司學(xué)慧， 李小兵 ， 張東洋， 張 彥

(空軍工程大學(xué)導(dǎo)彈學(xué)院，陜西 三原 713800)

0 引言

戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(TBM)在現(xiàn)代戰(zhàn)場中已成為重要的威懾力量和縱深打擊力量，對防空系統(tǒng)的威脅越來越突出。攔截TBM與攔截空氣動(dòng)力目標(biāo)具有明顯不同的特點(diǎn)，攔截彈不再具有速度和機(jī)動(dòng)能力的優(yōu)勢［1］，這就對制導(dǎo)系統(tǒng)提出了挑戰(zhàn)?，F(xiàn)役的導(dǎo)彈防御系統(tǒng)，如愛國者-3，箭-2等，采用傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引方式，在精確探測和預(yù)估的技術(shù)優(yōu)勢上，能夠?qū)σ约儚椀婪绞皆偃攵贿M(jìn)行任何機(jī)動(dòng)的TBM實(shí)現(xiàn)有效攔截［2］。而隨著TBM性能的不斷提高，高速大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的出現(xiàn)，采用傳統(tǒng)的導(dǎo)引方式對付機(jī)動(dòng)再入的TBM，已不能取得令人滿意的效果，即不能實(shí)現(xiàn)直接碰撞［3-6］，因此新的導(dǎo)引方案的研究設(shè)計(jì)具有重要的意義。

彈道導(dǎo)彈突防的最優(yōu)機(jī)動(dòng)策略具有“棒-棒”結(jié)構(gòu)形式，即先以最大加速度向一個(gè)方向機(jī)動(dòng)，然后突然轉(zhuǎn)向相反方向機(jī)動(dòng)。但是在實(shí)際情況下，TBM難以獲得攔截彈的狀態(tài)信息，甚至對攔截彈的存在都一無所知，因此多采用螺旋機(jī)動(dòng)的方式進(jìn)行突防［1-2，6］。文獻(xiàn)［6］設(shè)計(jì)了一種基于零控脫靶量的最優(yōu)制導(dǎo)律，可以使脫靶量穩(wěn)定在零附近，具有很高的制導(dǎo)精度，但是該制導(dǎo)律需要的目標(biāo)信息較多，抗干擾能力較差，對信息誤差比較敏感。因此，國外對螺旋機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截多以該制導(dǎo)律為基礎(chǔ)，而研究不同的狀態(tài)估計(jì)器，以獲得精確的目標(biāo)信息。而國內(nèi)的研究則以變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律為主，變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律具有對不確定目標(biāo)機(jī)動(dòng)和其他未建模動(dòng)力學(xué)進(jìn)行補(bǔ)償，并且有幾乎同比例制導(dǎo)律一樣應(yīng)用簡單的特點(diǎn)，滿足攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)對導(dǎo)引律的要求。文獻(xiàn)［2］設(shè)計(jì)了一種基于零控脫靶量的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律，能夠使零控脫靶量迅速趨于零，對再入螺旋機(jī)動(dòng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度不敏感，可以較小的機(jī)動(dòng)獲得較高的導(dǎo)引精度，而且不易抖動(dòng)，但是該制導(dǎo)律對變結(jié)構(gòu)強(qiáng)度項(xiàng)的要求也十分嚴(yán)格。本文通過推導(dǎo)預(yù)測制導(dǎo)方程，以預(yù)測制導(dǎo)誤差為滑動(dòng)模態(tài)，設(shè)計(jì)了一種變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律，最后仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律對螺旋機(jī)動(dòng)目標(biāo)的魯棒性較強(qiáng)，具有一定的參考價(jià)值。

1 導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)模型

由于導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的末制導(dǎo)過程時(shí)間很短，導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)主要是改變速度的方向，大小改變很小，而且導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)特性比制導(dǎo)回路的動(dòng)態(tài)特性要快得多。為簡化問題，這里作以下假設(shè):1)導(dǎo)彈和目標(biāo)均可視為質(zhì)點(diǎn);2)導(dǎo)彈和目標(biāo)上所施加的加速度矢量僅僅改變速度的方向而不改變速度的大小;3)可以忽略導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)特性。

以縱向平面為例，慣性參考坐標(biāo)系下的導(dǎo)彈目標(biāo)非線性運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

其運(yùn)動(dòng)方程組為

其中:下標(biāo)m和T分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo);R為導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對距離;q為目標(biāo)的視線角;θm和θT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈道傾角;Vm和VT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度;am和aT分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度;amn和aTn分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)垂直于視線的加速度分量;δ和β分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度方向與彈目視線的夾角。

式(1)中第四式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)可得

因?yàn)?aTn=aTcos(θT-q)，amn=amcos(θm-q)，根據(jù)假設(shè)2)，式(2)可以簡化為

選取控制量u=amn干擾f=aTn，則式(3)變?yōu)?/p>

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制理論具有抗干擾能力強(qiáng)、對參數(shù)攝動(dòng)不敏感的特性，因此被廣泛應(yīng)用于制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。

2.1 基于預(yù)測導(dǎo)引的制導(dǎo)方程［7-9］

預(yù)測導(dǎo)引的目的是使導(dǎo)彈在攻擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)能夠獲得直線彈道，或者機(jī)動(dòng)到直線上飛行。目標(biāo)加速度在垂直視線方向上的分量為aTn，則目標(biāo)到與導(dǎo)彈相遇時(shí)，在垂直視線方向上飛行的距離為

tgo為剩余飛行時(shí)間，計(jì)算公式為

對導(dǎo)彈不再輸出制導(dǎo)指令，到命中目標(biāo)時(shí)在垂直視線方向上飛行的距離為

令Rm=RT，則導(dǎo)彈可按直線彈道命中目標(biāo)，且滿足

式(8)左右兩邊都除以tgo，并將式(1)中第四式代入可得

式(9)即為基于預(yù)測導(dǎo)引原理的制導(dǎo)方程，只要保證式(9)得以實(shí)現(xiàn)，就能使導(dǎo)彈以近似直線的彈道命中目標(biāo)。但是，在實(shí)際的末制導(dǎo)過程中，制導(dǎo)方程通常是不等于零的，存在一定的誤差，設(shè)制導(dǎo)方程誤差為

2.2 變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

在末制導(dǎo)段，目標(biāo)往往以較大的加速度機(jī)動(dòng)逃逸，為了保證導(dǎo)彈能夠以較平穩(wěn)的彈道飛向目標(biāo)，具有較高的攔截精度，按照變結(jié)構(gòu)控制的理論方法，選取制導(dǎo)方程的誤差作為滑動(dòng)模態(tài)S

目的是使誤差η很快趨于零，S可以通過導(dǎo)彈產(chǎn)生的過載改變?chǔ)萴從而改變使之為零［7］，從而保證制導(dǎo)精度。

選取自適應(yīng)滑模趨近律［10-11］為

其中，k和ε均為大于零的常數(shù)，且k為整數(shù)。其物理意義是，當(dāng)R較大時(shí)，適當(dāng)放慢趨近滑模的速率;而當(dāng)R→0，使趨近速率迅速增加，確保視線角速率不發(fā)散，從而令導(dǎo)彈具有很高的攔截精度。對趨近律進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)可以有效地削弱繞滑模的抖動(dòng)。

式(11)對時(shí)間求導(dǎo)得

將上式代入式(14)可得

整理可得

在實(shí)際應(yīng)用中，無法得到aT和的精確值，因此得到容易實(shí)現(xiàn)的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律形式為

由式(17)可以看出，變結(jié)構(gòu)強(qiáng)度項(xiàng)ε的選取直接影響到制導(dǎo)律的性能，如果選的太小，則不能完全抑制目標(biāo)機(jī)動(dòng)干擾，脫靶量較大，若取值過大，則抖動(dòng)相當(dāng)嚴(yán)重，不利于導(dǎo)彈飛行控制。

下面用Lyapunov函數(shù)的方法討論制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。選擇Lyapunov函數(shù)為

則有

根據(jù) Lyapunov穩(wěn)定性定理，要使制導(dǎo)律收斂，Lyapunov函數(shù)的倒數(shù)必須小于零，即必須使＜0。顯然，當(dāng)時(shí)，有Lyapunov函數(shù)收斂，證明制導(dǎo)回路是穩(wěn)定的。

同理，對側(cè)向平面也可以推導(dǎo)得到導(dǎo)彈的自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律為

其中:R1=Rcos qy，ε1為大于零的常數(shù)。

式(17)和式(20)中含有開關(guān)函數(shù)項(xiàng)，如果控制結(jié)構(gòu)的切換具有理想的開關(guān)特性，則能在切換面上形成理想的滑動(dòng)模態(tài)，但是在實(shí)際工程中，由于存在時(shí)間上的延遲和空間上的滯后等原因，使得滑動(dòng)模態(tài)成抖振形式，在光滑的滑動(dòng)面上疊加了抖振。為了消弱抖動(dòng)，采用準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制原理，用飽和函數(shù)sat(S)代替控制量中的符號函數(shù)sgn(S)，在邊界層外采用正常的滑模控制，在邊界層采用連續(xù)狀態(tài)反饋控制，旨在削弱或避免抖振的影響。具體形式為

其中，Δ稱為“邊界層”。如果邊界層的厚度選得足夠小，那么，制導(dǎo)系統(tǒng)能夠保持高魯棒性。

3 仿真研究

取文獻(xiàn)［1］中螺旋機(jī)動(dòng)彈道為攔截目標(biāo)，其彈道如圖2所示。

圖2 目標(biāo)螺旋機(jī)動(dòng)彈道Fig.2 The trajectory of spiraling ballistic missile

本部分通過數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)提出的制導(dǎo)律的性能，并在相同末制導(dǎo)初始條件下與比例導(dǎo)引律進(jìn)行比較，考察該制導(dǎo)律控制下導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的性能。

仿真初始條件:在攔截彈與目標(biāo)的初始相對距離為25 km，攔截彈的初始速度為1.83 km/s，目標(biāo)初始速度為2 km/s，攔截彈的初始彈道傾角和彈道偏角為45°和-15°，彈目視線傾角和視線偏角分別為45°和-10°，目標(biāo)的初始彈道傾角和彈道偏角分別為-35°和-15°，選擇參數(shù)k=2。仿真結(jié)果如圖3～圖7所示。

圖3 縱向視線角速度的變化曲線Fig.3 Angular velocity of LOS in longitudinal plane

圖4 側(cè)向視線角速度變化曲線Fig.4 Angular velocity of LOS in lateral plane

圖3和圖4分別表示兩種制導(dǎo)律下縱向和側(cè)向平面內(nèi)彈目視線角速率的變化情況。從圖中可以看出，采用本文設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律視線角速率在整個(gè)末制導(dǎo)過程中比較平滑，且幅值較小趨近于零，并克服了比例導(dǎo)引在末段視線角速率發(fā)散的情況。

圖5 縱向過載變化曲線Fig.5 Acceleration in longitudinal plane

圖6 側(cè)向過載變化曲線Fig.6 Acceleration in lateral plane

圖5和圖6分別為兩種制導(dǎo)律下導(dǎo)彈縱向過載和側(cè)向過載的變化情況，可以看出本文提出的制導(dǎo)律在制導(dǎo)初期以較大的法向過載對攔截彈進(jìn)行快速調(diào)整，然后導(dǎo)彈以較小的法向過載比較平穩(wěn)地飛向目標(biāo)，縱向過載在制導(dǎo)末端產(chǎn)生陡變，但是幅值較比例導(dǎo)引律小得多。這樣比較符合攔截彈的實(shí)際飛行情況，因?yàn)閿r截彈的飛行高度在十幾千米以上的高度，海拔越高空氣越稀薄，對于依靠空氣動(dòng)力機(jī)動(dòng)的攔截彈可用過載也就越小，當(dāng)可用過載小于所需的加速度指令時(shí)就會(huì)造成較大的脫靶量。

圖7 導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.7 Missile-target engagement

圖7是在兩種制導(dǎo)律下在三維空間中攔截彈攔截目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡，可以看出在整個(gè)末制導(dǎo)階段，本文提出的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律攔截彈的彈道較比例導(dǎo)引律平滑。最后從導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的脫靶量比較，采用本文設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律導(dǎo)彈最終脫靶量為0.6179 m，采用比例導(dǎo)引律導(dǎo)彈的最終脫靶量為3.8619 m，因此本文設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律的脫靶量小于比例導(dǎo)引律產(chǎn)生的脫靶量，制導(dǎo)精度較高。

4 結(jié)論

本文在導(dǎo)彈與目標(biāo)相對運(yùn)動(dòng)的非線性模型基礎(chǔ)上，通過對預(yù)測制導(dǎo)方程進(jìn)行分析，選擇預(yù)測制導(dǎo)誤差作為滑動(dòng)模態(tài)，設(shè)計(jì)了能夠攔截螺旋機(jī)動(dòng)彈道目標(biāo)的變結(jié)構(gòu)末制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，本文提出的制導(dǎo)律推導(dǎo)簡便，對目標(biāo)的螺旋機(jī)動(dòng)具有較強(qiáng)的魯棒性，制導(dǎo)精度高，具有一定的參考價(jià)值。但是，研究過程中沒有考慮彈體動(dòng)態(tài)特性等影響，下一步將進(jìn)行深入研究。

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