李 彪，唐有綺，丁 虎，陳立群，3

(1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 200240;2.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072;3.上海大學(xué) 力學(xué)系，上海 200444)

動(dòng)力傳送帶、磁帶、紙帶、帶鋸、空中纜車索道、高樓升降機(jī)纜繩、單索架空索道等多種工程系統(tǒng)元件，都可模型化為軸向運(yùn)動(dòng)梁。盡管以上的工程系統(tǒng)元件各有各的特點(diǎn)和用途，但與其運(yùn)動(dòng)方向垂直的橫向振動(dòng)會(huì)在一定程度上限制這些元件的效用。研究軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)機(jī)理對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)工程系統(tǒng)元件至關(guān)重要。分析軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向運(yùn)動(dòng)工程意義重大，因此，更廣受關(guān)注［1－3］。

Mote［4］用Galerkin截?cái)喾ㄑ芯苛藘啥算q支 Euler梁的固有頻率。Simpson［5］利用本征值方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁在固定邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)，但未考慮軸向初始張力。楊曉東等［6］研究了兩端帶有相同剛度扭轉(zhuǎn)彈簧鉸支的軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向振動(dòng)問題。丁虎等［7］研究了這種混雜邊界情況下軸向變速梁的橫向振動(dòng)穩(wěn)定性。

以上模型均采用歐拉梁模型。Ghayesh等［8］研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁非線性參數(shù)振動(dòng)和穩(wěn)定性。Lee等［9］應(yīng)用譜分析的方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁，通過與傳統(tǒng)的有限元解和精確解析解的對(duì)比，驗(yàn)證了譜單元法高精確度。Tang等［10－11］研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的受迫振動(dòng)和參激振動(dòng)。但所有關(guān)于軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的研究都未考慮黏彈性的影響，而實(shí)際工程中的黏彈性阻尼總是存在且不能忽略的。因此對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁的橫向振動(dòng)的研究是很有必要的，而這正是本文研究的目標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁，密度為ρ，截面面積為A，截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，彈性模量為E，軸力為P(x，t)，剪切模量為G。梁以速度Γ運(yùn)動(dòng)，兩端長度為L。y為梁軸線在X處的橫向位移，Ψ(x，t)為彎矩產(chǎn)生的梁軸線(忽略剪切變形時(shí))轉(zhuǎn)角。軸向運(yùn)動(dòng)梁的物理模型如圖1所示。

圖1 Timoshenko梁物理模型Fig.1 The physical model of a Timoshenko beam

系統(tǒng)的總動(dòng)能T與勢(shì)能U分別為:

變形功的變分δWd為:

黏彈性本構(gòu)關(guān)系為Kelvin模型并取物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù):

由外力引起的有用功的變分為:

式中:F=F0cos(ωt)為分布的面載荷，F(xiàn)0，ω分別為外力幅值與頻率。當(dāng)外激勵(lì)足夠大時(shí)，可將其作強(qiáng)受迫振動(dòng)處理。廣義哈密爾頓原理為:

引入無量綱參數(shù):

ε為無量綱參數(shù)，表示橫向位移、轉(zhuǎn)角以及Timoshenko梁的黏彈性系數(shù)均為小量。用 ζ表征非線性系數(shù)。

運(yùn)動(dòng)梁微分方程及邊界條件無量綱形式為:

2 多尺度分析及幅頻響應(yīng)

對(duì)式(7)、式(8)應(yīng)用直接多尺度方法，設(shè)其近似解為:

式中:T0=t和T1=εt分別為快時(shí)間和慢時(shí)間尺度。將式(10)、式(11)代入式(7)、式(8)，分離 ε0，ε1不同階量，得:

ε0階為:

式(12)、(13)解耦簡化為:

式(16)的解為:

其中qn(T0，T1)為 T0和 T1的函數(shù)，式(17)代入式(16)，兩端同乘 φ(x)并在［0，1］上積分:

其中:q為式(18)的解，設(shè):

將式(19)代入式(18)，得:

其中:

可得B值為:

線性派生系統(tǒng)式(12)、式(13)的固有頻率及模態(tài)已由文獻(xiàn)［12］給出。外激力頻率接近系統(tǒng)固有頻率三分之一時(shí)，超諧波共振可能產(chǎn)生。為分析共振點(diǎn)附近的響應(yīng)，引入簡諧參數(shù)σ表示擾動(dòng)頻率ω與固有頻率ωn的關(guān)系:

式中:ωn為系統(tǒng)式(12)、式(13)的第n階固有頻率。假設(shè)式(14)、式(15)的解為:

將式(22)，式(23)和式(24)代入式(14)和式(15)得到:

假設(shè)式(25)、式(26)的特解形式為:

將式(27)代入式(25)、(26)令兩端系數(shù)相等，得:

其中:

對(duì)系統(tǒng)所有參數(shù)，下式均成立:

可解性條件可寫成:

將式(32)寫成極坐標(biāo)形式:

將式(33)代入式(32)并分離實(shí)部與虛部，導(dǎo)出:

其中:

通過數(shù)值方法確定 μn，υn是正的純虛數(shù)，κn，δn，ζn是負(fù)的純虛數(shù)，ξn，χn為正的實(shí)數(shù)，λn為復(fù)數(shù)。c1為正實(shí)數(shù)，c2負(fù)純虛數(shù)，c3為復(fù)數(shù)。如果存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，幅值與相位必須滿足:

消去式(36)中相位，得第n階模態(tài)共振的幅值響應(yīng)與調(diào)諧參數(shù)關(guān)系:

計(jì)算式(34)右端平衡解的Jacobi矩陣及特征方程，根據(jù)勞斯 －赫爾維茨判據(jù)，穩(wěn)定條件及失穩(wěn)邊界為:

考慮軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁參數(shù)為:截面積 A=9 ×10－3m2，軸向力 P=107N，長0.3 m，彈性模量 E=169×109Pa，剪切模量G=66×109Pa，截面系數(shù)κ =5/6。k1=71.28，k2=0.006 58，kf=0.8，γ =2。圖2為外激力作用下第一、二階幅頻響應(yīng)曲線。第一、二階頻率分別為:ω1=7.244，ω2=25.792。第一階響應(yīng)中參數(shù)為:b=0.005，η =0.001，ζ=5。第二階響應(yīng)中參數(shù)為:b=0.003，η =0.001，ζ=2。

考慮軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁參數(shù)為:k1=71.28，k2=0.006 58，kf=0.8，γ =2。圖 3 為不同非線性系數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響。隨著非線性系數(shù)的增大，響應(yīng)曲線峰值向右彎曲。各個(gè)系數(shù)分別為:b=0.01，η =0.001。

圖4為不同黏彈性系數(shù)對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響。隨著黏彈性系數(shù)的增大，響應(yīng)振幅減小。各個(gè)系數(shù)分別為:b=0.01，ζ=5。梁參數(shù)為:k1=71.28，k2=0.006 5，kf=0.8，γ =2。圖 5 為不同外力作用下對(duì)幅頻響應(yīng)曲線的影響。隨著外力的增大，響應(yīng)振幅增大。各個(gè)系數(shù)分別為:η =0.001，ζ=5。

圖6為響應(yīng)曲線以及失穩(wěn)邊界。實(shí)線表示響應(yīng)曲線，虛線表示失穩(wěn)邊界，在該邊界的區(qū)域不穩(wěn)定，而外面穩(wěn)定。在不穩(wěn)定的區(qū)域內(nèi)會(huì)出現(xiàn)躍跳現(xiàn)象。參數(shù)b=0.01，η =0.001，ζ=5。

3 結(jié)論

本文分析了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性Timoshenko梁的橫向非線性強(qiáng)受迫共振的響應(yīng)問題，梁的黏彈性用Kelvin本構(gòu)關(guān)系并引入物質(zhì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)加以描述。運(yùn)用廣義哈密頓原理推導(dǎo)梁橫向振動(dòng)的控制方程以及邊界條件。應(yīng)用多尺度方法分析了系統(tǒng)超諧波共振時(shí)的穩(wěn)態(tài)幅頻響應(yīng)，以及非線性、激勵(lì)振幅和黏性阻尼對(duì)響應(yīng)的影響。通過分析穩(wěn)定點(diǎn)的線性化方程確定響應(yīng)曲線的穩(wěn)定性。數(shù)值結(jié)果表明，擾動(dòng)振幅的增大使共振振幅增大，增大黏彈性阻尼使共振振幅減小，非線性系數(shù)增大使得共振振幅減小。

［1］馮志華，胡海巖.直線運(yùn)動(dòng)柔性梁非線性動(dòng)力學(xué)—主參數(shù)共振與內(nèi)共振聯(lián)合激勵(lì)［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2004，17(2):126－131.

［2］Chen S H，Huang J L，Sze K Y.Multidimensional lindstedtpoincare method for nonlinear vibration of axially moving beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，306:1－11.

［3］Marynowski K.Non-linear vibrations of an axially moving viscoelastic web with time-dependent tension ［J］.Chaos，Solitons＆ Fractals，2004，21:481－490.

［4］Mote C D J.Dynamic stability of an axially moving band［J］.Journal of the Franklin Institute，1968，285:329－346.

［5］Simpson A.Transverse modes and frequencies of beams translating between fixed end supports［J］.Journal of Mechanical Engineering Science，1973，15:159－164.

［6］楊曉東，陳立群.帶有扭轉(zhuǎn)彈簧兩端鉸支軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2006，25(4):149－150.

［7］丁 虎，陳立群.混雜邊界條件下軸向變速運(yùn)動(dòng)黏彈性梁參數(shù)振動(dòng)的穩(wěn)定性［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(11):62－63.

［8］Ghayesh M H，Balar S.Non-linear parametric vibration and stability analysis for two dynamic models of axially moving Timoshenko beams［J］.Applied Mathematical Modelling，2010，34:2850－2859.

［9］Lee U，Kim J，Oh H.Spectral analysis for the transverse vibration of an axially moving Timoshenko beam［J］.Journal of Sound and Vibration，2004，271:685－703.

［10］Tang Y Q，Chen L Q，Yang X D.Nonlinear vibrations of axially moving Timoshenko beams under weak and strong external excitations［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，320:1078－1099.

［11］Tang Y Q，Chen L Q，Yang X D.Parametric resonance of axially moving Timoshenko beams with time-dependent speed［J］.Nonlinear Dynamics，2009，58:715 －724.

［12］Chen L Q，Tang Y Q，Lim C W.Dynamic stability in parametricresonance ofaxially accelerating viscoelastic Timoshenko beams［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，329:547－565.