田社平，張 峰，陳洪亮

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240)

0 引言

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率是正弦穩(wěn)態(tài)“電路理論”或“電路分析”課程教學(xué)中的重要內(nèi)容。在正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中，涉及的功率概念多，包括瞬時(shí)功率、平均功率、有功功率、無功功率、表觀功率和復(fù)功率等。在教學(xué)中，應(yīng)講清楚各種功率的概念及其相互關(guān)系，以及它們的分析與計(jì)算方法。筆者在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)作為一組對(duì)應(yīng)的功率概念，有功功率和無功功率在數(shù)學(xué)定義和物理含義的講授上存在邏輯不一致的地方。對(duì)有功功率，其數(shù)學(xué)定義就是平均功率的定義，即正弦瞬時(shí)功率的平均值，其物理含義指電路實(shí)際消耗的功率，也即電路中電阻元件消耗的功率。對(duì)無功功率，其數(shù)學(xué)定義則不是來源于某個(gè)量(如某個(gè)功率量)的平均值，而是基于被分析電路與外電路之間的能量往返交換的現(xiàn)象，將反映能量交換規(guī)模的電壓、電流的有效值以及功率因數(shù)角的正弦值三者之積定義為無功功率，因此無功功率的大小反映了外電路(電源)參與能量往返的程度[1～3]。

現(xiàn)行教科書上關(guān)于無功功率的定義與解釋確有其合理之處，但對(duì)于初次學(xué)習(xí)正弦穩(wěn)態(tài)功率的學(xué)生而言，上述問題疑惑頗多。本文試圖提出一種無功功率的教學(xué)方法，使無功功率的定義、物理解釋與有功功率保持邏輯上的一致，同時(shí)也使無功功率與其它功率概念的聯(lián)系變得清晰明確。

1 利用旋轉(zhuǎn)相量定義無功功率

對(duì)于如圖1所示正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路，設(shè)其端口電壓和端口電流分別為

圖2 電流i(t)的旋轉(zhuǎn)相量在復(fù)平面上的投影

式中，p(t)稱為瞬時(shí)有功功率分量，q(t)稱為瞬時(shí)無功功率分量。對(duì)式(5)兩邊一個(gè)周期內(nèi)(T=2π/ω)取平均值，有

上式是一個(gè)非常有趣的結(jié)果。我們可以由式(6)來引出無功功率的定義:對(duì)圖1所示的電路，定義一個(gè)旋轉(zhuǎn)電流相量，進(jìn)一步由式(5)定義一個(gè)復(fù)數(shù)瞬時(shí)功率，對(duì)式(5)在一個(gè)周期內(nèi)取平均值即可定義出有功功率和無功功率這兩個(gè)概念。

通過式(6)定義無功功率，不僅使得有功功率和無功功率的數(shù)學(xué)定義在邏輯上得到統(tǒng)一，即兩者都定義為某一功率量(瞬時(shí)有功功率分量或瞬時(shí)無功功率分量)的平均值。而且式(6)的物理意義也能得到非常合理的解釋:瞬時(shí)電流的有功分量iP(t)是旋轉(zhuǎn)電流相量在復(fù)平面實(shí)軸上的投影，它與瞬時(shí)電壓(類似地，可以認(rèn)為其為瞬時(shí)電壓的有功分量)相乘得到的功率應(yīng)看作有功功率的時(shí)域表達(dá)式;瞬時(shí)電流的無功分量iQ(t)是旋轉(zhuǎn)電流相量在復(fù)平面虛軸上的投影，它與瞬時(shí)電壓正交，因此它與瞬時(shí)電壓相乘得到的功率應(yīng)看作無功功率的時(shí)域表達(dá)式。

2 電路元件的無功功率

上面討論了正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的無功功率的定義。在教學(xué)實(shí)踐中，一般從電路元件吸收功能的情況來引出無功功率的概念。這里討論本文的教學(xué)方法在電路元件無功功率教學(xué)中的應(yīng)用。不失一般性，假設(shè)元件兩端的電壓為

對(duì)于電阻元件則有

對(duì)于電容元件則有

可以看出，采用本文的定義方法，所得到的電路元件無功功率的大小和符號(hào)與現(xiàn)行教材完全一致。

3 討論

本文給出了一種基于旋轉(zhuǎn)相量的無功功率教學(xué)方法。該方法于有如下優(yōu)勢(shì)。

(1)無功功率的定義在形式上與有功功率統(tǒng)一。這種統(tǒng)一體現(xiàn)在:①在復(fù)平面，在時(shí)域，定義了瞬時(shí)有功分量和瞬時(shí)無功分量?jī)蓚€(gè)對(duì)應(yīng)的功能，它們分別對(duì)應(yīng)瞬時(shí)(電流)量在復(fù)平面實(shí)軸和虛軸上的投影;②無功功率為瞬時(shí)無功分量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，與有功功率為瞬時(shí)有功分量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值相對(duì)應(yīng);③復(fù)數(shù)瞬時(shí)功率的定義與復(fù)功率對(duì)應(yīng)，復(fù)功率為復(fù)數(shù)瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。

(2)本文提出的新教學(xué)方法與現(xiàn)行無功功率的教學(xué)內(nèi)容沒有沖突。從物理意義而言，有功功率刻畫了耗能元件(電阻)消耗功率的平均值，無功功率則刻畫了儲(chǔ)能元件(電容或電感)吸收功率的平均值;有功功率是消耗掉的功率，而無功功率則是與外電路交換的功率。

(3)現(xiàn)行無功功率的教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)儲(chǔ)能元件與外電路的能量交換，忽視了功率的概念，其根本原因在于沒有將無功功率與某個(gè)瞬時(shí)功率量(也是一個(gè)波動(dòng)的量)的平均值對(duì)應(yīng)起來。而本文提出的教學(xué)方法建立了瞬時(shí)無功功率分量的概念，其平均值即為無功功率，這樣可以強(qiáng)調(diào)無功功率的“功率”含義。

[1]李瀚蓀.簡(jiǎn)明電路分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2002

[2]陳希有.電路理論基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社.2004

[3]于歆杰，朱桂萍，陸文娟.電路原理[M].北京:清華大學(xué)出版社.2007