劉平安，郜 冶，王 革

(哈爾濱工程大學(xué)航天工程系，哈爾濱 150001)

0 引言

小衛(wèi)星發(fā)射的最末級(jí)通常使用旋轉(zhuǎn)固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)作為動(dòng)力裝置，在旋轉(zhuǎn)飛行器固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)工作過(guò)程中，隨著推進(jìn)劑的燃燒，系統(tǒng)的質(zhì)量逐漸減少，使得系統(tǒng)的質(zhì)量特性與能量特性發(fā)生變化，最終導(dǎo)致了飛行器章動(dòng)的增長(zhǎng)［1－7］。為了深入理解章動(dòng)過(guò)程中能量損失的作用效果，需對(duì)系統(tǒng)能量耗散過(guò)程進(jìn)行研究。能量耗散是指物體在做回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的彈性振動(dòng)所產(chǎn)生的效果。這種耗散會(huì)導(dǎo)致進(jìn)動(dòng)角θ產(chǎn)生一個(gè)偏離，且越來(lái)越大。一個(gè)軸對(duì)稱的物體旋轉(zhuǎn)時(shí)，遵守轉(zhuǎn)動(dòng)慣量守恒，如果沒(méi)有這種彈性振動(dòng)，就不會(huì)產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)角的耗散作用。若不存在外部力矩，它將以恒定的姿態(tài)保持穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng)。若施加一個(gè)力矩，這個(gè)進(jìn)動(dòng)角就會(huì)增加，當(dāng)力矩的作用停止，進(jìn)動(dòng)角的增加也隨之停止，將保持一穩(wěn)定值。

物體旋轉(zhuǎn)時(shí)，如果沒(méi)有能量耗散，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的最大軸和最小軸都是穩(wěn)定的。當(dāng)存在能量耗散時(shí)，只有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的最大軸是穩(wěn)定的。這時(shí)，當(dāng)物體圍繞轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，進(jìn)動(dòng)角將會(huì)繼續(xù)增大，直到改變運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，圍繞轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最大軸旋轉(zhuǎn)。當(dāng)飛行器的側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大于軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，對(duì)常用的細(xì)長(zhǎng)體結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，是固有的、不穩(wěn)定的。

本文從能量耗散的角度出發(fā)，研究飛行器系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)章動(dòng)效果的影響。

1 控制方程

在沒(méi)有外力矩作用的情況下，質(zhì)量特性不變的彈性體做回旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，歐拉動(dòng)力學(xué)方程如下:

角動(dòng)量矢量可表示為

旋轉(zhuǎn)動(dòng)能可表示為

對(duì)于軸對(duì)稱飛行器，記作I1=I2=I，角動(dòng)量值的平方可表示為

轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可化簡(jiǎn)為

由式(6)、式(7)可得:

由于 H=Iω3/cosθ，式(8)可表示為

對(duì)旋轉(zhuǎn)動(dòng)能求時(shí)間的導(dǎo)數(shù):

由式(10)可看出，章動(dòng)角的變化率依賴于系統(tǒng)動(dòng)能的變化率。隨著系統(tǒng)動(dòng)能的耗散，章動(dòng)角的變化率可增可減，取決于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各分量的大小。對(duì)于實(shí)際的飛行器，由于推進(jìn)劑的燃燒，伴隨著燃?xì)饬鞯膰姵觯a(chǎn)生了噴氣阻尼作用，系統(tǒng)的能量發(fā)生了變化，動(dòng)能的變化率不再為零。由于質(zhì)量的損失，產(chǎn)生了能量的耗散，章動(dòng)角速率也會(huì)發(fā)生變化。由于系統(tǒng)經(jīng)歷了質(zhì)量的減少及相應(yīng)的噴氣阻尼作用，歐拉動(dòng)力學(xué)方程可表示如下:

在飛行器系統(tǒng)不受外力矩作用的情況下，3個(gè)方向的歐拉方程可表示為

化簡(jiǎn)可得:

把角動(dòng)量表達(dá)式帶入方程(14)～(16)，寫(xiě)成角速度變化率的函數(shù):

方程(17)～(19)是系統(tǒng)的角速度方程，描述了飛行器系統(tǒng)在質(zhì)量減少、能量耗散過(guò)程中三向角速度的變化率。通過(guò)求解這3個(gè)方程，可得到章動(dòng)變化過(guò)程中三向角速度的變化。

盡管章動(dòng)角度發(fā)生了變化，在每一瞬時(shí)，角動(dòng)量矢量與其分量在數(shù)值上保持相同的關(guān)系，即 H=Iω3/cosθ。這時(shí)，對(duì)式(9)進(jìn)行求導(dǎo)，化簡(jiǎn)可得到飛行器系統(tǒng)的能量耗散方程:

從式(20)可看出，旋轉(zhuǎn)飛行器系統(tǒng)，隨著質(zhì)量減少，引起了系統(tǒng)能量的耗散，章動(dòng)角的變化率依賴于系統(tǒng)動(dòng)能的變化率。

當(dāng)考慮質(zhì)量變化時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能求導(dǎo)化簡(jiǎn)可求得章動(dòng)角的變化率:

方程(21)是系統(tǒng)的章動(dòng)方程，表達(dá)了在考慮旋轉(zhuǎn)飛行器系統(tǒng)質(zhì)量變化，及其帶來(lái)的噴氣阻尼作用的條件下系統(tǒng)章動(dòng)角的變化率。通過(guò)求解方程(21)，可得到系統(tǒng)章動(dòng)角隨時(shí)間的變化歷程，或增大或減小。

至此，推導(dǎo)了旋轉(zhuǎn)飛行器工作過(guò)程中，伴隨著固體推進(jìn)劑的燃燒，飛行器總的質(zhì)量減少，引起了系統(tǒng)能量的耗散，以及相應(yīng)的角速度與章動(dòng)角的變化，得到了飛行器系統(tǒng)的角速度方程與章動(dòng)方程。通過(guò)方程(17)～(19)可求解三向角速度的變化，通過(guò)方程(21)可求解章動(dòng)角的變化。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

2.1 算例1與分析

針對(duì)WESTAR-V飛行器，求解其角速度方程與章動(dòng)方程。采用文獻(xiàn)［8］中的方法，在飛行器的工作過(guò)程中，將系統(tǒng)具體參數(shù)的變化，包括轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量流量、平均燃燒室半徑與質(zhì)心位置(質(zhì)心到噴管出口的距離)，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)用公式擬合成時(shí)間的函數(shù)。

側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:

平均燃燒室半徑:

質(zhì)心位置(質(zhì)心到噴管出口的距離):

發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量流量:

把這些參數(shù)代入角速度方程與章動(dòng)方程，用四階的龍格庫(kù)塔法求解，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖1～圖3。

圖1 WESTAR-V俯仰角速度隨時(shí)間的變化Fig.1 Chang of pitch angular rate of WESTAR-V

從圖1和圖2可知，WESTAR-V飛行器俯仰角速度與偏航角速度的相位相差90°。飛行器系統(tǒng)隨著推進(jìn)劑的燃燒，質(zhì)量逐漸減少，引起了系統(tǒng)能量的耗散，使得系統(tǒng)的俯仰角速度與偏航角速度逐漸增加，到燃燒結(jié)束時(shí)達(dá)到最大值，在30°/s附近。實(shí)際飛行器系統(tǒng)的俯仰角速度與偏航角速度［9］的變化見(jiàn)圖4和圖5?？煽闯?，由計(jì)算得到的結(jié)果與實(shí)際飛行器俯仰角速度與偏航角速度的變化規(guī)律一致，都呈現(xiàn)出了側(cè)向角速度的增長(zhǎng)。

圖2 WESTAR-V偏航角速度隨時(shí)間的變化Fig.2 Chang of yaw angular rate of WESTAR-V

圖3 WESTAR-V章動(dòng)角隨時(shí)間的變化Fig.3 Chang of nutation angular rate of WESTAR-V

圖4 WESTAR-V飛行器俯仰角速度隨時(shí)間的變化Fig.4 Chang of pitch angular rate of WESTAR-V spacecraft

從圖3可知，WESTAR-V飛行器的章動(dòng)角以近似指數(shù)的形式增加，從初始的0.9°增加到燃燒結(jié)束時(shí)刻的17°，這與實(shí)際的飛行器數(shù)據(jù)一致［9］。章動(dòng)角的迅速增大是飛行器系統(tǒng)由于質(zhì)量變化引起能量耗散的結(jié)果。

從算例1可知，從飛行器系統(tǒng)質(zhì)量變化引起能量耗散的角度出發(fā)，推導(dǎo)得到的角速度方程與章動(dòng)方程，可正確描述飛行器旋轉(zhuǎn)章動(dòng)過(guò)程中的角速度變化與章動(dòng)角變化趨勢(shì)。計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)趨勢(shì)的一致性也說(shuō)明了所采用的計(jì)算方法是可信的。可使用該方法計(jì)算具有旋轉(zhuǎn)章動(dòng)不穩(wěn)定性的飛行器的參數(shù)變化，研究飛行器其他參數(shù)變化對(duì)飛行器系統(tǒng)角速度變化與章動(dòng)角變化的影響。

圖5 WESTAR-V飛行器偏航角速度隨時(shí)間的變化Fig.5 Chang of yaw angular rate of WESTAR-V spacecraft

2.2 算例2與結(jié)果分析

改變WESTA-V飛行器的參數(shù)，考察參數(shù)變化對(duì)飛行器章動(dòng)過(guò)程的影響。首先，考察發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量的變化對(duì)飛行器章動(dòng)過(guò)程的影響，保持其他參數(shù)不變，將質(zhì)量流量減小、增大，求解章動(dòng)角與側(cè)向角速度。其中，減小的質(zhì)量流量為˙m1=15.331+0.045 1 t，增大的質(zhì)量流量為˙m2=24.095+0.045 1 t。

當(dāng)質(zhì)量流量減小時(shí)，俯仰角速度的變化如圖6所示，偏航角速度的變化如圖7所示，俯仰角速度與偏航角速度在燃燒結(jié)束時(shí)達(dá)到最大，在18°/s左右，兩者的相位相差90°。與 WESTAR-V飛行器相比(30°/s左右)，側(cè)向角速度明顯降低。章動(dòng)角的變化如圖8所示，從初始的0.9°增加到燃燒結(jié)束時(shí)刻的 15.5°，小于WESTAR-V飛行器的最大章動(dòng)角(17°)?？梢?jiàn)，當(dāng)質(zhì)量流量減小時(shí)，使得飛行器的側(cè)向角速度的變化幅值減小，最大章動(dòng)角減小，從而削弱了飛行器的章動(dòng)效果。

當(dāng)質(zhì)量流量增大時(shí)，俯仰角速度的變化如圖9所示，偏航角速度的變化如圖10所示。俯仰角速度與偏航角速度在到燃燒結(jié)束時(shí)達(dá)到58°/s左右，兩者的相位相差 90°。與 WESTAR-V飛行器相比(30°/s左右)，側(cè)向角速度明顯增大。

圖6 質(zhì)量流量減小時(shí)的俯仰角速度Fig.6 Pitch angular with mass rate decreasing

圖7 質(zhì)量流量減小時(shí)的偏航角速度Fig.7 Yaw angular with mass rate decreasing

圖8 質(zhì)量流量減小時(shí)的章動(dòng)角Fig.8 Nutaion angular with mass rate decreasing

圖9 質(zhì)量流量增大時(shí)的俯仰角速度Fig.9 Pitch angular with mass rate increasing

圖10 質(zhì)量流量增大時(shí)的偏航角速度Fig.10 Yaw angular with mass rate increasing

章動(dòng)角的變化如圖11所示，從初始的0.9°增加到燃燒結(jié)束時(shí)刻的23.3°，明顯大于WESTAR-V飛行器的最大章動(dòng)角(17°)?？梢?jiàn)，當(dāng)質(zhì)量流量增加時(shí)，使得飛行器的側(cè)向角速度的變化幅值增大，章動(dòng)角也大大增加，從而加強(qiáng)了飛行器的章動(dòng)效果。

圖11 質(zhì)量流量增大時(shí)的章動(dòng)角Fig.11 Nutation angular with mass rate increasing

從改變發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量流量的計(jì)算結(jié)果可看出，發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量的變化在很大程度上影響了章動(dòng)效果。隨質(zhì)量流量的增加，飛行器的章動(dòng)效果明顯加強(qiáng)。實(shí)際上，隨飛行器型號(hào)的逐漸增大，必然采用更大尺寸的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，以獲得更大的推力，也就決定了發(fā)動(dòng)機(jī)的質(zhì)量流量隨之增加。在STAR-48發(fā)動(dòng)機(jī)之前，采用小型號(hào)的發(fā)動(dòng)機(jī)STAR-37，由于推力小，質(zhì)量流量小，并沒(méi)有發(fā)生明顯的章動(dòng)放大行為。在STAR-48發(fā)動(dòng)機(jī)之后，采用尺寸更大的發(fā)動(dòng)機(jī)STAR-63，由于推力增加，質(zhì)量流量增加，發(fā)生了更加嚴(yán)重的章動(dòng)放大行為。這就從側(cè)面印證了隨發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量的增加，會(huì)增加飛行器的章動(dòng)效果。

考察質(zhì)心位置的變化對(duì)飛行器章動(dòng)效果的影響，保持其他參數(shù)不變，將質(zhì)心位置減小與增大，求解章動(dòng)角與側(cè)向角速度。lcg1是增大的質(zhì)心位置，lcg2是減小的質(zhì)心位置，lcg則是ESTAR-V飛行器實(shí)際的質(zhì)心位置。其中:

當(dāng)質(zhì)心位置減小時(shí)，俯仰角速度的變化如圖12所示，偏航角速度的變化如圖13所示。俯仰角速度與偏航角速度在燃燒結(jié)束時(shí)達(dá)到16°/s左右，與WESTARV飛行器相比(30°/s左右)，側(cè)向角速度明顯降低。章動(dòng)角的變化如圖14所示，章動(dòng)角從初始的0.9°增加到燃燒結(jié)束時(shí)刻的15.1°，小于WESTAR-V飛行器的最大章動(dòng)角(17°)?？梢?jiàn)，當(dāng)質(zhì)心位置減小，使得飛行器的側(cè)向角速度的變化幅值減小，最大章動(dòng)角減小，從而削弱了飛行器的章動(dòng)效果。

圖12 質(zhì)心位置減小的俯仰角速度Fig.12 Pitch angular with centroid position decreasing

圖13 質(zhì)心位置減小的偏航角速度Fig.13 Yaw angular with centroid position decreasing

圖14 質(zhì)心位置減小的章動(dòng)角Fig.14 Nutation angular with centroid position decreasing

當(dāng)質(zhì)心位置增大時(shí)，俯仰角速度的變化如圖15所示，偏航角速度的變化如圖16所示。俯仰角速度與偏航角速度在燃燒結(jié)束時(shí)達(dá)到59°/s左右，與WESTARV飛行器相比(30°/s左右)，側(cè)向角速度明顯增大。章動(dòng)角的變化如圖17所示，從初始的0.9°增加到燃燒結(jié)束時(shí)刻的23°，明顯大于WESTAR-V飛行器的最大章動(dòng)角(17°)?？梢?jiàn)，當(dāng)質(zhì)心位置增大，使得飛行器的側(cè)向角速度的變化幅值增大，章動(dòng)角也大大增加，從而加強(qiáng)了飛行器的章動(dòng)效果。

從改變飛行器質(zhì)心位置的計(jì)算結(jié)果可看出，飛行器質(zhì)心位置的變化與發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量的變化一樣，在很大程度上影響了章動(dòng)效果。隨質(zhì)心位置的增大，飛行器的章動(dòng)效果明顯加強(qiáng)。從角速度方程(17)、(18)可看出，側(cè)向角速度的變化率是受?chē)姎庾枘犴?xiàng)的影響。隨發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量與質(zhì)心位置的增大，噴氣阻尼項(xiàng)也逐漸加大，對(duì)側(cè)向角速度變化率的影響也會(huì)加大。由計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量與質(zhì)心位置增大，側(cè)向角速度隨之增大，相應(yīng)的章動(dòng)角也隨之增大，章動(dòng)效果加強(qiáng)?？煽闯?，噴氣阻尼項(xiàng)對(duì)飛行器的章動(dòng)過(guò)程起到了驅(qū)動(dòng)作用，而不是阻尼作用?；蛘哒f(shuō)，噴氣阻尼項(xiàng)對(duì)章動(dòng)過(guò)程所起的驅(qū)動(dòng)作用超過(guò)了其所起的阻尼作用，最終表現(xiàn)為驅(qū)動(dòng)作用，而不是文獻(xiàn)中提到的阻尼作用。

圖15 質(zhì)心位置增大的俯仰角速度Fig.15 Pitch angular with centroid position increasing

圖16 質(zhì)心位置增大的偏航角速度Fig.16 Yaw angular with centroid position increasing

圖17 質(zhì)心位置增大的章動(dòng)角Fig.17 Nutation angular with centroid position increasing

當(dāng)考察軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化對(duì)飛行器章動(dòng)過(guò)程的影響時(shí)，保持其他參數(shù)不變，將軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小、增大，求解章動(dòng)角的變化。發(fā)現(xiàn)隨軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由小到大變化，飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)角大幅度減小，章動(dòng)效果明顯削弱?？梢?jiàn)，增大飛行器系統(tǒng)的軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，有利于抑制飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)。

當(dāng)考察側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化對(duì)飛行器章動(dòng)過(guò)程的影響時(shí)，保持其他參數(shù)不變，將側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量增大、減小求解章動(dòng)角的變化。發(fā)現(xiàn)隨側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量由小到大的變化，飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)角大幅度增加，章動(dòng)效果明顯加強(qiáng)?？梢?jiàn)，若要抑制飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)，需減小飛行器系統(tǒng)的側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

從算例2可知，飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)過(guò)程受系統(tǒng)軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量流量與質(zhì)心位置等參數(shù)變化的影響。通過(guò)改變這些參數(shù)的變化，可改變飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)效果。當(dāng)增大飛行器系統(tǒng)軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減小側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減小質(zhì)心位置，減小發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量，可削弱飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)效果;反之，可增強(qiáng)飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)效果。所以，在設(shè)計(jì)飛行器系統(tǒng)時(shí)，可通過(guò)設(shè)計(jì)飛行器系統(tǒng)的參數(shù)，如軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量流量與質(zhì)心位置等，以便減小、削弱潛在的可能發(fā)生的章動(dòng)現(xiàn)象。

3 結(jié)論

在旋轉(zhuǎn)飛行器工作過(guò)程中，伴隨著固體推進(jìn)劑的燃燒，從飛行器系統(tǒng)質(zhì)量減少，引起的能量耗散出發(fā)，推導(dǎo)得到了飛行器系統(tǒng)的角速度方程與章動(dòng)方程，并通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?。通過(guò)具體算例驗(yàn)證了所推導(dǎo)的角速度方程與章動(dòng)方程，可正確描述飛行器旋轉(zhuǎn)章動(dòng)過(guò)程中的角速度變化與章動(dòng)角變化。計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)趨勢(shì)的一致性，也說(shuō)明了所采用的計(jì)算方法是可信的。使用該方法計(jì)算具有旋轉(zhuǎn)章動(dòng)不穩(wěn)定性的飛行器的參數(shù)變化，研究了飛行器其他參數(shù)變化對(duì)飛行器系統(tǒng)角速度變化與章動(dòng)角變化的影響。發(fā)現(xiàn)飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)過(guò)程受系統(tǒng)軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、質(zhì)量流量與質(zhì)心位置等參數(shù)變化的影響。通過(guò)改變這些參數(shù)的變化，可改變飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)效果。當(dāng)增大飛行器系統(tǒng)軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減小側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減小質(zhì)心位置，減小發(fā)動(dòng)機(jī)質(zhì)量流量，可削弱飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)效果;反之，可增強(qiáng)飛行器系統(tǒng)的章動(dòng)效果。通過(guò)具體算例驗(yàn)證了上述觀點(diǎn)，所得結(jié)論可為具有旋轉(zhuǎn)章動(dòng)不穩(wěn)定性的飛行器系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

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