卓澤朋，崇金鳳

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

“近世代數(shù)”課程的教學探討

卓澤朋，崇金鳳

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

近世代數(shù)是本科數(shù)學專業(yè)學生的一門重要的專業(yè)必修課，如何提高該課程的教學效果和教學水平，結合自身的教學實際，從教學內容、教學方法和教學手段等3個方面進行了論述.

近世代數(shù);教學內容;群;環(huán);域

近世代數(shù)(或抽象代數(shù))是師范院校數(shù)學專業(yè)本科學生的一門專業(yè)必修課，是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，主要介紹群、環(huán)和域3個代數(shù)系統(tǒng).通過這門課程的學習，學生不僅將受到本門課程的基本訓練，而且還可以培養(yǎng)科學的思維方式，并為他們進一步學習數(shù)學打下扎實的代數(shù)基礎.從師范教育的角度看，中學的數(shù)學內容絕大部分都是屬于代數(shù)方面的，其中一些最基本的數(shù)學概念以及一些初等數(shù)學難題，如果沒有近世代數(shù)的知識是不可能徹底搞清楚的.

我們知道，數(shù)、多項式和矩陣的出現(xiàn)是為了刻畫一些物理量和幾何量，它們具有很強的表現(xiàn)力，使用數(shù)、多項式和矩陣足以刻畫我們遇到的物理量和幾何量.然而，當人們企圖刻畫對稱性—— 無論是物理現(xiàn)象中，還是數(shù)學世界中(尤其是在幾何圖形中)的對稱性時，都無法用單個的數(shù)、多項式或矩陣去刻畫.為了刻畫“對稱”這一概念，人們發(fā)現(xiàn)了群，群是研究對稱性的有力工具.由于物理、幾何、數(shù)學中對稱這一概念的特殊重要性，群成為近代數(shù)學極其深刻和重要的概念之一.近世代數(shù)為現(xiàn)代數(shù)學、現(xiàn)代物理學、通信和密碼學等提供了重要的結論和研究方法.當今信息時代，近世代數(shù)有了越來越多的重要應用，如有限域在編碼理論、環(huán)和域在對稱密碼體制中的應用等.該門課程具有高度抽象性和概念特別多等特點，如何教好這門課程？文章結合我校數(shù)學科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)(師范類)的近世代數(shù)課程的教學實際，以文獻[1]為例，從教學內容、教學方法和教學手段3個方面，闡述筆者在具體的授課過程中總結出的一些經驗，以供讀者參考.

1 教學內容

1.1 注重主線,選內容

在我校，近世代數(shù)課程一直是數(shù)學科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)(師范類)的一門專業(yè)必修課，安排在第六學期開設，共72學時.隨著我國高等教育改革的不斷深入，為了適應當前本科通才教育的辦學理念——“寬口徑”，必須在大學中增設課程，為此，學院對該專業(yè)的教學計劃作了一定調整，壓縮了一些學時，這樣要在72個學時內，詳細講完文獻[1]中安排的所有內容是不可能的.因此，根據實際需要和后繼課的安排，在不減少授課內容、不降低教學要求的情況下，合理安排教學進度、調整教學內容、靈活安排習題課，充分調動學生的學習積極性，提高課堂教學效果和教學水平.根據這一情況，對近世代數(shù)課程的學時進行如下分配，見表1.

教材共分為5章，主要包括群、環(huán)和域3部分，當然這3部分也是近世代數(shù)最基本的內容，3部分在具體的授課過程中要抓住主線，圍繞主線進行教學.群的主線是群同態(tài)，同態(tài)或同構在比較兩個集合時是非常有效的工具;環(huán)的主線是理想;域的主線是域擴張.

表1 近世代數(shù)學時分配表

1.2 注重與高等代數(shù)相關知識的聯(lián)系

分析數(shù)學、代數(shù)學和幾何學是數(shù)學的3大基礎學科，在代數(shù)學這條線中，高等代數(shù)課程起基礎作用，近世代數(shù)課程起承上啟下作用.近世代數(shù)中有許多定義或定理可以看作是高等代數(shù)中相關定義或相關定理的推廣，所以在講授近世代數(shù)某些章節(jié)內容的時候，我們會和學生一起回憶以前在高等代數(shù)中學過的類似的定義或定理，這樣學生在學習這些新定義或新定理時較易于接受，印象也會非常深刻.例如，在講授教材的第4章整環(huán)里的因子分解時，其中很多的結論都可以看作是高等代數(shù)中類似結論的推廣，如，整除、唯一分解、最大公因子和不可約多項式等.讓學生認識到這一點，他們就會覺得各門課程或學科之間并不是獨立存在的，而是一個相互聯(lián)系、彼此相通的有機整體.近世代數(shù)其實并不“抽象”，有些問題完全可以用類似于高等代數(shù)中的思想方法去解決，比如，唯一分解環(huán)的判別定理的證明等.另外，本章第2節(jié)唯一分解環(huán)和第4節(jié)歐氏環(huán)教學中，我們首先會告知學生，這兩種特殊的整環(huán)，其實是大家熟悉的整數(shù)環(huán)中任一個非零整數(shù)都存在唯一分解和帶余除法定理在一般整環(huán)中的推廣，這樣會讓學生事先對這兩種環(huán)有了一個大概的認識，在實際學習過程中也不會感覺困難.

1.3 注重實例和應用知識的介紹

在近世代數(shù)的實際教學過程中，注重讓學生了解近世代數(shù)這門課程在現(xiàn)實生活中的主要應用，有意識地引導學生在熟悉的知識中去找一些抽象概念的具體例子，以此來更好地理解這些比較抽象的概念，正像恩格斯指出的“自然界對一切想像的數(shù)量都提供了原型”.對于一些抽象概念的學習，我們先給出一些學生熟悉的具體的實例，然后從這些實例中抽象概括出對象的本質屬性，再用概念去解決具體問題.這個過程體現(xiàn)了由具體到抽象的認識過程，是符合學生在學習過程中從感知到理解，從表象到概念的認識規(guī)律.同時，給學生介紹近世代數(shù)知識在實際生活中的應用，從而讓學生充分感受到近世代數(shù)這門課程的魅力和實用價值.比如:

(1)在課程的講授全過程，始終抓住一個具體的實例，即全體整數(shù)構成的集合對于普通的加法或/和普通的乘法構成的代數(shù)系統(tǒng).在教材中，從第一章到第四章，該實例共出現(xiàn)了26次(不包括課后習題)，該代數(shù)系統(tǒng)是學生非常熟悉的，對學生理解一些抽象的概念，如循環(huán)群、整環(huán)、零因子、唯一分解環(huán)和歐氏環(huán)等都有很大幫助.

(2)域是一種特殊的環(huán)，需要在一般環(huán)的定義中加上許多限制條件，在講授域的定義的時候，不妨拋開群和環(huán)的知識.首先和學生一起回憶全體有理數(shù)集合和全體實數(shù)集合關于普通加法和普通乘法構成的代數(shù)系統(tǒng)所具有的性質.然后，從這兩個具體實例中找出它們的共性(關于加法是可交換、可結合、存在單位元0和每個元素都存在負元;關于乘法是可交換、可結合、存在單位元1和每個非零元都存在逆元;加法和乘法是可分配的)，這些共性恰好是域所滿足的性質，從而就得到了域的定義.這種方法可以讓學生很快就能較好地理解和掌握域的定義及其一些基本性質，有很好的教學效果.

(3)在講授域的時候，向學生介紹有限域在密碼學中的應用.隨著計算機科學技術的迅猛發(fā)展，信息安全越來越重要，它不僅涉及到軍事、政治和外交領域，而且還與我們的日常生活息息相關，信息安全的核心就是密碼學，而有限域在密碼學中有著非常重要的應用.二元域的構造及在糾錯碼中的應用、線性反饋移位寄存器序列和布爾函數(shù)等都需要用到有限域，這些知識都可以向學生介紹.

1.4 注重歷史知識的滲透

興趣是最好的老師，它永遠勝過責任感.了解數(shù)學史，可以提高學生的數(shù)學學習興趣、培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探索精神[2－3].在日常的教學過程中，介紹一些與授課內容相關的數(shù)學史題材，從教學效果來看，這些素材的引入，對學生的學習有很大的促進作用，不僅調動了學生的學習積極性，提高了學生的學習興趣，而且?guī)椭鷮W生將抽象的概念具體化.

在第2章群論的授課中，學生簡單介紹了高次方程(五次和五次以上的方程)的根式解問題.1770年Lagrange發(fā)表了一篇論文，探討了一般三次、四次方程能用根式求解的原因，后來，Ruffini明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數(shù)方法求解.1824年Abel出版了一本小冊子《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》，解決了五次和五次以上的一般方程不能用根式求解的問題.之后，數(shù)學家面臨的一個問題是:什么樣的特殊方程能夠用根式求解？這個問題被Galois解決了，在解決此問題的時候，Galois給出了歷史上最早的“群”的定義，具體地說是置換群的定義.又如，在學習環(huán)的理想的時候，我們給學生介紹了物不知其數(shù)問題，也即是《孫子算經》中寫過的一個問題:今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？孫子算經中給出了它的解法，19世紀初Gauss給出了它的一般性定理，因此國際上稱《孫子算經》中的問題為“中國剩余定理”.近世代數(shù)對此問題有幾種形式的推廣，主要是用環(huán)的理想、直和來表示的.

2 教學方法與教學手段

數(shù)學具有高度的抽象性，關于這個特點在近世代數(shù)課程中更是體現(xiàn)得淋漓盡致.在近世代數(shù)的實際教學中，如何將抽象的概念和問題具體化，從而讓學生較容易地接受和理解這些新概念和新定理，教學方法和教學手段的選擇是非常重要的.弗賴登塔爾曾經指出:教學要像助產士一般，時刻觀察著、聯(lián)系著她的工作對象，決不可只借用學生的耳朵，而不啟動學生的腦子.

教學得法，事半功倍.選擇某一堂課的教學方法，我們首先考慮的是這堂課的教學內容和教學目標，如，這是一堂掌握新概念的課？復習課？形成技能的課？概括知識并使之系統(tǒng)化的課？等.對于這些不同的教學內容和教學目標，我們會選擇諸如教師講授、學習討論和學生自主探究等教學方法.

在近世代數(shù)的教學過程中，主要采用啟發(fā)式的教學模式，經常會通過提出某一個學習問題，引導學生解決它，并從中獲取解決問題的經驗.如，在講解代數(shù)運算(又稱二元運算)的定義時，教材中直接就給出了這個定義，這樣學生不容易接受，很難抓住其本質，而我們在講課的時候，首先讓學生回憶數(shù)或矩陣的加法、乘法;矩陣的乘法等這些已知的知識，然后提出“它們的共同點是什么”這一問題，讓學生歸納:集合 S上的代數(shù)運算是一個對應法則，對于 S中的任意兩個元素，按照這個法則都有 S種唯一一個元素與其對應，進一步地就可抽象出代數(shù)運算的定義.通過這樣的方法，學生很容易掌握這個定義.在講解群、環(huán)和域的定義時，都可以使用這種歸納啟發(fā)式.

同時，注意課堂中的提問技巧.近世代數(shù)的課后習題多為證明題，此類命題的真假一般都是確定的，只需學生利用定義或公式進行驗證即可.在實際教學過程中，我們經常會向學生提出如下一些問題:“這個結論的逆命題成立嗎”“這個命題中，去掉一個條件，該結論還成立嗎”“此題還有其他的方法或簡單方法證明嗎”等等，通過提出這樣的問題，讓學生進行思考，可以激發(fā)學生的發(fā)散思維.課堂講授以黑板演示為主，引導學生跟上教師的講課思路，特別是推導部分的思路，去理解課程的知識點.少量的多媒體輔助教學:借助電腦和投影儀來演示長篇的概念或定理陳述，避免抄寫、重新的歸納結果等.

武漢大學齊民友教授一直教導他的學生:“數(shù)學是算懂的，而不是看懂的，當然更不是聽懂的.”[4]所以，合理地布置一定數(shù)量的作業(yè)對于近世代數(shù)的學習是非常必要的.近世代數(shù)主要以抽象的代數(shù)運算去研究抽象的代數(shù)結構，這樣的研究方法使得不少學生感到學習近世代數(shù)無從下手，而通過做習題可以掌握和鞏固這些抽象的概念和定理，在做題的過程中也培養(yǎng)了他們分析和解決問題的能力.當然習題的選擇我們盡量照顧大部分學生的知識水平，有數(shù)量和難度的要求，有一定的廣度和適當?shù)纳疃?，盡可能地覆蓋所學的內容.除教材中的習題外，我們還編寫了含有填空、選擇、計算、證明的練習題及復習思考題，為學生開闊思路、復習總結提供參考.

3 結束語

教學實踐表明，近世代數(shù)的基本概念、理論和方法，是每一個數(shù)學工作者必備的基本數(shù)學素養(yǎng)之一.理解和掌握近世代數(shù)的基本內容、理論和方法，不僅可以加深學生理解數(shù)學的基本思想和方法，而且還可以提高學生的抽象思維能力和培養(yǎng)他們的數(shù)學修養(yǎng).對于這門課程的教材選用，我們學院以教材為主，結合教學實踐，認為這本教材內容比較精簡，例題和課后習題偏少，與高等代數(shù)課程聯(lián)系較少，一些新出現(xiàn)的與群、環(huán)和域相關的知識缺乏，也沒有實際應用的例子.因而，在今后的教學過程中，我們會編寫一本順應時代發(fā)展和適合我校教學實際情況的近世代數(shù)教材.

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎[M].北京:高等教育出版社，1978.

[2]唐光倫.發(fā)揮數(shù)學史作用，提高數(shù)學教學質量[J].四川文理學院學報:教育教學研究專輯，2008，18:117－118.

[3]卓澤朋，崇金鳳.“離散數(shù)學”課程的教學探討[J].淮北煤炭師范學院學報:自然科學版，2009，30(2):82－85.

[4]齊民友.世紀之交話數(shù)學[M].武漢:湖北教育出版社，2000.

[5]夏靜波，鄒庭榮，張四蘭.“近世代數(shù)”的教學技巧[J].大學數(shù)學，2009，25(1):5－8.

[6]丘維聲.抽象代數(shù)基礎[M].北京:高等教育出版社，2003.

[7]石生明.近世代數(shù)初步[M].北京:高等教育出版社，2002.

[8]李伯春，侯峻梅，崇金鳳.數(shù)學教育學[M].合肥:安徽大學出版社，2004.

[9]萬哲先.代數(shù)和編碼[M].北京:科學出版社，1985.

[10]郭華光，徐祥，裴定一.近世代數(shù)課程的教學內容的改革與實踐[J].廣州大學學報:自然科學版，2003，2(6):587－590.

Abstract:Modern algebra is an important specialized course in department of mathematics.How to improve its teaching effect and teaching level.Teaching practice is given from teaching content，teachingmethod and means of instruction in this paper.

Key words:modern algebra;teaching content;group;ring;field

On the Teaching Practice of M odern Algebra

ZHUO Ze-peng，CHONG Jin-feng
(School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

G 642.0

C

2095－0691(2012)03－0080－04

2012－01－16

卓澤朋(1978－ )，男，安徽靈璧人，碩士，副教授，研究方向:密碼學及信息安全.