張端金，孟 姍，郭 皓，管莉莉

(鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院，河南鄭州450001)

0 引言

由于在實(shí)際工程中，如網(wǎng)絡(luò)、環(huán)境、電力等系統(tǒng)中廣泛存在著時(shí)滯現(xiàn)象，因而，研究時(shí)滯系統(tǒng)的故障檢測具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義，引起了學(xué)者的高度重視.Nader等［1］研究了連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)的故障檢測和分離方法，所設(shè)計(jì)的濾波器保證了故障信號(hào)和殘差信號(hào)滿足H-infinity范數(shù)要求.Wang等［2］利用線性矩陣不等式方法，給出了離散時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒故障檢測濾波器設(shè)計(jì)方法.Zhang等［3］討論了含有丟包和時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)故障檢測.李娟等［4］利用無時(shí)滯轉(zhuǎn)換方法，完成了基于降維狀態(tài)觀測器的離散時(shí)滯系統(tǒng)故障診斷的研究.

概括地講，現(xiàn)有的時(shí)滯系統(tǒng)的故障檢測濾波器設(shè)計(jì)均是針對(duì)連續(xù)系統(tǒng)或離散系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)的.當(dāng)傳統(tǒng)移位算子描述的離散系統(tǒng)逼近連續(xù)系統(tǒng)時(shí)，離散系統(tǒng)的所有極點(diǎn)位于穩(wěn)定邊界處，在有限字長較小的計(jì)算機(jī)中實(shí)現(xiàn)時(shí)，產(chǎn)生較大的量化誤差和極限環(huán)振蕩等問題.由此筆者采用Delta算子方法進(jìn)行故障檢測的研究.

Delta算子作為一種新的離散化方法，避免了高速采樣時(shí)產(chǎn)生的病態(tài)條件問題，而且可將連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng)和離散時(shí)滯系統(tǒng)歸入統(tǒng)一框架下.此外，Delta算子系統(tǒng)的采樣周期是顯示參數(shù)，便于觀察和分析不同采樣周期下控制系統(tǒng)的性能，它的有限字長特性、系數(shù)靈敏度等也均優(yōu)于傳統(tǒng)移位算子.因而，Delta算子方法在系統(tǒng)控制和信號(hào)處理方面不斷取得新的研究進(jìn)展［5-7］.

筆者針對(duì)具有范數(shù)有界的狀態(tài)時(shí)滯系統(tǒng)，基于已有的魯棒故障檢測濾波器［8-9］，給出Delta算子方法的設(shè)計(jì)過程和仿真舉例.

1 系統(tǒng)描述

首先給出文中標(biāo)記：Rn表示n維歐氏空間;R2n×2n表示2n×2n維實(shí)矩陣集;I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣;上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置;*表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱項(xiàng).

Delta算子的定義為［6］

式中：Ts為采樣周期，當(dāng)Ts=0時(shí)為連續(xù)系統(tǒng)，Ts≠0時(shí)為離散系統(tǒng).

考慮系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障，Delta算子描述的離散線性時(shí)滯系統(tǒng)：式中：x(k)∈Rn為狀態(tài)變量;d(k)∈Rm為未知輸入;f(k)∈Rs為故障信號(hào);y(k)∈Rp為測量輸出;u(k)∈Rq為控制輸入;τ為時(shí)滯常數(shù);Φ(φ)為初始狀態(tài)序列.設(shè)u(k)，d(k)，f(k)均是能量有界的信號(hào);Aδ，A1δ，Bδ，Dδ，F(xiàn)δ，Cδ，Eδ，Gδ均是具有適當(dāng)維數(shù)的已知實(shí)常數(shù)矩陣.

假設(shè)系統(tǒng)(2)漸近穩(wěn)定，則根據(jù)(2)構(gòu)造的Delta算子時(shí)滯系統(tǒng)故障檢測濾波器如下所示：

由此，魯棒故障檢測濾波器的設(shè)計(jì)問題可轉(zhuǎn)化為如下問題，即在零初始條件下，設(shè)計(jì)形如式(3)的濾波器，使增廣系統(tǒng)式(4)滿足漸近穩(wěn)定和如下的性能指標(biāo)：

其中，

利用所得殘差信號(hào)r(k)得到殘差評(píng)價(jià)函數(shù)：

閥值取為

式中：k0是初始評(píng)價(jià)時(shí)刻;W為評(píng)價(jià)步數(shù).

通過比較J和Jth的值達(dá)到檢測有無故障發(fā)生的目的：當(dāng)J＞Jth時(shí)，有故障發(fā)生，發(fā)出警報(bào);當(dāng)J≤Jth時(shí)，無故障發(fā)生.

2 故障檢測濾波器設(shè)計(jì)

引理1 對(duì)于任意非零的S(k)∈l2［0，∞］，給定常數(shù)λ＞0，如果存在正定對(duì)稱矩陣G∈R2n×2n和H∈R2n×2n使線性矩陣不等式(8)成立，則增廣系統(tǒng)式(4)漸近穩(wěn)定且滿足性能指標(biāo)式(5).

證明：首先建立增廣系統(tǒng)式(4)在S(k)≡0時(shí)的漸近穩(wěn)定性條件，選取如下Lyapunov泛函：

那么

其中，

利用Schur補(bǔ)引理，可知引理1中的(8)保證Γ＜0，因此由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知增廣系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的.

為了證明增廣系統(tǒng)(4)也滿足指標(biāo)(5)，設(shè)系統(tǒng)初始條件為零，則

考慮下面的性能指標(biāo)：

又因?yàn)樵鰪V系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的，所以可以得到 V(ξφ(k))|k→∞→ 0，則

結(jié)合式(4)可得

式中：β(k)= ［ξT(k)ξT(k- τ)ST(k)］T，∏如式(8)所示.對(duì)任意非零的S(k)∈l2［0，∞］，由式(8)可知J＜0，所以式(5)成立，引理1得證.

下面給出Delta算子離散時(shí)滯系統(tǒng)魯棒故障檢測濾波器存在的充分條件.

定理1 給定常數(shù)λ＞0，如果存在對(duì)稱正定矩陣M，N，V，H1，H3，一般矩陣Q，R，X，U，H2，ˉDδ滿足線性矩陣不等式(9)和(10)，則在零初始條件下和對(duì)任意非零的S(k)，增廣系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的且滿足性能指標(biāo)(5)，此時(shí)滿足要求的故障檢測濾波器參數(shù)矩陣由式(11)給出.

證明：利用Schur補(bǔ)引理，可推出下式與式(8)等價(jià)，

其中，α1=-G+H，α2=- λ2I.

將G，F(xiàn)=G-1和H進(jìn)行如下分解：

式中：G1∈Rn×n，G3∈Rn×n，F(xiàn)1∈Rn×n，F(xiàn)3∈Rn×n，H1∈Rn×n，H3∈Rn×n，均是對(duì)稱正定矩陣.設(shè)可逆矩陣：

從而得到式(9).

然后將式(14)代入濾波器的傳遞函數(shù)：

結(jié)合式(13)，可得

從而可將濾波器的參數(shù)矩陣寫成式(11).

另外，由G的正定性可知：

利用Schur補(bǔ)引理和式(13)可得式(10).定理1得證.

注1：從以上分析可得，通過求解線性矩陣不等式(9)和(10)，即可得到魯棒故障檢測濾波器的參數(shù)矩陣式(11).但式(9)和式(10)不僅是關(guān)于矩陣變量，還是關(guān)于λ的矩陣不等式.為了解決這個(gè)問題，借助Matlab LMI工具箱，求解以下凸優(yōu)化問題：

得到λ的最優(yōu)值，保證殘差信號(hào)和故障信號(hào)間的誤差最小，同時(shí)使殘差信號(hào)對(duì)控制輸入和未知輸入信號(hào)具有最優(yōu)衰減水平.

3 數(shù)值仿真

考慮一個(gè)二階時(shí)滯離散系統(tǒng)，采樣周期Ts=0.005 s.系統(tǒng)的參數(shù)矩陣如下所示：

0.3 ，Gδ=1.302，τ=4，假設(shè)控制輸入u(k)的幅值為0.1的正弦信號(hào)，未知輸入d(k)為幅值不大于0.5的隨機(jī)信號(hào)，故障信號(hào)

利用Matlab仿真環(huán)境求解式(9)和(10)，得到濾波器參數(shù)矩陣：

仿真時(shí) k=0，1，…，600，由式(7)計(jì)算可得閥值，Jth=0.794 8，從仿真結(jié)果可以得出：

即故障出現(xiàn)一步后被檢測出.上述結(jié)果證明了利用該方法進(jìn)行故障檢測的有效性和較高靈敏度.

圖1和圖2分別給出了無故障和有故障情況下殘差信號(hào)的大小.圖3給出了殘差評(píng)價(jià)函數(shù)變化.

圖1 無故障時(shí)的殘差信號(hào)Fig.1 Residual without fault signal

從圖1中可以看出，無故障時(shí)殘差信號(hào)較小，基本在0.1以內(nèi).k=200時(shí)發(fā)生故障，造成圖2中殘差信號(hào)明顯增大.從圖2還可以看出，這種故障檢測濾波器具有魯棒性.

圖2 有故障時(shí)的殘差信號(hào)Fig.2 Residual with fault signal

從圖3可以看出，故障發(fā)生后殘差評(píng)價(jià)函數(shù)明顯且迅速增大，保證可以有效和較快地檢測出故障信號(hào).

圖3 殘差評(píng)價(jià)函數(shù)變化曲線Fig.3 Evolution of residual evaluation

4 結(jié)論

筆者給出了基于Delta算子的時(shí)滯系統(tǒng)故障檢測算法.采用Delta算子描述離散時(shí)滯系統(tǒng)，當(dāng)采樣周期趨于零時(shí)，Delta算子模型趨于原來連續(xù)模型，避免了出現(xiàn)病態(tài)條件，顯著提高了殘差產(chǎn)生器的魯棒性.仿真結(jié)果表明，故障信號(hào)可有效且較快地被檢測出來，證明了該方法的可行性.

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［4］李娟，唐功友.基于觀測器的離散時(shí)滯系統(tǒng)的故障診斷［J］.控制與決策，2010，25(8)：1220-1224.

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［9］王紅茹，王常虹，高會(huì)軍.時(shí)滯離散LPV系統(tǒng)的魯棒故障檢測與分離［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39(9)：1352-1355.