劉燕，潘紫微，葉金杰，戚曉利

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

在工程技術(shù)測量中，有用信號經(jīng)常淹沒在強(qiáng)噪聲背景中，針對信噪比極低的信號，傳統(tǒng)的微弱信號檢測方法[1-3]都是立足于抑制噪聲認(rèn)為只有抑制噪聲，才能檢測信號。如果信號頻帶和噪聲頻帶重疊或相近時，抑制噪聲的同時有用信號也不可避免地受到損害。而且如果背景噪聲類型不同，傳統(tǒng)微弱信號的選擇應(yīng)用也受到限制。研究者們利用混沌系統(tǒng)相軌跡的變化對周期信號的敏感性和對噪聲的免疫力，成功地利用混沌系統(tǒng)對微弱信號進(jìn)行了檢測[4-7]，大大地提高了檢測性能，降低了輸入信噪比門限[8-9]。

在建立混沌振子檢測器的過程中，需要確定策動力幅值從混沌轉(zhuǎn)化到大尺度周期狀態(tài)的值(即閾值)。傳統(tǒng)方法通過對相圖或時域波形目測確定閾值，容易造成誤判。文獻(xiàn)[10]利用二維近似熵度量混沌振子相圖的狀態(tài)，取得了很好的效果，文獻(xiàn)[11]利用Hu矩對混沌振子相圖進(jìn)行定量度量，實現(xiàn)了混沌振子的自動化檢測。但是當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)較多時運(yùn)算時間比較長，可能無法得到計算結(jié)果。在此，采用歐氏距離確定混沌振子的閾值，并結(jié)合混沌振子方法檢測微弱信號，為早期故障提供了一個新的判別方法，同時分析了相位差和噪聲對系統(tǒng)特性的影響，并用Simulink進(jìn)行了仿真。

1 混沌振子

混沌振子檢測來源于彈簧振動模型的Duffing方程[12]，是一個二階微分方程，通常用來檢測微弱正弦信號的Duffing方程為

(1)

式中:k為阻尼比，取0.5；-x3+x5為非線性恢復(fù)力；fcost為內(nèi)置信號，其中f為策動力。

令t=ω0τ，可以推出任意頻率的周期信號的檢測數(shù)學(xué)模型[13]為

(2)

當(dāng)加入外部周期信號Fcos(ω1t+θ)+N(t)時，(2)式變?yōu)?/p>

(3)

式中：ω0為內(nèi)部周期攝動力的頻率；F為待測微弱周期信號的幅值；ω1為待測微弱周期信號的角頻率；θ為被測周期信號的相位；N(t)為隨機(jī)噪聲[14]。

對于(2)式，當(dāng)f從0逐漸增加至超過某一閾值fa，此時Duffing振子的時域輸出和相圖狀態(tài)將發(fā)生變化。變化規(guī)律在相空間上表現(xiàn)為同宿軌道→倍周期分叉→混沌狀態(tài);直到大于另一閾值fb時，系統(tǒng)由混沌狀態(tài)過渡到大尺度周期狀態(tài)。由于大尺度周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)相圖差別很大，故將系統(tǒng)由混沌狀態(tài)到大尺度周期狀態(tài)的轉(zhuǎn)變作為檢測信號的依據(jù)，所以閾值fb的取值至關(guān)重要，否則會造成誤判。

2 歐氏距離

應(yīng)用混沌振子檢測微弱信號時，相變的變化需要一個簡單而準(zhǔn)確的量化測度，在此采用歐氏距離定量識別混沌振子的狀態(tài)，即歐氏距離法。通過求解不同狀態(tài)下相位圖上各點(diǎn)到原點(diǎn)(0,0)的平均距離，找出其中的規(guī)律[15]，歐氏距離用L表示，即

(4)

式中：N為數(shù)據(jù)個數(shù)，即采樣點(diǎn)數(shù)；xk，yk為相位圖上第k個數(shù)據(jù)對應(yīng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

令(2)式中ω0=2π×100，不斷增大f，使得混沌振子相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)轉(zhuǎn)變，同時計算該過程中相圖的歐氏距離，結(jié)果如圖1所示。當(dāng)f=0.566 5 V時，出現(xiàn)了較大的躍變，當(dāng)f>0.566 5 V時，歐氏距離基本上不再變化，則0.566 5 V為混沌的閾值，也就是說，在確定閾值時只要找到歐氏距離突變的點(diǎn)即可確定混沌振子的閾值，閾值前后混沌振子相圖如圖2所示，由圖可知，采用歐氏距離確定混沌閾值直觀且可靠。

圖1 歐氏距離L隨策動力f變化的趨勢圖

圖2 不同狀態(tài)下的混沌振子相圖

3 混沌振子檢測特性

首先，取f略小于fb，此時混沌振子相圖為混沌狀態(tài)。當(dāng)f+F>fb時，只有待測信號的相位差和噪聲在一定范圍內(nèi)，系統(tǒng)才能進(jìn)入大周期狀態(tài)。通過辨識系統(tǒng)狀態(tài)，可清楚地檢測是否存在頻率為ω1的周期成分。

3.1 相位差對系統(tǒng)的影響

設(shè)待測信號為

s(t)=Fcos(ωt+θ)+gN(t)。

(5)

當(dāng)g=0時，代入(1)式考察相位差的影響，

a(t)=fcos(ωt)+Fcos(ωt+θ)

(6)

(7)

式中：g為隨機(jī)噪聲方差。由于很小的微弱信號就能使混沌振子由混沌狀態(tài)過度到大尺度周期狀態(tài)，所以F?f,φ≈0。

當(dāng)a(t)≤fb，

(8)

因此，當(dāng)θ滿足(8)式時，系統(tǒng)始終處于混沌狀態(tài)，振子不可能發(fā)生相變。當(dāng)θ不滿足(8)式時，振子的相變才可能發(fā)生。

混沌陣子仿真模型如圖3所示，其中Integrator模塊、Sum模塊、Gain模塊以及 XY Graph模塊分別為積分器、加法器。信號源Sine Wave用來產(chǎn)生待檢測的微弱正弦信號，Random Number用來產(chǎn)生隨機(jī)噪聲，Sine Wave1用來產(chǎn)生系統(tǒng)的周期策動力信號。

圖3 混沌陣子仿真模型

仿真分析：ω1=ω0=2π×100,F=0.01，

理論上：1.579 6+2kπ≤θ≤4.703 6+2kπ時，處于混沌狀態(tài)。

仿真結(jié)果：1.617 9+2kπ≤θ≤4.768 1+2kπ時，處于混沌狀態(tài)。

3.2 噪聲對混沌振子的影響

由上節(jié)可知，Duffing振子從混沌狀態(tài)過渡到大尺度周期的狀態(tài)為fb=0.566 5 V，取周期策動力信號幅值f=0.56 V，f+F>0.566 5 V，相位角θ不滿足(8)式，分別取g=0.5，0.7 觀察相圖的變化，結(jié)果如圖4所示。

由以上分析可知，混沌振子的狀態(tài)與相位角有關(guān)，通常要從最大值時開始取點(diǎn)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度不是很強(qiáng)烈時，混沌振子相圖的總體動力學(xué)行為并沒有改變。

圖4 不同的噪聲強(qiáng)度下的混沌振子相圖

4 故障實例分析

試驗使用BVT-5系列軸承振動測量儀，測量儀器采用RH-802型便攜式數(shù)據(jù)采集儀，通過加速度傳感器采集信號，采樣頻率12 800 Hz，分析頻率5 000 Hz。

試驗軸承為可用于低速重載旋轉(zhuǎn)機(jī)械的6311深溝球軸承，軸轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，通過SG雙色金屬刻字機(jī)在軸承內(nèi)、外圈上加工出混合故障，故障直徑約為0.5 mm,深度約為幾十微米。軸承各參數(shù)為：鋼球直徑Dw=20.638 mm,球組節(jié)圓直徑Dpw=87.5 mm,軸承接觸角α=0,軸承轉(zhuǎn)頻fr=31 Hz，使用便攜式采集儀采集振動信號，將信號數(shù)據(jù)采用二進(jìn)制形式導(dǎo)入至Matlab，其時域波形和幅值譜如圖4所示。根據(jù)軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)和當(dāng)前轉(zhuǎn)速，通過計算得到軸承內(nèi)圈故障頻率為fi=153.243 Hz，外圈故障頻率fe=94.75 Hz。

信號的頻譜在高頻段有較多的頻率分量，但低頻段的信息較少，從圖5c可以看出，75.78 Hz和233.6 Hz的頻率成分較大，與故障頻率相差較大，用Fourier變換測試不出故障頻率。下面用混沌陣子對該信號進(jìn)行分析。

首先，設(shè)策動力頻率為ω0=2π×94.75，繪制該頻率下混沌振子歐氏距離隨策動力f的變化曲線。如圖6所示，從圖中可以確定該頻率下處于大尺度周期狀態(tài)的策動力臨界值fb=0.584 8 V，因此設(shè)策動力的初始值fb=0.584 V，使得混沌振子初始狀態(tài)為混沌狀態(tài) ，然后將待測信號輸入到混沌振子中得到混沌振子相圖如圖7所示。

圖5 實測信號的時域波形及幅值譜

圖6 歐氏距離隨策動力f變化的趨勢圖

圖7 實測信號混沌振子相圖

判斷內(nèi)圈故障和外圈判斷方法一樣。首先設(shè)檢測頻率ω0=2π×153.243，繪制該頻率下的歐氏距離隨策動力變化曲線如圖8所示，因此可知混沌振子轉(zhuǎn)變大尺度周期狀態(tài)的策動力臨界值為fb=0.483 8 V，將策動力初始值設(shè)為fb=0.483 V，使得混沌振子初始狀態(tài)為混沌狀態(tài) ，然后將待測信號加入到混沌中，得到的混沌振子相圖如圖9所示。

圖8 歐氏距離隨策動力f變化的趨勢

圖9 實測信號混沌振子相圖

5 結(jié)論

(1)構(gòu)建策動力-歐氏距離變化曲線，可有效地找出混沌陣子相圖從混沌狀態(tài)向大尺度周期狀態(tài)變化的臨界閾值。

(2)待測信號的相位差和噪聲強(qiáng)度必須在一定范圍內(nèi)，混沌振子方法才能檢測微弱信號。

(3)歐氏距離在結(jié)合混沌陣子處理仿真信號和軸承微弱信號的故障診斷中，取得了理想效果，可作為早期微弱周期信號檢測的一種方法。