王 杰，劉 琪，黨勤華

(1.鄭州大學電氣工程學院，河南鄭州450001;2.周口師范學院物理與電子工程系，河南周口466001)

0 引言

具有不確定性的現(xiàn)象與事物，普遍存在于自然界和人類社會中.如何表示和處理不確定性現(xiàn)象與事物，一直是自然科學研究的熱點和重點，也是一個瓶頸性問題［1］.Zadeh 博士［2］1965 年發(fā)表了模糊集合的開創(chuàng)性成果，提出了利用隸屬度來表示事物的亦此亦彼性，隸屬度函數(shù)的形式主要包括分段線性函數(shù)和非線性函數(shù)［3］兩種.

隸屬度函數(shù)的確定方法［4］一直沒有得到根本解決.實際應(yīng)用中，隸屬度的確定一般采用主觀取值，是不可靠的，若采用統(tǒng)計的方法，往往成本很高，有時根本不可能做到.筆者提出了基于密度指標的單次聚類方法，通過曲線擬合，確定了非線性隸屬度函數(shù)，方法簡單，易于推廣.

1 非線性隸屬度函數(shù)

非線性隸屬度函數(shù)主要有高斯型、sigmoid型、S型、拋物線型等.其中高斯型隸屬度函數(shù)和sigmoid型隸屬度函數(shù)具有很好的光滑性，圖形沒有零點而且具有比較清晰的物理意義，是描述不確定性最為常用的隸屬度函數(shù).

高斯型隸屬度函數(shù)［3］表達式如式(1)，其主要參數(shù)是函數(shù)中心a和函數(shù)曲線的寬度σ，如圖1所示.

圖1 高斯型隸屬度函數(shù)Fig.1 Gaussian membership function

sigmoid型隸屬度函數(shù)［3］表達式如式(2)，適用于“很”、“很不”修飾的語言值的隸屬度函數(shù)，由b，c兩個參數(shù)確定，當b為正，sigmoid型隸屬度函數(shù)曲線向右開口;當b為負，sigmoid型隸屬度函數(shù)曲線向左開口，如圖2所示.

圖2 sigmoid型隸屬度函數(shù)Fig.2 Sigmoid membership function

2 單次聚類方法

模糊聚類分析是許多分類和系統(tǒng)建模的基礎(chǔ).聚類的目的是從大量的數(shù)據(jù)中抽取固有的特征，以獲得系統(tǒng)行為的簡潔表示.Bezdek提出用隸屬度確定數(shù)據(jù)點屬于某個聚類程度的模糊C均值聚類(FCM)方法［5］是目前比較成熟的模糊聚類方法［6］，但算法結(jié)果嚴重依賴隨機生成的初始聚類中心.筆者提出一種基于密度指標的單次算法，它的計算量與輸入數(shù)據(jù)數(shù)目成線性關(guān)系.

對于 X={x1，x2，...，xn} ? RS的樣本點集合，單次聚類方法如下：

Step1：設(shè)定鄰域半徑ra、模糊指數(shù)b和聚類中心個數(shù)m;

Step2：計算每一個點xi的密度指標：

其中，

是該點的領(lǐng)域半徑，選取最高的密度指標點xc1作為首個聚類中心;

Step3：對每個數(shù)據(jù)點的密度指標進行修正：

其中，rb是密度指標函數(shù)顯著減小的鄰域半徑，一般為rb=1.2ra，取最高的密度指標點xck+1作為新的聚類中心;

Step4：再修訂每個數(shù)據(jù)點的密度指標，直到得到m個聚類中心，將聚類中心定義為wk，k=1，2，...，m;

Step5：計算xi對wk的隸屬度uik：

在上述方法中，領(lǐng)域半徑ra是某點的密度貢獻顯著減小的度量，一般采用式(4)確定，實際分析中，只要能得到m個聚類中心，其值大小對聚類結(jié)果沒有影響，其值越大聚類中心出現(xiàn)越早，但如果過大，得到的聚類中心數(shù)目將會小于m.模糊指數(shù)b的確定比較復雜，實際分析表明，聚類結(jié)果對模糊指數(shù)b的變化并不敏感，最佳選取區(qū)間為［1.5，2.5］，一般情況下可取 b=2.

3 實例仿真

單次聚類方法可以得到聚類中心和每個數(shù)據(jù)點對聚類中心的隸屬度，這些參數(shù)可以確定隸屬度函數(shù)，仿真實例選用鄂北石油鉆井［7］現(xiàn)場總體積數(shù)據(jù)EB_Da51，確定總體積變化量的隸屬度函數(shù)，總體積變化量是石油鉆井井涌、井漏等事故的主要判別參數(shù)之一.EB_Da51中的200個數(shù)據(jù)分布如圖3.

圖3 石油鉆井中EB_Da51數(shù)據(jù)Fig.3 Data EB_Da51 of the petroleum drilling

單次聚類方法預設(shè)定的聚類中心個數(shù)m、聚類得到聚類中心和數(shù)據(jù)點對聚類中心的隸屬度等參數(shù)確定隸屬度函數(shù)的具體方法如下：

Step1：數(shù)據(jù)統(tǒng)一論域，并根據(jù)實際情況確定語言值數(shù)目，筆者尋求石油鉆井中總體積變化量的隸屬度函數(shù)，將EB_Da51數(shù)據(jù)映射到統(tǒng)一的論域空間，取無、小、中、大4個語言值，即m=4.

Step2：單次聚類，求解聚類中心wk和數(shù)據(jù)對聚類中心的隸屬度uik，如圖4所示.可以看出，中間語言值基本服從正態(tài)分布，可用高斯型隸屬度函數(shù)表征，兩極語言值出現(xiàn)了邊緣失真，用sigmoid型隸屬度函數(shù)曲線表征可以避免這種失真.

圖4 數(shù)據(jù)變化量的隸屬度Fig.4 Membership degree of data variable quantity

Step3：將中間語言值(本例中為“小”和“中”)的論域用高斯型隸屬度函數(shù)曲線擬合，得到其參數(shù).筆者采用Matlab7中曲線擬合工具箱(Curve Fitting)的Trust-Region方法進行擬合得到參數(shù)，如表1所示.

Step4：將兩極語言值(本例中為“無”和“大”)的論域用sigmoid型隸屬度函數(shù)曲線擬合，得到其參數(shù).筆者采用Matlab7中曲線擬合工具箱(Curve Fitting)的Trust-Region方法進行擬合得到參數(shù)如表1所示.

表1 隸屬度函數(shù)的參數(shù)Tab.1 Parameters of membership function

Step5：根據(jù)曲線擬合得到的參數(shù)，可以確定隸屬度函數(shù)如圖5所示.

圖5 EB_Da51的隸屬度函數(shù)Fig.5 Membership function of data EB_Da51

4 結(jié)論

經(jīng)實例研究表明，筆者提出的單次聚類方法不需迭代，避免了模糊均值聚類方法容易陷入局部極小點的可能性，快速得到了聚類中心和數(shù)據(jù)的隸屬度，它的計算量僅與輸入數(shù)據(jù)數(shù)目成線性關(guān)系.采用單次聚類方法，通過曲線擬合確定了高斯型和sigmoid型隸屬度函數(shù)，解決了非線性隸屬度函數(shù)難以確定的難題.

［1］李德毅.知識表示中的不確定性［J］.中國工程科學，2002(10)：73-79.

［2］ZADEH L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965(8)：338-353.

［3］黃士濤，胡全義，馬進元，等.自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)在起重機穩(wěn)鉤控制中的應(yīng)用［J］.鄭州大學學報：工學版，2007，28(1)：21-25.

［4］陸建江，張亞非，宋自林.模糊關(guān)聯(lián)規(guī)則的研究與應(yīng)用［M］.北京：科學出版社，2008：43-51.

［5］劉琪，張鴻輝，黃貞貞.基于模糊C均值聚類方法的石油鉆井工作狀態(tài)分析［J］.周口師范學院學報，2009(5)：47-49.

［6］黎燦兵，曲芳，王曉寧，等.基于模糊聚類的電力系統(tǒng)負荷特性分析［J］.鄭州大學學報：工學版，2010，29(1)：107-110.

［7］王杰，陳東海，朱曉東，等.基于分層模糊系統(tǒng)的石油鉆井事故預警系統(tǒng)：中國，200710055178.6［P］.2007-06-01.