錢學(xué)毅， 吳 雙

（1. 武夷學(xué)院電子工程系，福建 武夷山 354300；2. 浙江經(jīng)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用工程系，浙江 杭州 310018）

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度激勵(lì)表現(xiàn)為因嚙合齒對(duì)數(shù)變化導(dǎo)致嚙合綜合剛度隨時(shí)間周期變化從而引起齒輪輪齒嚙合力周期變化。剛度激勵(lì)是一種參數(shù)激勵(lì)，其力學(xué)效應(yīng)使齒輪系統(tǒng)處于參數(shù)振動(dòng)狀態(tài)。這樣，即使外載為零或?yàn)槌Ａ繒r(shí)，系統(tǒng)也會(huì)因剛度激勵(lì)而產(chǎn)生振動(dòng)。剛度激勵(lì)主要與齒輪副的設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)[1]。因此，從剛度激勵(lì)和系統(tǒng)行為的統(tǒng)一性方面研究系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化選擇與配置，有助于改進(jìn)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

在對(duì)齒面膠合強(qiáng)度的計(jì)算中，冷膠合是指因?yàn)檩d荷過(guò)大使油膜破裂，出現(xiàn)金屬直接接觸的破壞現(xiàn)象。主要發(fā)生在處于邊界或混合潤(rùn)滑狀態(tài)下的重載齒輪傳動(dòng)中，通常用控制齒間最小油膜厚度的方法避免齒面冷膠合。齒間最小油膜厚度越大，齒面膠合強(qiáng)度越高。根據(jù)彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑理論和現(xiàn)代磨擦學(xué)理論，齒間最小油膜厚度與齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)密切相關(guān)。因此，合理選擇齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)，有助于提高齒面膠合強(qiáng)度。

目前國(guó)內(nèi)外針對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)剛度激勵(lì)及齒間最小油膜厚度的研究日益受到人們的關(guān)注，取得了一定的進(jìn)展。文獻(xiàn)[2,4]通過(guò)對(duì)行星輪系建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)系統(tǒng)中時(shí)變剛度引起的激勵(lì)及對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。文獻(xiàn)[5]建立的行星齒輪傳動(dòng)的彎扭耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型考慮了諸多因素的影響，其中也包括時(shí)變剛度。文獻(xiàn)[6]在對(duì)風(fēng)力發(fā)電齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)中也考慮了時(shí)變剛度對(duì)動(dòng)載系數(shù)的影響。文獻(xiàn)[7]在用彈流潤(rùn)滑理論計(jì)算齒間最小油膜厚度方法的基礎(chǔ)上，利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)探討了齒面膠合失效的模糊性。文獻(xiàn)[8]依據(jù)彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑理論，以齒間最小油膜厚度最大和齒輪傳動(dòng)總體積最小為目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行了約束兩目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。迄今為止，同時(shí)以齒輪嚙合時(shí)變剛度激勵(lì)最小、齒間最小油膜厚度最大（倒數(shù)最?。┘褒X輪傳動(dòng)總體積最小的3目標(biāo)最優(yōu)化研究尚未見有論文發(fā)表。

本文對(duì)目前用于2目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的粒子群優(yōu)化方法進(jìn)行了改進(jìn)，給出了約束3目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。從現(xiàn)代齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)基本原理和彈性流體動(dòng)力潤(rùn)滑理論出發(fā)，建立同時(shí)追求齒輪嚙合時(shí)變剛度激勵(lì)最小、齒間最小油膜厚度最大及傳動(dòng)總體積最小的約束3目標(biāo)最優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。利用Matlab進(jìn)行優(yōu)化程序設(shè)計(jì)，舉例說(shuō)明了分析計(jì)算的一般方法。為指導(dǎo)高質(zhì)量齒輪系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與制造提供有價(jià)值的參考。

1 齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)激勵(lì)與輪齒嚙合綜合剛度

1.1 齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)激勵(lì)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)作為一種彈性的機(jī)械系統(tǒng)，在動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng)。齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)激勵(lì)有內(nèi)部激勵(lì)和外部激勵(lì)兩類，其中與一般機(jī)械系統(tǒng)的主要不同之處在于它的內(nèi)部激勵(lì)。內(nèi)部激勵(lì)是指由齒輪副輪齒嚙合過(guò)程中所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)激勵(lì)。一般說(shuō)來(lái)，齒輪輪齒嚙合的重合度大多不是整數(shù)，嚙合過(guò)程中同時(shí)參與嚙合的齒對(duì)數(shù)隨時(shí)間而周期變化，導(dǎo)致輪齒嚙合剛度隨時(shí)間周期變化。由于同時(shí)嚙合齒對(duì)數(shù)的變化，引起了嚙合過(guò)程的輪齒動(dòng)態(tài)嚙合力。剛度激勵(lì)則是因嚙合剛度的時(shí)變性產(chǎn)生動(dòng)態(tài)嚙合力并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)激勵(lì)的現(xiàn)象，是內(nèi)部動(dòng)態(tài)激勵(lì)的主要形式之一。

1.2 輪齒嚙合綜合剛度

輪齒嚙合綜合剛度是指在整個(gè)嚙合區(qū)（圖1中的A―D段）中，參與嚙合的各對(duì)輪齒的綜合效應(yīng)，主要與單齒的彈性變形、單對(duì)輪齒的綜合彈性變形以及齒輪重合度有關(guān)。

單齒的彈性變形是單個(gè)輪齒的嚙合面在載荷作用下的彈性變形，其中包括了彎曲變形、剪切變形和接觸變形等。圖1(b)中的δp和δg分別為嚙合區(qū)中單個(gè)的主、被動(dòng)輪齒的變形曲線。

單對(duì)輪齒綜合彈性變形是指一對(duì)輪齒在嚙合過(guò)程中彈性變形的總和，用δs表示

由于主、被動(dòng)輪齒分別是在齒頂與齒根和齒根與齒頂相互嚙合，因此，疊加后的彈性變形曲線如圖1(b)中的 δs。

主、被動(dòng)齒輪的相互嚙合，相當(dāng)于兩根彈簧的串聯(lián)。因此，單對(duì)輪齒綜合嚙合剛度ks為

式中 kp和 kg分別為主、被動(dòng)輪齒的單齒剛度，即

對(duì)于輪齒嚙合綜合剛度，如圖1(d)所示，在雙嚙合區(qū)，有兩對(duì)輪齒同時(shí)參與嚙合，相當(dāng)于彈簧的并聯(lián)，雙齒嚙合綜合剛度等于單齒嚙合綜合剛度之和，剛度曲線是兩對(duì)輪齒綜合剛度的疊加，可以看出，輪齒嚙合綜合剛度具有明顯的階躍型突變性質(zhì)。

圖1 輪齒嚙合綜合剛度

1.3 剛度激勵(lì)的優(yōu)化

由于輪齒嚙合綜合剛度類似于方波周期函數(shù)，可以將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)，相應(yīng)的譜圖具有多次諧波成分。在頻域中，若頻率成份簡(jiǎn)單，相應(yīng)的幅值大，則嚙合的剛度激勵(lì)較弱。又因?yàn)榛l諧波的幅值對(duì)剛度激勵(lì)的影響最大。因此，可以通過(guò)齒廓參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，以頻域中輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波的幅值最大化作為目標(biāo)，來(lái)達(dá)到弱化剛度激勵(lì)的目的。

將輪齒嚙合綜合剛度按嚙合頻率簡(jiǎn)化成矩形波周期函數(shù)，再將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)并略去高階項(xiàng)后整理得[9]

式中，km——平均嚙合剛度；

kai——變剛度幅值系數(shù)；

ω——嚙合頻率，ω =πnz/30；

n,z,Φ——轉(zhuǎn)速、齒數(shù)及相位角。

按式(6)計(jì)算基頻諧波的幅值時(shí)，首先按GB/T3480―1997計(jì)算單齒嚙合剛度 C，然后根據(jù)重合度ε分單齒嚙合和雙齒嚙合兩個(gè)階段進(jìn)行積分。單齒嚙合時(shí)， f(x)=c，雙齒嚙合時(shí)，f(x) =2c。輪齒優(yōu)化時(shí)，以基頻諧波幅值ka1最大作為追求的目標(biāo)函數(shù)之一。

2 齒間最小油膜厚度的計(jì)算

1987年，我國(guó)著名磨擦學(xué)家楊沛然和溫詩(shī)鑄在深入研究 Dowson-Higginson膜厚公式的基礎(chǔ)上，根據(jù)Roelands粘壓關(guān)系和采用復(fù)合直接迭代解法，對(duì)于較廣泛的速度和載荷變化范圍內(nèi)的線接觸彈流潤(rùn)滑問(wèn)題求得收斂解，進(jìn)而回歸出比Dowson-Higginson膜厚公式更為準(zhǔn)確、合理的最小油膜厚度公式[10]

式中：

hmin——最小油膜厚度，mm；

α ——潤(rùn)滑油的粘壓系數(shù)，1/MPa；

η0——潤(rùn)滑油在某溫度下的動(dòng)力粘度，

MPa.S；

u——齒面平均速度，mm/s；

E'——齒輪材料綜合彈性模量，MPa；

R——節(jié)點(diǎn)處的當(dāng)量曲率半徑，mm；

w ——單位接觸寬度載荷，N/mm。

3 非對(duì)稱直齒輪約束多目標(biāo)粒子群優(yōu)化設(shè)計(jì)

非對(duì)稱齒輪是在工作齒面設(shè)計(jì)一個(gè)較大的壓力角，非工作齒面設(shè)計(jì)一個(gè)較小的壓力角。這樣，即可以提高齒輪的承載能力又可以有效地避免齒頂過(guò)分變尖的現(xiàn)象[11]。

齒輪的嚙合綜合剛度越大，動(dòng)態(tài)激勵(lì)越小，齒輪的動(dòng)態(tài)性能越好；齒間最小油膜厚度越大，膠合強(qiáng)度越高；齒輪傳動(dòng)總體積越小，經(jīng)濟(jì)成本越低。這是一個(gè)約束3目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。3個(gè)目標(biāo)沒(méi)有公度性，不宜用傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行處理。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法是將 3個(gè)子目標(biāo)（輪齒嚙合綜合剛度最大、齒間最小油膜厚度最大及齒輪傳動(dòng)總體積最?。┩ㄟ^(guò)權(quán)重的設(shè)置聚合成一個(gè)帶正數(shù)的單個(gè)目標(biāo)函數(shù)，系數(shù)由決策者決定，或者由優(yōu)化方法自適應(yīng)調(diào)整。傳統(tǒng)方法在處理這類問(wèn)題時(shí)存在著如下缺陷：

1）嚙合綜合剛度的單位是N/(mm.μm)，齒間最小油膜厚度的單位是mm，齒輪傳動(dòng)總體積的單位是mm3，3個(gè)目標(biāo)的單位不一致，無(wú)可比性。

2）通過(guò)權(quán)重的設(shè)置將多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題，帶有較濃重的主觀色彩，難以反映客觀真貌。權(quán)重的設(shè)置要求設(shè)計(jì)者有長(zhǎng)期的研究經(jīng)驗(yàn)和厚重的領(lǐng)域知識(shí)，稍有偏差就會(huì)大大影響多目標(biāo)最優(yōu)解的產(chǎn)生，因此合適地選取權(quán)重是一個(gè)難度較大的過(guò)程。

3）一次運(yùn)行通常只能得到一個(gè)Pareto最優(yōu)解，而多次運(yùn)行得到的優(yōu)化結(jié)果可能不一致，很難進(jìn)行有效的決策，導(dǎo)致不能得到Pareto最優(yōu)解集。

4）各子目標(biāo)函數(shù)之間通過(guò)決策變量相互制約，存在相互矛盾，致使加權(quán)目標(biāo)函數(shù)的拓樸結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜。

粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)[12-13]在解決約束多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中得到有效應(yīng)用。在文獻(xiàn)[14-15]中提出的尋優(yōu)原則和搜索方法基礎(chǔ)上，給出本文范例約束3目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法。算法并非將3個(gè)子目標(biāo)函數(shù)通過(guò)權(quán)重的設(shè)置聚合成為一個(gè)單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，而是首先在設(shè)計(jì)變量可行域初始化一個(gè)粒子群體，然后通過(guò)各個(gè)子目標(biāo)函數(shù)共同指導(dǎo)每個(gè)粒子在設(shè)計(jì)變量可行域中向3個(gè)目標(biāo)函數(shù)不同時(shí)增大的方向一步步搜尋，最終使粒子落入非劣最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)空間。具體實(shí)現(xiàn)要點(diǎn)如下：① 以頻域中輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波幅值的倒數(shù)f1(X)、最小油膜厚度的倒數(shù) f2(X)及齒輪傳動(dòng)總體積 f3(X)中的每個(gè)目標(biāo)函數(shù)，找到粒子群體中相對(duì)應(yīng)的全局極值G[j]（其中j = 1,2,3是目標(biāo)函數(shù)的個(gè)數(shù)）和每個(gè)粒子的個(gè)體極值P[i,j]（其中i = 1,2,…,N是粒子群體中的粒子個(gè)數(shù)）。② 在更新每個(gè)粒子的速度（相當(dāng)于有向步長(zhǎng)）時(shí)，用各個(gè)G[j]的均值g作為全局極值。③ 每個(gè)粒子的個(gè)體極值P[i,j]是通過(guò)判斷矢量P[i,j]相對(duì)于矢量G[j]的離散程度來(lái)決定，是取P[i,j]的均值，還是在P[i,j]中隨機(jī)選取。

算法流程如下：① 給定算例粒子群規(guī)模N ，在約束條件允許的可行域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生各粒子的位置Xi和速度Vi(i = 1,2,…,N )。② 用目標(biāo)函數(shù) f1(X)、f2(X)和 f3(X)分別計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。③ 在f1(X)、f2(X)和f3(X)下分別對(duì)每個(gè)粒子求得個(gè)體極值。④ 對(duì)f1(X)、f2(X)和f3(X)分別求3個(gè)全局極值。⑤ 計(jì)算3個(gè)全局矢量的均值g和每?jī)蓚€(gè)全局矢量之間的距離d。⑥ 計(jì)算每個(gè)粒子個(gè)體極值之間的距離 dp[i]。⑦ 對(duì)每個(gè)粒子計(jì)算更新速度Vi和位置Xi時(shí)所用的個(gè)體極值P[i]，如果dp[i]

式中，w為慣性因子，c1和c2是學(xué)習(xí)因子，rand( )和Rand( )是介于(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)。更新后檢驗(yàn)每個(gè)新粒子是否在可行域內(nèi)，若不在可行域內(nèi)，則重更新，直到在可行域內(nèi)為止。⑨設(shè)置循環(huán)迭代次數(shù)。若達(dá)到該次數(shù)，結(jié)束；否則回②。

4 范 例

4.1 已知數(shù)據(jù)

主動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速n1=960r/min；被動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)速n2=320r/min；傳遞的功率P=500kW；選用齒輪油HL-30潤(rùn)滑，其運(yùn)動(dòng)粘度v100=30mm2/s；油池溫度θoil=50℃；兩輪齒面粗糙度分別為Ra1= Ra2= 1.6 μm。

4.2 選取設(shè)計(jì)變量

選取7個(gè)設(shè)計(jì)變量

式中，m——模數(shù)；Z1——主動(dòng)輪齒數(shù)；b——齒輪寬度；α ——工作齒面壓力角；x1,x2——分別為主動(dòng)輪和被動(dòng)輪的變位系數(shù)；ha*——齒頂高系數(shù)。

4.3 建立目標(biāo)函數(shù)

建立 3個(gè)目標(biāo)函數(shù)：① 將基頻諧波的幅值ka1最大（即f1(X)=1/ka1最?。┳鳛樽非蟮囊粋€(gè)目標(biāo)；② 將最小油膜厚度 hmin(X)最大（即f2(X)=1/hmin(X)最?。┳鳛橥瑫r(shí)追求的第2個(gè)目標(biāo)；③將齒輪傳動(dòng)總體積最小作為追求的第3個(gè)目標(biāo)（其中：d1，d2分別為兩齒輪的分度圓直徑）。

4.4 確定約束條件

文獻(xiàn)[11,16]和工程經(jīng)驗(yàn)確定下列約束條件：齒面接觸疲勞強(qiáng)度條件、齒根彎曲疲勞強(qiáng)度條件、保證必要的齒頂厚、膜厚比（齒間最小油膜厚度與兩齒面綜合表面粗糙度之比）、限定設(shè)計(jì)變量的上下界。

4.5 程序設(shè)計(jì)及結(jié)果遴選

按照前述的算法流程，用Matlab編制優(yōu)化程序，選定粒子群數(shù)目N=100，運(yùn)行次數(shù)為200，得非劣最優(yōu)目標(biāo)域如圖2所示。根據(jù)程序運(yùn)行結(jié)果，從中選取3個(gè)目標(biāo)函數(shù)都接近最小值，綜合性能最佳的一組結(jié)果（決策者也可根據(jù)自己的意愿選擇其他的結(jié)果）作為最終方案

輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波幅值ka1=18.182N/(mm·μm)， 齒間最小油膜厚度hmin=8.900×10-3mm，膜厚比λ=5.2018，總體積V=1.1604m3。

圖2 非劣最優(yōu)目標(biāo)域

優(yōu)化過(guò)程及結(jié)果表明，采用較多的齒數(shù)，在小于1的范圍內(nèi)采用較大的正變位系數(shù)，適度采用較大的壓力角可以增大輪齒嚙合綜合剛度譜圖中基頻諧波的幅值，能有效地提高齒輪系統(tǒng)抵抗內(nèi)部激勵(lì)振動(dòng)的能力及性價(jià)比。同時(shí)較大的壓力角可以減小齒廓的曲率，變位系數(shù)的增大將增加齒廓當(dāng)量曲率半徑和齒面平均速度，二者都會(huì)使Hertz壓力減小，齒間最小油膜厚度增加。齒頂高系數(shù)對(duì)嚙合時(shí)變剛度不產(chǎn)生影響，當(dāng)壓力角較小時(shí)，它對(duì)齒間最小油膜厚度的影響不大，當(dāng)壓力角較大時(shí)卻有明顯的影響。

5 結(jié) 論

本文將粒子群約束多目標(biāo)優(yōu)化方法應(yīng)用于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)3目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，進(jìn)行了成功地嘗試，優(yōu)化設(shè)計(jì)出的齒輪傳動(dòng)即具有較強(qiáng)的抵抗內(nèi)部激勵(lì)振動(dòng)的能力及承載能力，又具有較低的產(chǎn)品成本。該方法進(jìn)一步拓展了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法的應(yīng)用領(lǐng)域，能夠提升齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的綜合經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)，比傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法及通過(guò)每一單目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化的現(xiàn)代方法具有明顯的科學(xué)合理性。該方法對(duì)于其他復(fù)雜機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的約束多目標(biāo)優(yōu)化研究也具有一定的參考價(jià)值。

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