)

下面我們先引用文獻(xiàn)[4]中并連續(xù)格的概念，如果 x∨(∧F)=∧(x∨F)對(duì)任意余定向 F和 x都成立，則稱(chēng)并半格 L是并連續(xù)格.從而我們結(jié)合文獻(xiàn)[5]對(duì)偶給出下面定義.

定義4 設(shè) L是完備格，對(duì)任意 x∈L，F(xiàn)∈Fi(L)，若 x∨(∧F)=∧(x∨F)，則稱(chēng) L是并半連續(xù)格.

定理1 設(shè) L是完備格，若對(duì)任意 x∈L，有?x是半素濾子.

證明 對(duì)任意 x∈L，顯然?x是上集.對(duì)?a，b∈?x，由定義3知，對(duì)?F≤Fi(L)，若∧F≤x，則 a∈F且 b∈F.由 L是完備格且 F是半素濾子知，a∧b∈F，從而 x?a∧b.于是?x為濾子.下面接著證?x是半素濾子.對(duì)任意 r，s，t∈L，若 r∨s∈?x且 r∨t∈?x，則對(duì)?F∈Fi(L)，當(dāng)∧F≤x時(shí)，有 r∨s∈F，r∨t∈F，由于 F是半素濾子，于是 r∧(s∨t)∈F，再由定義3知，x?r∧(s∨t)，即 r∧(s∨t)∈?x.即證明?x是半素濾子.

引理1 設(shè) L為完備格，若 L滿(mǎn)足 a≤b蘊(yùn)含 a?b，則稱(chēng) L是并半連續(xù)格.

證明 由定義1知，↑a=｛x∈L:a≤x｝，所以 a≤∧↑a，故 a∨(∧↑a)=∧↑a=∧(a∨↑a)，由a≤b蘊(yùn)含 a?b，所以↑a包含?a，所以有 a∨(∧?a)=∧?a=∧(a∨?a)，由定理1知對(duì)任意 a∈L，有?a∈Fi(L)，從而滿(mǎn)足定義4，故 L是并半連續(xù)格.

推論1 若完備格 L是并半連續(xù)格，當(dāng) a≤x蘊(yùn)含著 a?x時(shí)，對(duì)?a∈L，有∧?a≤a.

命題1 設(shè) L是完備格，則對(duì)任意 a∈L，有?a=∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.

證明 設(shè) x∈?a，即 a?x.對(duì)任意的 F∈Fi(L)，滿(mǎn)足∧F≤a，則 x∈F.從而?a?∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.另一方面，設(shè) y∈∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝，則存在 F∈Fi(L)，滿(mǎn)足∧F≤a，有 y∈F從而 a?y.因此有∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝??a.所以?a=∪｛F∈Fi(L):∧F≤a｝.

引理2 設(shè) L是并半連續(xù)格，對(duì)任意 z，y∈L，若 z≤y蘊(yùn)含著 z?y，則存在 x∈L，使得 z?x?y.

證明 設(shè) L是并半連續(xù)格，若存在 x∈L，則由推論1知，∧?x≤x.令 z=∧?x，則 z≤x蘊(yùn)含著 z?x.若 x?y，對(duì)任意 F∈Fi(L)，∧F≤x，有 y∈F，由命題1知，?x?F，所以 z=∧?x≤∧F，即 z≤∧F≤x，也有 y∈F，故 z?y，從而說(shuō)明存在 x∈L，使得 z?x?y成立.

注1 每個(gè)素濾子都是半素濾子.

定義5 設(shè) L是完備格，稱(chēng) L的子集 U為并半Scott開(kāi)集，如果 U滿(mǎn)足以下條件:

(1)U=↑U;

(2)對(duì)任意 F∈Fi(L)，∧F∈U蘊(yùn)含著 F∩U≠?.顯然 L上的全體并半Scott開(kāi)集 U構(gòu)成了一個(gè)拓?fù)洌蔀椴隨cott拓?fù)?，記?σ?(L).特別地，當(dāng)并半Scott開(kāi)集 U是濾子時(shí)，稱(chēng) U是并半Scott開(kāi)濾子，簡(jiǎn)稱(chēng)并半開(kāi)濾子.

定理3 設(shè) L是并半連續(xù)格，對(duì)任意 x，y∈L，若 x?y，蘊(yùn)含著 x≤y，有下面兩個(gè)結(jié)論成立:

(1)?x∈σ?(L);

(2)L↓x∈σ?(L).

證明 (1)顯然對(duì)任意 x，y∈L，若 x?y，蘊(yùn)含著 x≤y，則?x為一個(gè)上集，下面設(shè) F∈Fi(L)，滿(mǎn)足∧F∈?x，則 x?∧F.由引理2知，存在 z∈L，使得 x?z?∧F，所以 z∈F.故?x∩F≠?.所以?x∈σ?(L).

(2)L是并半連續(xù)格時(shí)，若 x?y，蘊(yùn)含著 x≤y，則 L↓x顯然是上集.下面設(shè) F∈Fi(L)滿(mǎn)足∧F∈L↓x.接著假設(shè) F∩(L↓x)=?，則有 F?↓x.但事實(shí)上 F是上集，↓x是下集，從而產(chǎn)生矛盾.因此F∩(L↑x)≠?.

定理4 設(shè) L是并半連續(xù)格，則下面結(jié)論等價(jià):

(1)存在并半Scott開(kāi)濾子 U使得 y∈U??x;

(2)x?y.

證明 (1)?(2)設(shè)存在并半Scott開(kāi)濾子 U使得 y∈U??x，則?F∈Fi(L)，若∧F≤x，則由 U是上集，有∧F≤U，又因?yàn)?U是并半Scott開(kāi)的，所以?u∈F，使得 u∈U.因?yàn)?y∈U??x，從而∧F≤x?u，因而 y∈F，所以 x?y.

(2)?(1)由引理1知，“?”具有插入性質(zhì)，所以存在序列｛yn:n∈N｝，使得 x?y1?…?yn－1?yn=y.令 U=∪｛↑yn:n∈N｝，則顯然是一族遞增濾子的并，故 U是濾子.對(duì)任意 n∈N，由 yn∈?x，有↑yn??x，故 U??x.下面證 U是并半Scott開(kāi)的.顯然 U是上集，對(duì)?F∈Fi(L)，若∧F∈U，則存在 yn，使得∧F∈↑yn，于是∧F≤yn?yn+1，從而 yn+1∈F，所以 yn+1∈F∩U≠?，故 U∈σ?(L).

推論2設(shè) L是并半連續(xù)格，則 U∈σ?(L)充要條件是 U=↑U且 U?∩｛?x:x∈U｝.

證明 由定理4顯然.

定理5 設(shè) L是并半連續(xù)格，且 k∈L，若↑k是并半Scott開(kāi)濾子，則 k是緊元.

證明 設(shè) F∈Fi(L)，則當(dāng)∧F≤k，有∧F∈↑k.因?yàn)椤黭是并半Scott開(kāi)濾子，所以存在 d∈F，且 d∈↑k，使得 d∈F∩↑k≠?，又因?yàn)?F是上集 ，從而對(duì) k∈F，有 k?k，故 k是緊元.

[1]RAY Y.Semiprime ideals in general lattices[J].JPure Appl Algebra，1989，56:105－118.

[2]鄭崇友，樊磊，崔宏斌.Frame與連續(xù)格[M].北京:首都師范大學(xué)出版社，2000.

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[4]GIERZG，HOFMANN K H，KEIMEL K，et al.Continuous lattices and domains[M].Cambridge:Cambridge University Press，2003.

[5]伍秀華，李慶國(guó).擬半連續(xù)格和交半連續(xù)格[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2008，22(6):11－16.

Abstract:In this paper，the introduction of the concept of join semicontinuous lattices and some properties of join semicontinuous lattices were discussed and introduction of the concept of join semi－Soctt open collection to described the characterizations of join semicontinuous lattices.

Key words:semiprime filter;join semicontinuous lattices;join semicontinuous lattice

Some Properties of Join Sem icontinuous Lattices

WANG Cun－ju
(School of Mathematical Sciences，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

O 153

A

2095－0691(2012)03－0030－02

2012－03－02

王存舉(1984－ )，男，安徽宿州人，碩士生，研究方向:一般拓?fù)鋵W(xué)和序理論.