劉 洋，許貴橋

Hermite插值在一重積分Wiener空間下的平均誤差

劉 洋，許貴橋

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

在加權(quán)L2范數(shù)下討論基于第一類Chebyshev多項(xiàng)式零點(diǎn)的Hermite插值多項(xiàng)式在一重積分Wiener空間下的平均誤差，得到了相應(yīng)量的弱漸近階．

Hermite插值多項(xiàng)式；Chebyshev多項(xiàng)式；一重積分Wiener空間

設(shè)F是一個(gè)實(shí)可分的Banach空間，μ是定義在F的Borel子集上的概率測(cè)度．設(shè)H為另一個(gè)范數(shù)為‖·‖的線性賦范空間，F(xiàn)連續(xù)嵌入到H．任意使得f→‖f－A（f）‖為可測(cè)映照的算子A：F→H被稱為一個(gè)逼近算子．算子A的平均誤差定義為

記F0＝｛f∈C［0，1］：f（0）＝0｝．對(duì)任意f∈F0，令‖f‖C＝｜f（t）｜，則（F0，‖·‖C）成為一個(gè)可分的Banach空間，用B（F0）表示（F0，‖·‖C）上的Borel類，用ω0表示B（F0）上的Wiener測(cè)度［1］．令（T1g）（t）＝∫t0g（u）du，則對(duì)任意g∈F0，

易知T1為F0到F1的一個(gè)雙射．F1上的一重積分Wiener測(cè)度ω1由誘導(dǎo)測(cè)度ω1＝T1ω0給出，即AF1，

設(shè)F＝｛f∈C（1）［－1，1］：f（k）（－1）＝0，k＝0，1｝．F上的一重積分Wiener測(cè)度ω為：對(duì)任意AF，

對(duì)f∈C［－1，1］，定義f的加權(quán)L2范數(shù)為k＝1，2，…，n為n次第一類Chebyshev多項(xiàng)式Tn（x）＝cos nθ，x＝cosθ的全部零點(diǎn)．對(duì)f∈C［－1，1］，f的基于｛xk｝nk＝1的Lagrange插值多項(xiàng)式為［2］

其中：

相應(yīng)的Hermite－Fejér插值多項(xiàng)式為［3］

其中：

由文獻(xiàn)［4］可知

對(duì)于正數(shù)序列｛an｝和｛bn｝，an≈bn表示存在與n無關(guān)的常數(shù)C，使得an／C≤bn≤Can，不同表達(dá)式中的C可能不同．由式（7）和式（8）可知，由式（3）和式（5）定義的Lagrange插值與Hermite－Fejér插值在一重積分Wiener空間下的平均誤差有不同的收斂階．由文獻(xiàn)［5］可知，由式（3）和式（5）定義的Lagrange插值與Hermite－Fejér插值在Wiener空間下的平均誤差有相同的收斂階．這說明不同的插值算子在不同概率空間下的平均誤差是需要單獨(dú)考慮的．下面考慮基于｛xk｝nk＝1的Hermite插值多項(xiàng)式．

若f∈C（1）［－1，1］，則f的基于｛xk｝nk＝1的Hermite插值多項(xiàng)式Gn（f，x）為滿足條件

且次數(shù)不高于2n－1的代數(shù)多項(xiàng)式，其表達(dá)式為［6］

其中：

由文獻(xiàn)［6］可知，若pn（x）為次數(shù)不超過2n－1的代數(shù)多項(xiàng)式，則有

本研究得到

定理 設(shè)Gn（f，x）如式（10）定義，則

引理1［6］設(shè)σk（x）由式（11）定義，則

引理2［4］設(shè)s≥t，則有

引理3 若pn（x）為次數(shù)不超過n－1的代數(shù)多項(xiàng)式，則

由式（18）可得，若pn（x）為次數(shù)不超過n－1的代數(shù)多項(xiàng)式，則

定理的證明 由文獻(xiàn)［1］可得下估計(jì)．下面考慮上估計(jì)．由式（4）計(jì)算可得

且當(dāng)j≠k時(shí)，有

由式（9）、式（20）、式（21）和式（12）可得

因此

易檢驗(yàn)

由式（13）和式（17）直接計(jì)算得

由式（13）可知

對(duì)任意1≤j≤n，由式（15）、式（16）及式（19）可得

由式（26）和式（27）及文獻(xiàn)［4］可得

由文獻(xiàn)［4］中定理3的證明過程可知

由式（24）、式（25）、式（28）和式（29）可得

由式（23）、式（7）和式（30）可得上估計(jì)．定理證畢．

［1］ KLAUS R．Average－Case Analysis of Numerical Problems［M］．Berlin：Springer－Verlag，2000．

［2］ ERDOS P，F(xiàn)ELDHEIM E．Sur le mode de convergence pour 1’interpolation de Lagrange［J］．C R Acad Sci Paris Ser I Math，1936，203：913－915．

［3］ FEJER L．Lagrangesche interpolation und zugehorigen konjugierten punket［J］．Math Ann，1932，106：1－55．

［4］ 許貴橋．插值多項(xiàng)式在一重積分Wiener空間下的同時(shí)逼近平均誤差［J］．中國(guó)科學(xué)：數(shù)學(xué)，2011，41（5）：407－426．

［5］ 許貴橋．Lagrange插值和Hermite－Fejér插值在Wiener空間下的平均誤差［J］．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，50（6）：1281－1296．

［6］ VARMA A K，PRASAD J．An analogue of a problem of P．Eros and E．Feldheim on convergence of interpolatory processes［J］．J Approx Theory，1989，56：225－240．

（責(zé)任編校 馬新光）

Average error of Hermite interpolation on 1－fold integrated Wiener space

LIU Yang，XU Gui－qiao
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

In the weighted L2－norm，the average error of Hermite interpolation sequence based on the zeros of Chebyshev polynomials of the first kind on the 1－fold integrated Wiener space is discussed．The weakly asymptotically order is determined．

Hermite interpolation polynomials；Chebyshev polynomials；1－fold integrated Wiener space．

book=1,ebook=38

O174．42

A

1671－1114（2012）02－0022－04

2011－05－17

天津師范大學(xué)教學(xué)改革基金資助項(xiàng)目

劉 洋（1989－），女，碩士研究生．

許貴橋（1963－），男，教授，主要從事函數(shù)逼近論方面的研究．