陳 嬌

(黃岡師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北黃州438000)

1 微觀模型

我們考慮一個(gè)具有N個(gè)自由度的有限系統(tǒng)，用自洽集體坐標(biāo)方法(SCC)［1］，可以引入動(dòng)力學(xué)系綜坐標(biāo)系(DCC)，將整個(gè)系統(tǒng)劃分為兩個(gè)子系統(tǒng):集體系統(tǒng)和內(nèi)稟系統(tǒng)，相應(yīng)的自由度叫做集體自由度和內(nèi)稟自由度。通常我們所關(guān)心的子系統(tǒng)是相關(guān)子系統(tǒng)。這樣，整個(gè)系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)上被分成兩個(gè)子系統(tǒng)。

2 輸運(yùn)方程的微觀推導(dǎo)

假設(shè)集體系統(tǒng)由單個(gè)粒子構(gòu)成，其坐標(biāo)、動(dòng)量和質(zhì)量分別為Q、P、M，為方便起見(jiàn)，令M=1。假設(shè)內(nèi)稟系統(tǒng)是一個(gè)處于平衡態(tài)的“熱浴”，即內(nèi)稟系統(tǒng)滿足正則平衡分布，而且滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。具體來(lái)講，認(rèn)為內(nèi)稟系統(tǒng)由n(n→∞)諧振子構(gòu)成，質(zhì)量、坐標(biāo)、動(dòng)量和頻率分別用mi、qi、pi和ωi表示。如果用(q，p)表示這 n 個(gè)諧振子的坐標(biāo)和動(dòng)量，則(q，p)是一組滿足正則分布 ρ(q，p)=e－βHB(q，p)/Z 的變量，其中β=1/kT，Z=Trρ(q，p)，k是玻爾茲曼常量，T是熱浴的溫度，HB(q，p)是熱浴的哈密頓量。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮一維情況。整個(gè)體系的哈密頓量可表示為:

H=HS+HB+HI

其中HS是集體系統(tǒng)的哈密頓量，HI是集體系統(tǒng)和熱浴的耦合作用項(xiàng)，令

其中耗散記憶核:

(1)就是廣義Langevin方程。

如果內(nèi)稟系統(tǒng)偏離平衡態(tài)不遠(yuǎn)，則可認(rèn)為F(t)是一系列服從相同概率分布ρ=的高斯型變量的和，因此F(t)也是高斯型的。如果其平均值不等于零，則代表施加給系統(tǒng)一個(gè)平均力，可以對(duì)系統(tǒng)的哈密頓量進(jìn)行修正，來(lái)將這個(gè)平均力作用包含進(jìn)去，于是F(t)去掉這個(gè)平均值以后就是關(guān)于零點(diǎn)對(duì)稱的變量了。也可以對(duì)耦合形式進(jìn)行修正來(lái)去掉這個(gè)平均值［2］。

從(1)和(2)可以看出，耦合相互作用中熱浴的具體形式并不會(huì)直接影響廣義Langevin方程的一般形式，只會(huì)對(duì)耗散記憶核產(chǎn)生影響，也就是說(shuō)耦合中熱浴的作用是通過(guò)耗散記憶核對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響的。而耦合中集體坐標(biāo)的具體形式則直接影響到廣義Langevin方程形式。利用以上廣義Langevin方程，我們可以討論雙線性和非線性耦合情況下的耗散機(jī)制。

假設(shè)耦合作用和系統(tǒng)坐標(biāo)及熱浴坐標(biāo)都成線性關(guān)系，即

λi是集體坐標(biāo)與第i個(gè)諧振子之間耦合系數(shù)，此時(shí)f(Q)=Q，Γi=λi，

(3)和(4)比較可得漲落耗散關(guān)系:

＜ F(t)F(τ)＞ =kTK(t，τ)

從以上推導(dǎo)可以看出，如果耦合對(duì)集體變量是線性的，則此時(shí)集體系統(tǒng)的輸運(yùn)方程是有著加性噪聲的線性Langevin方程。

如果耦合對(duì)集體和熱浴坐標(biāo)都是非線性的，例如

此時(shí)Γi=2λiqi，＜F(t)＞=＜λiq02(t)＞=，可令H'I= λQ2(Γ(q0)－ ＜ Γ(q0)＞)，

這種修正實(shí)際上只是在整體上使耦合作用發(fā)生了平移，并沒(méi)有改變整個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)。

令ξ(t)=F(t)－＜F(t)＞則有

非線性耦合時(shí)集體系統(tǒng)的朗之萬(wàn)方程為:

同樣也滿足漲落耗散關(guān)系:

＜ ξ(t)ξ(τ)＞ =kTK(t，τ)

可見(jiàn)如果耦合對(duì)集體變量是非線性的，則此時(shí)集體系統(tǒng)的輸運(yùn)方程是有著乘性噪聲的非線性Langevin方程。

3 關(guān)聯(lián)函數(shù)和響應(yīng)函數(shù)

一般地，動(dòng)力學(xué)響應(yīng)函數(shù) x(t，t－ τ)和關(guān)聯(lián)函數(shù) φ(t，t－ τ)［7］，與時(shí)刻 t以及時(shí)間間隔 τ都有關(guān)系，反應(yīng)的是時(shí)刻t集體系統(tǒng)和內(nèi)稟系統(tǒng)的瞬時(shí)性質(zhì)，描述的是時(shí)刻t系統(tǒng)對(duì)外界漲落量的響應(yīng)和不同時(shí)刻漲落之間的關(guān)聯(lián)情況。但是當(dāng)內(nèi)稟系統(tǒng)到達(dá)與時(shí)間無(wú)關(guān)的穩(wěn)定狀態(tài)后，x(t，t－τ)和φ(t，t－τ)就與時(shí)刻t的選取無(wú)關(guān)了，只是時(shí)間間隔τ的函數(shù)。定義:

響應(yīng)函數(shù): x(t，t－ τ)=x(τ)=TrB{GHB(τ)B，B}ρHB

關(guān)聯(lián)函數(shù): φ(t，t－ τ)= φ(τ)=TrB{GHB(τ)B·(B － ＜ B ＞)}ρHB

L*=i{HB，*}

當(dāng)內(nèi)稟系統(tǒng)可當(dāng)作“熱浴”處理時(shí)，ρHB=Z－1e－HB/kT，Z為配分函數(shù)，則有:

假設(shè)集體系統(tǒng)是一個(gè)具有單位質(zhì)量的一維諧振子，集體系統(tǒng)和熱浴的哈密頓量分別記作:

如果耦合作用是線性的，即HI=，則 B=，直接計(jì)算可得響應(yīng)函數(shù)和關(guān)聯(lián)函數(shù)分別為

熱浴中諧振子的頻率可以看作是連續(xù)變化的，可以將對(duì)頻率的求和化為對(duì)頻率的積分。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得到頻率分布ρ(ω)與譜密度J(ω)的關(guān)系。定義［8］

線性耦合時(shí)，可得頻率分布與功率譜的關(guān)系為:

一般地，可以取 J(ω)=gαωα［9］，因此有:

利用以上兩式可得:

Ω'和Ω分別是熱浴中振子的最小頻率和最大頻率。如果Ω'=0，Ω→∞，這時(shí)容易看出φl(shuí)in(t)=φnon(t)，xlin(t)=xnon(t)，即線性耦合與非線性耦合的結(jié)果相同。如果α=1，則是通常所說(shuō)的Ohmic擴(kuò)散，此時(shí) φl(shuí)in(t)=φnon(t)=2gαδ(t)，如果 α≠1，則是反常擴(kuò)散。

廣義Langevin方程(1)是把內(nèi)稟系統(tǒng)當(dāng)作“熱浴”處理后，在統(tǒng)計(jì)假設(shè)下得到的結(jié)果，與動(dòng)力學(xué)方法得到的輸運(yùn)方程在最終形式上是一致的［10－14］。因此我們說(shuō)，確實(shí)可以用唯像的輸運(yùn)方程來(lái)描述宏觀平均運(yùn)動(dòng)。

(4)和(5)分別與(6)和(7)的形式一致，但推導(dǎo)過(guò)程完全不同，蘊(yùn)含的物理意義也不相同。(4)和(5)是直接把內(nèi)稟系統(tǒng)當(dāng)作“熱浴”處理后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，而(6)和(7)是從關(guān)聯(lián)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)定義出發(fā)，然后再假設(shè)內(nèi)稟系統(tǒng)滿足正則分布的條件下得到的。因此，當(dāng)內(nèi)稟系統(tǒng)可以當(dāng)作“熱浴”處理時(shí)，集體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)關(guān)聯(lián)和統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)是一致的。

當(dāng)內(nèi)稟系統(tǒng)的自由度數(shù)非常大時(shí)，線性響應(yīng)理論和非線性響應(yīng)理論給出基本一致的結(jié)果，此時(shí)可把內(nèi)稟系統(tǒng)當(dāng)作服從正則分布的“熱浴”。

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