姚從軍

（湖南科技學(xué)院思政部，湖南 永州 425100）

一、圖、裝飾及精確圖

埃澤爾（Aczel）方法的基本思想是使用有向圖描述集合。一個圖由一個結(jié)點集和一個邊集組成，每一條邊都是一個由結(jié)點組成的序?qū)Γ糿，n′＞。如果＜n，n′＞是一條邊，那么我們寫成 n→n′。一條路徑是一個由＜n0，n1＞，＜n1，n2＞，……連接的有窮或無窮序列 n0→n1→n2…；一個點圖是帶一可區(qū)分結(jié)點的圖，這一可區(qū)分結(jié)點稱為該圖的始點；一個點圖是可達的僅當對于每個結(jié)點n都有一個從該圖的始點n0到結(jié)點n的路徑n0→n1→…→n。對于圖G的一個已知結(jié)點n，n的后繼集用nG表示，即如果n→n′，那么n′∈nG。對于一個結(jié)點n，如果nG=φ，我們稱n為死結(jié)點。如果從結(jié)點n0到結(jié)點nk之間存在一條路徑，我們就稱nk是從n0可通達的[1]3～4。我們用NG表示可達點圖G的結(jié)點集。

如果一個可達點圖的裝飾把集合x指派給它的始點，我們稱該可達點圖是集合x的圖像；如果該裝飾把不同的集合指派給它的不同結(jié)點，我們稱這個可達點圖是集合x的一個精確圖。

例如，圖1左圖就是序數(shù)3的精確圖，右圖是它的非精確圖。

（圖1）序數(shù)3的圖像

不計同構(gòu)（把同構(gòu)的對象看作同一個對象），每個集合的精確圖是唯一的。因此，如果我們知道哪個圖是精確圖，那么我們就知道存在什么樣的集合，確定存在什么樣的集合，必須先確定什么樣的圖是精確圖。如何確定精確圖呢？在良基背景下，我們通過外延性來確定精確圖：一個良基圖G是精確圖當且僅當G是外延的。那么由該精確圖類確定的良基的集合類Vwf={G|G∈V0∧G是良基的∧G是外延的}（這里的“=”不是真正意義上的相等，可以理解成這樣的一種對應(yīng)性：右邊的每個可達點圖唯一地對應(yīng)于Vwf中的某個集合，Vwf的每個集合的精確圖都是右邊的元素，此處V0是可達點圖集），這就決定了良基集合的域。在非良基背景下，如何確定精確圖呢？

二、精確圖與非良基公理

（一）外延性與BA1（BAFA的弱形式）

首先，應(yīng)該除去非外延的圖，非外延的圖存在兩個不同結(jié)點有相同的后繼集，如圖2：

（圖2）一個非外延的可達點圖

中間的兩個結(jié)點都只有一個后繼，即底端的結(jié)點，因此這兩個結(jié)點一定被指派相同的裝飾集合（實際上是{?}），該可達點圖不是一個精確圖。如果只用外延性來刻畫精確圖，就得到布法（Boffa）的一個弱的反基礎(chǔ)公理BA1：一個可達點圖是精確圖當且僅當它是外延的[2]。并因此形成相應(yīng)的反良基集合的域B={G∈V0|G是外延的}。把BA1加在系統(tǒng)ZFC-就構(gòu)成了一個非良基公理系統(tǒng)，考慮圖3：

（圖3）一個Boffa集合的精確圖

這是一個外延的可達點圖，并且是滿足A={B，C}、B={B}、C={C}的一個集合A的圖像，B和C相等嗎？這里外延公理失去效用，因為它僅僅告訴我們B=C當且僅當B=C。在反基礎(chǔ)公理BA1的假設(shè)下，自反集B={B}和C={C}是互不相同的集合。事實上，可以證明，在BA1中像x={x}這樣的自反集有無窮多個，圖3是上面所描述的集合A的精確圖，這里B≠C。然而從直覺上看B應(yīng)該和C相等，為了刻畫這種思想，需要比外延性公理更強的公理。問題是，這個公理是什么？

（二）外延的且嚴格的與YAFA

可以用另一個方式來解釋圖3作為意欲的精確圖是有問題的，即說它是非嚴格的（non-rigid）。如果一個圖具有非恒等映射作為自身的同構(gòu)映射，那么這樣的同構(gòu)也叫真自同構(gòu)，這樣的圖被稱為非嚴格的圖。而圖3有一個使b和c互相映射的真自同構(gòu)，根據(jù)它們在圖中的作用，這兩點不該區(qū)分開來，并因此應(yīng)該用相同的集合來裝飾它們。因此，在尋找精確圖的時候，要排除非嚴格圖。注意嚴格性也不蘊涵外延性（見圖5），因此僅用嚴格性來確定精確圖也是外延公理不允許的。但是可把二者合起來形成新的反良基公理YAFA：一個可達點圖是精確圖當且僅當它是外延的且嚴格的；并因此形成了相應(yīng)的反良基集合的域Y={G∈V0｜G是外延的且嚴格的}；把YAFA加入ZFC-中就可以形成新的非良基集合論。這樣形成的精確圖還是不太合理，考慮圖4：

（圖4）一個嚴格的但不是同構(gòu)外延的可達點圖

（圖5）一個同構(gòu)外延的但非外延的可達點圖

這是嚴格的且外延的圖。底端的每個結(jié)點被一個等于自己的單元素集所裝飾，裝飾這兩個結(jié)點的集合似乎應(yīng)該相等，需要更嚴格的精確圖概念。

隨著中國城鎮(zhèn)住房金融制度的改革，改革開放40年中，住房金融市場逐步衍生、發(fā)展和繁榮?？v觀改革開放40年，我們不難發(fā)現(xiàn)，中國城鎮(zhèn)住房金融對開發(fā)商獲得土地、商品房開發(fā)、商品房購買和消費提供了金融支持。

（三）芬斯勒外延的與FAFA

一個合適的性質(zhì)是同構(gòu)外延性。已知一個圖G和G的一個結(jié)點a，我們可以形成可達點圖Ga如下：Ga的結(jié)點和邊是G中從a點出發(fā)的那些路徑上的結(jié)點和邊，其中a是Ga的始點。對任意的結(jié)點a，b∈G，如果Ga≌Gb，那么a=b，我們就說G是同構(gòu)外延的。

同構(gòu)外延的意味著：在一個同構(gòu)外延的圖里面，絕不可能存在不同的結(jié)點a和b使得以a為始點的子圖同構(gòu)于以b為始點的子圖。明顯同構(gòu)外延性蘊涵嚴格性，但同構(gòu)外延性也不蘊涵外延性，如圖5。

所以僅用同構(gòu)外延性來確定精確圖也是外延公理不允許的。可以說一個可達點圖是精確圖當且僅當它是外延的和同構(gòu)外延的，這就是反基礎(chǔ)公理FAFA。此公理還有一種等價的表述：“一個可達點圖是精確圖當且僅當它是芬斯勒外延的”。這就形成了芬斯勒集合的域F={G∈V0|G是外延的且同構(gòu)外延的}，把FAFA加在ZFC-上就形成了芬斯勒非良基集合論[3]683～173。

（四）斯科特外延的與SAFA

已知一個可達點圖，如果從它的始點到它的所有結(jié)點的路徑是唯一的，我們就稱該可達點圖是一棵樹圖。樹本身也是一種可達點圖。一個可達點圖的展開把可達點圖的從始點開始的有窮路徑作為結(jié)點，把形如（a0→…→a，a0→…→a→a′）路徑有序?qū)ψ鳛檫?，把長度為1的路徑a0作為始點。因此，展開總是一棵樹?？梢杂靡环N明顯的方式從一個原始可達點圖的裝飾誘導(dǎo)出它的展開圖的裝飾，也就是指派給樹的結(jié)點a0→…→a的集合就是通過原始可達點圖的裝飾指派給結(jié)點a的集合。圖1中序數(shù)3的精確圖（左圖）被展開成3的樹圖（右圖）。

一棵樹是嚴格的（或非冗余的）僅當該樹不存在真自同構(gòu)。令Ga是一個可達點圖，可以證明：如果它的展開（Ga）t是嚴格的，那么Ga是同構(gòu)外延的和外延的。Ga是斯科特外延的當且僅當對該圖的任意結(jié)點 b，c，（Gb）t≌（Gc）t蘊涵 b=c[4]。如果 Ga是斯科特外延的，那么（Ga）t是嚴格的，所以斯科特外延的蘊涵同構(gòu)外延的和外延的。斯科特反良基公理SAFA可陳述為“一個可達點圖是精確圖當且僅當它是斯科特外延的”，這就形成了斯科特集合的域S={G∈V0|G是斯科特外延的}，把SAFA加到ZFC-得到斯科特非良基集合論。為顯示SAFA和FAFA的差異，考慮圖6：

（圖6）芬斯勒外延圖

（圖7）Ga的展開圖（Ga）t

既然所有的結(jié)點之間彼此可通達，此圖可被看作始點為a，b，或c的圖。易證此圖是外延的和同構(gòu)外延的，根據(jù) FAFA，它是滿足 A={B}，B={A，C}和 C={A，B}的三個不同集合 A、B、C 的精確圖；但是，以 b和c為始點的兩個可達點圖的展開（Gb）t和（Gc）t是同構(gòu)樹（見圖7），公理SAFA強迫b=c，故它不是SAFA下的精確圖。

（五）強外延的與AFA

對于任意一個可達點圖Ga，Ga的任意結(jié)點b和c來說，如果b和c具有互模擬關(guān)系，那么b=c，我們就說Ga是強外延的。最后，我們看看受到廣泛關(guān)注的非良基集合論——AFA集合論。AFA公理被描述為：一個圖是精確圖當且僅當它是強外延的。埃澤爾本人將該公理表示為“每個可達點圖是唯一集合的圖像”，或者“每個圖都有唯一裝飾”。這些描述都是等價的。這樣就可以得到埃澤爾非良基集合的域A={G∈V0|G是強外延的}。把AFA加到ZFC-就得到埃澤爾非良基集合論。

再看看圖6。存在一個把Ω={Ω}指派給每個結(jié)點的裝飾；根據(jù)AFA這個裝飾是唯一的。因此在AFA的域中，既沒有FAFA允許的不同的集合A、B、C，也沒有SAFA允許的不同的集合A、B。a、b、c三點都具有互模擬關(guān)系，所以圖6不是強外延的。這些公理給出了遞降的集合論域：B?Y?F?S?A。

三、FAFA或AFA

盡管FAFA斷定的是最自然的非良基集合論系統(tǒng)，但是事實上AFA在近幾年最引人注目。是什么理論在支持AFA呢？埃澤爾自己幾乎沒有給予討論，但他在《非良基集合論》中給出了莫斯托夫斯基（Mostowski）坍塌引理：每個良基圖有一個唯一裝飾。這里的唯一性明顯是為了導(dǎo)出在AFA下相對應(yīng)的唯一性。但是，莫斯托夫斯基坍塌引理中的唯一性根源何在呢？準確地說，良基性允許我們遞歸地定義唯一裝飾。在非良基情況下，唯一性需要一個不同的論證。但是，埃澤爾沒有提供。

支持AFA的另一來源是巴威斯和莫斯的《惡性循環(huán)》，但在這里，支持AFA的理由同樣是簡單的。他們考慮了滿足d={q，d}的集合d的數(shù)量（可把q看作某個固定的集合）。

假定d1和d2都是這個方程的解，那么無限地展開這些集合，我們看到：di={q，{q，{q，…}}}。

這里i=1、2。直觀上說，沒有什么東西可以把這兩個集合區(qū)分開來。沿著此路線展開下去，它們都是相同的。除字母之外，承認任意差別都會違反外延公理的精神，外延公理的精神實質(zhì)是說“集合由它的元素完全確定”。于是巴威斯和莫斯斷言僅僅存在一個這樣的d，并且那個裝飾總是唯一的。

（圖8）Ω＊的一個圖像

需要指出兩點，一是這個論證幾乎能夠支持“同構(gòu)的集合是相等的”原則，F(xiàn)AFA是這一原則的形式化版本，但是它不能支持更強的原則：集合只要有可能就相等；二是連d1、d2是否同構(gòu)也不是很清楚。假設(shè)d1=q，d2≠q，那么d1只有一個元素，d2有兩個元素。為明白這一點，取q=Ω。因此我們正在尋找方程d={Ω，d}的解。這個解是圖8中那個頂點的可能裝飾。

一個解d=Ω。另一個可能的解d=Ω*，這里Ω*≠Ω，Ω*={Ω，Ω*}。盡管Ω和Ω*都滿足：

d={Ω，{Ω，{Ω，…}}}。

但是Ω和Ω*不同構(gòu)。當然，在AFA的域中，不存在Ω*，因為圖8的唯一裝飾把Ω指派給每一個結(jié)點。但是巴威斯和莫斯在證明AFA（每個圖有唯一裝飾）成立時假定了方程解的唯一性，而現(xiàn)在證明這個方程有唯一解時又假定AFA成立，這就給人有乞題之嫌。

所有這些似乎相當抽象，現(xiàn)在看看在一個相對具體的背景下FAFA與其他公理有什么不同。迄今為止，眾所周知的對非良基集合的應(yīng)用是巴威斯和莫斯提出的用來解釋說謊者悖論，這里只需要他們的基本理論。在這個理論中，命題可以用一個n-元組描述。例如，“巴黎是浪漫的”可以用一個有序?qū)砻枋鰌=＜ro，pa＞，這里ro和pa是原子。關(guān)于其他命題的命題，還需要表示真和假的原子。因此命題斷定“命題p 是真的”可以模型化為＜tr，p＞。

當允許自我指謂時，悖論就出現(xiàn)了。因此，一個斷定自己假的說謊者命題p1被模型化為p1=＜fa，p1＞。如果把有序?qū)δＰ突癁榧系脑?，如＜x，y＞={{x}，{x，y}}，那么p1一定是非良基的。巴威斯和埃切門第（Etchemendy）使用的非良基集合論實際上是帶有原子的AFA集合論。這個集合論把有互模擬關(guān)系的集合看作是同一集合（而FAFA僅僅把同構(gòu)的集合看作同一集合），巴威斯和埃切門第被迫把具有互模擬關(guān)系的不同結(jié)構(gòu)的命題看作是同一命題。沿著圖8的思路，我們給出一個例子。首先可能嘗試給出兩個命題：

一個包含合取式，另一個沒有，這兩個命題在理論上就是不同的，我們把它們修改成：

AFA強迫p=q。存在一個唯一的p滿足第一個方程，并且埃澤爾1988年給出的及巴威斯、埃切門第1987年給出的解引理也保證了這兩個方程形成的方程組的唯一解的存在性[5]241～253（這個引理等價于AFA，它斷言“任意這樣的方程組有唯一解”）。很明顯，一個解可通過允許p=q獲得，因此，這就是唯一解。然而直觀上，p和q應(yīng)該有不同的結(jié)構(gòu)，并因此應(yīng)該表達不同的命題，實際上，直觀上可以有p為真q為假。

在非良基集合的應(yīng)用中，解引理是很方便的。當我們能夠使用ZF的歸納定義的時候，解引理保證了這些定義仍然是唯一的，但是這個唯一性以喪失域的豐富性為代價。如果能夠證明與FAFA相對應(yīng)的某個解引理版本，運用FAFA會更容易達到我們的目標。一個可能的方法是證明在眾多的解中，總存在一個具有特定性質(zhì)的唯一解。這些應(yīng)該得到進一步研究。顯然，如果接受所有的非良基集合，那么應(yīng)該接受的不僅僅是AFA域中的東西。

[1] Peter Aczel.Non-Well-Founded Sets[D].Stanford：CSLI Publications，1988.

[2] M.Boffa.Forcing et negation de 1’axiom de fondement[J].Memoire Acad，Sci.Belg.XL，1972，（7）.

[3] P.Finsler.Uber die Grundlagen der Mengenlehre[J].I.Math Zeitschrift，1972，（25）.

[4] D.Scott.A different kind of model of set theory[C].unpublished paper presented at the 1960 Standford Congress of Logic，Methodology and Philosophy of Science.

[5] Adam Rieger.An Argument for Finsler-Aczel Set Theory[J].Mind，2000，109（434）.