王 鈾， 趙 輝， 惠百斌， 王 鋒， 胡 杰

(1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038; 2.中國人民解放軍95737部隊(duì)，重慶 402361;3.中國人民解放軍94857部隊(duì)，安徽 蕪湖 241007)

0 引言

當(dāng)無人作戰(zhàn)飛機(jī)采用人工控制攻擊方式時(shí)，由于通信鏈路存在固有延遲，并可能在復(fù)雜電磁環(huán)境下受到干擾，因此，攻擊的可靠性和及時(shí)性受到嚴(yán)重影響。未來信息化條件下使用無人機(jī)進(jìn)行空中作戰(zhàn)時(shí)，無人作戰(zhàn)飛機(jī)(UCAV)一旦確定攻擊目標(biāo)之后，應(yīng)該根據(jù)當(dāng)前的飛行條件、作戰(zhàn)環(huán)境等諸多因素自主確定作戰(zhàn)過程，自動解算發(fā)射諸元及發(fā)射軌跡控制，實(shí)施自主攻擊作戰(zhàn)。這樣，可以有效地避免由于人為參與作戰(zhàn)過程造成作戰(zhàn)時(shí)機(jī)延誤和差錯，充分發(fā)揮無人機(jī)作戰(zhàn)的主要特點(diǎn)和優(yōu)勢。因此，研究無人作戰(zhàn)飛機(jī)自主攻擊技術(shù)，體現(xiàn)了未來無人作戰(zhàn)飛機(jī)的發(fā)展方向。

軌跡規(guī)劃技術(shù)是實(shí)現(xiàn)UCAV自主攻擊的關(guān)鍵技術(shù)。目前，國內(nèi)外對其進(jìn)行了大量的研究，主要包括:人工勢場法、路圖法、智能計(jì)算方法、基于采樣的規(guī)劃方法、最優(yōu)控制法等［1－4］。近幾年來，偽譜方法在最優(yōu)控制問題的數(shù)值解法方面［5］，特別是飛行器軌跡優(yōu)化方面變得逐漸流行，并逐漸成為研究熱點(diǎn)［1，6－9］。常見的偽譜方法包括:Chebshev偽譜法(CPM)、Legendre偽譜法(LPM)、Gauss偽譜法(GPM)以及Radau偽譜法(RPM)。Radau偽譜法因其具有簡單的結(jié)構(gòu)、較高的精度、指數(shù)性的收斂速度，以及在處理連續(xù)時(shí)間最優(yōu)控制問題上具有優(yōu)勢等特點(diǎn)得到了快速發(fā)展。考慮UCAV對地攻擊需要在滿足各種復(fù)雜約束的基礎(chǔ)上規(guī)劃出一條連續(xù)并且可行的最優(yōu)軌跡，采用Radau偽譜法來求解UCAV對地攻擊軌跡。

1 Radau偽譜法的基本原理

RPM求解最優(yōu)控制問題的基本思路為:將未知的狀態(tài)變量和控制變量在一系列Legendre-Gauss-Radau(LGR)點(diǎn)(LGR 點(diǎn)為多項(xiàng)式 Pn－1(τ)+Pn(τ)的零點(diǎn)，其中，Pn(τ)為n階Legendre多項(xiàng)式)上離散化，然后采用Lagrange插值多項(xiàng)式來逼近真實(shí)的狀態(tài)變量與控制變量，再通過對狀態(tài)變量求導(dǎo)來代替動力學(xué)微分方程。這樣，連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題被轉(zhuǎn)化為受一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問題［9］。

1.1 最優(yōu)控制問題的一般框架

考慮Mayer型性能指標(biāo)函數(shù)的一般最優(yōu)控制問題

式中:J為性能指標(biāo);X(t)∈Rn，為狀態(tài)變量;U(t)∈Rm，為控制變量，為微分方程約束條件;C［X(t)，U(t)，t］∈Rs，為狀態(tài)變量和控制變量的約束條件;φ［X(t0)，t0，X(tf)，tf］∈Rφ，為邊界約束條件;t為時(shí)間。

1.2 Radau 偽譜法

最優(yōu)控制問題的時(shí)間區(qū)間為t∈［t0，tf］，采用偽譜法需要將時(shí)間區(qū)間轉(zhuǎn)換到τ∈［－1，+1］。將t∈［t0，tf］分成 K 個(gè)網(wǎng)格，且?t∈［tk－1，tk］，k=1，…，K，t0＜ t1＜…＜tK=tf，做如下映射變換

容易推出

用RPM偽譜法處理連續(xù)最優(yōu)控制問題時(shí)，需要在一系列的離散點(diǎn)上對狀態(tài)變量進(jìn)行全局插值多項(xiàng)式逼近。狀態(tài)變量在第k個(gè)(k∈［1，…，K］)網(wǎng)格處可以近似表示為

與狀態(tài)變量不同的是，控制變量在1，…，K－1個(gè)網(wǎng)格處用如下的Nk階Lagrange多項(xiàng)式來逼近

式中，k∈［1，…，K －1］。

因?yàn)榻K端時(shí)間tf沒被配置，第K個(gè)網(wǎng)格的控制變量用如下的(Nk－1)階Lagrange多項(xiàng)式近似表示為

式中，k=K。

性能指標(biāo)函數(shù)可以近似表示為

將式(9)代入式(1)中動力學(xué)微分方程式，并在LGR點(diǎn)上進(jìn)行離散，可得

式(1)中，不等式約束在第 k個(gè)(k∈［1，…，K］)網(wǎng)格用Nk個(gè)LGR點(diǎn)離散化處理，得

式(1)中，邊界條件約束可以近似表示為

為保證網(wǎng)點(diǎn)的連續(xù)性，需滿足下列條件

至此，連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題被轉(zhuǎn)化為受一系列代數(shù)約束的參數(shù)優(yōu)化問題，可以采用非線性規(guī)劃的方法進(jìn)行求解。

2 空對地攻擊軌跡規(guī)劃問題數(shù)學(xué)建模

2.1 UCAV三自由度(3-DOF)質(zhì)點(diǎn)模型

地理坐標(biāo)系下，UCAV的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)方程［10］為

航跡坐標(biāo)系下，UCAV的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)方程［10］為

式(14)和式(15)中:(x，y，h)表示UCAV在地理坐標(biāo)系中的經(jīng)度、緯度和高度;vu為UCAV的真空速;γ、ψ、α、μ分別為航跡傾角、航向角、迎角、滾轉(zhuǎn)角;m為UCAV的質(zhì)量;g為重力加速度;T=δTmax，為發(fā)動機(jī)推力，δ∈［0，1］，為油門位置;Tmax為發(fā)動機(jī)最大可用推力;D=0.為阻力;，為升力;(Wx，Wy，Wz)和分別為風(fēng)速和風(fēng)力加速度沿坐標(biāo)軸的分量。

2.2 UCAV 對地攻擊的約束條件［1］

UCAV對地攻擊時(shí)，需要滿足的初始和終端位置、速度、姿態(tài)約束條件為

式(16)和式(17)分別為UCAV的初始和終端位置、速度、姿態(tài)約束，(xLAR，yLAR，hLAR)為攻擊軌跡末端武器投放參考點(diǎn)坐標(biāo)，Δx、Δy和Δh為給定的允許偏差;下標(biāo)“f”表示軌跡末端點(diǎn)的狀態(tài)。

UCAV在對地攻擊過程中，要求時(shí)刻滿足機(jī)動性能約束和環(huán)境約束條件，具體為

式中:X(t)=［x y h V γ ψ m］T∈R7，為狀態(tài)變量;t∈［t0，tf］，終端時(shí)間tf自由。滿足動力學(xué)微分方程約束(式(14)～式(15))

邊界條件(式(16)～式(17)、式(21))

以及不等式約束(式(18)～式(20))

3 系統(tǒng)仿真

率;mmin為攜帶最小安全燃油量的飛行器重量;nmax為飛行器所能承受的最大法向過載。

戰(zhàn)場環(huán)境通常包括地形、氣象禁飛區(qū)和敵方火力或探測威脅。通常UCAV使用制導(dǎo)炸彈對地攻擊是在中高空進(jìn)行投放，因此本文不考慮撞地約束，僅討論后兩種約束。

氣象禁飛區(qū)的約束條件式為

式中:‖·‖2表示兩點(diǎn)之間的距離;(xNF，i，yNF，i)和 RNF，i分別為第i個(gè)氣象禁飛區(qū)的中心坐標(biāo)及半徑。

敵方火力或探測威脅的約束條件式為

式中，(xNF，i，yNF，i，hNF，i)和 RT，i分別為第 i個(gè)威脅的中心坐標(biāo)及作用半徑。

此外，UCAV攜帶的武器還存在著使用約束(包括投放時(shí)法向過載約束和滾轉(zhuǎn)角約束)，即

式中:nBomb_max和μBomb_min分別為投放時(shí)制導(dǎo)炸彈允許的最大法向過載和滾轉(zhuǎn)角;tf為終端時(shí)間;nu=(L+Tsin α)/mg，為載機(jī)法向過載。

2.3 目標(biāo)函數(shù)

對于對地攻擊任務(wù)來說，一個(gè)重要的指標(biāo)就是提升攻擊的時(shí)效性，即最小化攻擊時(shí)間，這對攻擊時(shí)敏目標(biāo)尤為重要。時(shí)間最小性能指標(biāo)為

2.4 最優(yōu)控制問題框架

至此，軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題:尋找控制變量 U(t)=［α μ δ］T，最小化邁耶爾(Mayer)型性能指標(biāo)(式(22))為

為了驗(yàn)證文中所研究方法的有效性，對UCAV對地攻擊軌跡規(guī)劃過程進(jìn)行仿真。仿真場景如下:UCAV從地理坐標(biāo)系中(10，0，2)km點(diǎn)開始攻擊，初始速度v0=210 m/s，航跡角 γ0=0°，航向角 ψ0=60°，總質(zhì)量 m=17680 kg，特征面積 S=49.24 m2，武器投放參考點(diǎn)坐標(biāo)為(15，30，6)km，終端速度 vf=300 m/s，航跡角 γf=0°，航向角ψf=35°，飛機(jī)性能參數(shù)參見文獻(xiàn)［1］;由于實(shí)際作戰(zhàn)中存在許多不確定因素，為了提高武器命中概率，一種較好的做法是盡量靠近可攻擊區(qū)的中心。仿真中:武器投放參考點(diǎn)允許偏差為Δx=0、Δy=0、Δh=0;目標(biāo)區(qū)中部署兩個(gè)地方火力威脅AA及一個(gè)氣象禁飛區(qū)WNF。具體見圖1。

仿真在PC機(jī)上進(jìn)行，CPU為2.79 GHz，在Matlab環(huán)境下利用SNOPT軟件包進(jìn)行求解。算例求得的滿足約束要求的最短時(shí)間為94.5156 s，運(yùn)算時(shí)間為19.78 s，算法具有一定的實(shí)時(shí)性。從圖1～圖4中可以看出，生成的飛行軌跡比較平滑，不僅能靈活地避開威脅，而且能以規(guī)定的投放姿態(tài)和速度準(zhǔn)確進(jìn)入武器投放參考點(diǎn)(理論計(jì)算誤差為零)，而一般的航跡規(guī)劃只能滿足位置要求，而不能滿足終端速度、姿態(tài)要求。

圖1 UCAV對地攻擊最優(yōu)攻擊軌跡Fig.1 Optimal air-to-ground attack trajectory

圖2 最優(yōu)攻擊軌跡的速度曲線Fig.2 Time histories of velocity in optimal attack trajectory

圖3 最優(yōu)攻擊軌跡的航跡傾角曲線Fig.3 Time histories of flight-path angle in optimal attack trajectory

圖4 最優(yōu)攻擊軌跡的航跡偏角曲線Fig.4 Time histories of heading angle in optimal attack trajectory

4 結(jié)束語

本文構(gòu)建了考慮多種約束的UCAV對地攻擊軌跡規(guī)劃模型，提出了一種基于Radau偽譜法(RPM)的求解策略，并闡述了最優(yōu)控制問題的一般框架，為這一類最優(yōu)控制問題的求解思路提供了參考。仿真結(jié)果表明，該方法能以較高的精度和速度生成滿足終端位置、速度、姿態(tài)要求，綜合考慮飛機(jī)平臺性能、燃油、氣象、火力或探測威脅、制導(dǎo)武器可攻擊區(qū)等各種復(fù)雜約束要求，連續(xù)并且真實(shí)可行的最優(yōu)軌跡，對軌跡規(guī)劃問題的工程應(yīng)用具有一定意義。

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