周 彪，謝雄耀

(1.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092;2.同濟大學 土木工程學院地下工程系，上海 200092)

隨著地鐵等軌道交通建設的迅速發(fā)展，由地鐵運營引起的結(jié)構(gòu)及環(huán)境響應問題中，比較關(guān)注荷載在結(jié)構(gòu)及周圍土層中的傳播及由此產(chǎn)生的過大沉降及結(jié)構(gòu)損害［1］。

上述問題的研究及解決均須借助于相關(guān)的模型。Cui［2］和 Li［3］運用 FEM 對整體式道床和浮置道床軌道結(jié)構(gòu)進行模擬，前者對兩種軌道結(jié)構(gòu)的響應差別做了研究，后者對不同結(jié)構(gòu)形式的浮置道床(短、中、長道床)在簡諧荷載作用后荷載傳遞差異做了研究。并討論了各種模型的使用條件。上述僅對隧道結(jié)構(gòu)進行模擬，而未將隧道及土體進行耦合分析。Takamiya［4－5］針對地表路堤系統(tǒng)將軌道系統(tǒng)和半無限體土層耦合。后續(xù)圣小珍［6－7］建立了軌道－多土層模型，研究簡諧荷載和半靜定移動荷載作用下土層的響應與荷載傳遞，其中土層運用了TMM法。上述模型并未考慮隧道結(jié)構(gòu)的影響。

隨著軌道交通相應的振動問題日益受到關(guān)注，很多研究者對隧道結(jié)構(gòu)的影響進行研究，同時之前路堤結(jié)構(gòu)的相關(guān)研究也為此做出了積淀。其中Metrikine［8］建立了二維理論模型，將隧道簡化成歐拉梁并將其與上下土層耦合，研究了靜定和簡諧荷載作用下地表位移響應的差異。而該模型未包含軌道結(jié)構(gòu)的影響。Hussein［9］結(jié)合PIP模型研究了簡諧荷載作用下軌道－隧道－土層結(jié)構(gòu)的響應問題，而該模型僅是針對深埋隧道的特例。

除上述理論模型，有限元及邊界元等技術(shù)被用于振動傳播與響應的模擬，Gupta［10］等將2.5維技術(shù)以及FE－BE耦合結(jié)構(gòu)做出模擬;楊永斌［11］將2.5維技術(shù)與有限元及無限元技術(shù)集合探討了地下隧道中振動波的傳播，劉衛(wèi)豐等［12］，邊學成等［13］也就此類方法做了研究，此類模型能較好的模擬結(jié)構(gòu)與土層耦合狀態(tài)下的響應問題，但計算較為復雜。

為此本文結(jié)合上述研究成果，分別利用FEM和TMM方法將軌道結(jié)構(gòu)、隧道和土層進行耦合。并以上海四號線為例，結(jié)合耦合結(jié)構(gòu)頻散特征，對軌道及土體響應特征作出分析。

1 模型介紹

如圖1所示，軌道系統(tǒng)與隧道相連并埋在土層中。軌道系統(tǒng)采用有限元(FEM)進行模擬，振動波在上下土層中的傳播則通過傳遞矩陣(TMM方法)進行模擬。作用于軌道系統(tǒng)上的列車荷載簡化為沿鐵軌方向上以速度c移動的半靜定和簡諧移動荷載。

對速度c沿x方向運動的簡諧荷載，可表示為:P0eiΩtδ(x －ct)，δ為 Dirac＇s delta 函數(shù)，經(jīng)傅里葉變換后，在f－k空間(頻域－波數(shù)域)中的表達式為:

圖1 模型概要圖Fig.1 The layout of the model

在本模型中以浮置板軌道結(jié)構(gòu)為例，鋼軌，浮置板及隧道簡化為歐拉伯努利梁并假設無橫向運動，其在f－k域中的運動參量表示為:

深度方向z=z0上土層的位移與應力表示為:

在式(1)所示移動荷載作用下，基于傅里葉與拉普拉斯變換原理并令ξ=Ω－βc。時間空間域內(nèi)軌道、隧道及土層位移表示為式(4)形式:在列車運行初始時刻(t=0)，此式演變?yōu)槭?5)，此為標準的一維傅里葉逆變換。假如已知(β，z0，ω)，(β，z0，ω)的值，則在空間域中軌道、隧道及土層的應力與位移便可求得。+∞

以同樣方法，可求得在移動靜定荷載作用下時間空間域中的軌道、隧道及土層響應式，即式(6)。

Ω=0時，式(4)即等價于式(6)，從某種意義上說，靜定荷載僅為移動荷載的特例。故在后續(xù)推導過程中僅考慮移動簡諧荷載的情況。

2 軌道系統(tǒng)有限元模擬

如前所述，軌道結(jié)構(gòu)及隧道的模擬將采用有限元方法，針對浮置板軌道結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻［2］，浮置板軌道結(jié)構(gòu)可分長、中、短浮置板三種形式，現(xiàn)澆結(jié)構(gòu)宜視為長浮置板形式，可將其簡化為梁。另外其與同樣簡化為歐拉梁的鋼軌和隧道之間的扣件及彈性支撐連接簡化為彈簧。其彈性剛度分別用kp和kpe表示。在不考慮橫向位移的前提下，各部分平衡方程可表示為:?

其中:w1，w2和w3分別為軌道，浮置板及隧道的豎向位移，Er，Ed和ET為軌道、浮置板及隧道的抗彎剛度。ρT為隧道每延米質(zhì)量，τU，τL分別為隧道上下側(cè)土體界面處的應力。

當該耦合結(jié)構(gòu)受到如P0eiΩtδ(x－ct)移動荷載時，分別對上三式就時間t和圓頻率ξ進行積分。即可轉(zhuǎn)化為在頻率波數(shù)域內(nèi)的一維有限元問題，其剛度與荷載矩陣分別為:

3 傅里葉傳遞矩陣模擬土層響應

3.1 土層上下界面?zhèn)鬟f關(guān)系

基于粘彈性理論，對于特定土層，其運動方程可以表示為［14］:

其中:u={u(x，z，t)，w(x，z，t)}為距離土層頂部深度 z處的橫向與豎向運動分量，ρ為土層密度，λ和μ為粘彈性拉梅常數(shù)。其表達式為:

通過對式(14)進行傅里葉變換并求解偏導方程，在土層深度為z處的運動方程表示為:

同樣方法可獲得下表面處應力應變統(tǒng)一表達式:

由此，根據(jù)式(20)和式(21)，土層上下層應力應變可表示為:

3.2 層狀土層整體傳遞矩陣

根據(jù)Haskell等［14］提出的土層應力應變連續(xù)條件:結(jié)合式(20)，對含有n層的土體，其上表面和下地面的應力應變關(guān)系可表示為:

其中:

3.3 本模型上下側(cè)土層應力應變關(guān)系

如圖1所示，隧道結(jié)軌道上下側(cè)均為多土層，結(jié)合其邊界條件，其上下界面應力應變關(guān)系為:

(1)上側(cè)土層

由于上側(cè)土層下表面與隧道梁相連，因而其橫向位移為零且其下表面豎向應變量等同于隧道梁，由此接觸面上應力應變的關(guān)系為:

(2)下界面

隧道下側(cè)土層為一多土層和半無限空間體的耦合結(jié)構(gòu)，其中半無限體上邊面和多土層的下表面存在連續(xù)關(guān)系。針對于半無限空間，假定在無窮遠處應力應變?yōu)榱?，半無限體上表面應力應變關(guān)系可表示為:

耦合上面多土層，結(jié)合式(28)，下側(cè)土層與隧道梁耦合的上表面的應力應變關(guān)系可表示為:

同樣，在忽略橫向變形的前提下，其豎向應力與應變的關(guān)系可表示為:

4 實例分析

4.1 研究背景及參數(shù)

本文以上海四號線臨平－海倫路區(qū)間為研究背景，該路段采用浮置板道床，列車具體參數(shù)如圖2及表1所示:

圖2 運營車輛幾何尺寸圖Fig.2 The geometer of operation car at Shanghai metro line 4

為研究方便，隧道上下土層簡化為均一土層，其計算參數(shù)如表 2所示［15］。

如圖2所示的運營列車產(chǎn)生的列車荷載簡化為移動速度為60 km/h，幅值為149 kN，其表達式為:

表1 浮置板軌道相關(guān)參數(shù)(半幅)Tab.1 Parameters of the FST(for half track)

表2 土層參數(shù)Tab.2 Parameters for the ground layers

其中:L0為觀察點距離第一個荷載的距離，Le為車廂長度。Pn(x－ct+Ln)代表第n節(jié)車廂產(chǎn)生的荷載如式(31)所示。其中PNi輪對產(chǎn)生的荷載，其他參數(shù)見圖2。

對上式做傅里葉變化可得其在f－k域內(nèi)表達式為:

4.2 軌道及土層頻散特性分析

為探討其與土層耦合特征，本節(jié)將研究軌道結(jié)構(gòu)和土體頻域波數(shù)域內(nèi)頻散關(guān)系，即分析在無阻尼條件下，響應位移為無窮大時波數(shù)β和圓頻率ω的關(guān)系。

基于式(10)，可求得在無阻尼條件下波數(shù)和圓頻率的關(guān)系，其中H是關(guān)于β，ω的函數(shù)，其值介于0和無窮大之間，所以分析以上H為零和無窮大兩者情況，可以從大體上反映軌道結(jié)構(gòu)的頻散曲線分布規(guī)律，從分析中可以發(fā)現(xiàn)在含有隧道梁時，其第一模態(tài)區(qū)別很小，因而，選定H為無窮大作為計算工況，其頻散圖如下圖3所示。

同樣基于式(27)及式(30)，并借助MATLAB采用尋找傅里葉極值的方法求取土層在頻域內(nèi)的P－SV頻散曲線。其中上側(cè)土層與軌道系統(tǒng)的頻散耦合關(guān)系見圖3。

圖3 上側(cè)土層與軌道耦合頻散特征圖Fig.3 The disperse cures of the ground layer and coupled with the track disperse curves

圖3中反映了在簡諧移動荷載作用下，上側(cè)土層中壓縮波和豎向剪切波的頻散曲線分布情況。從圖中可以看出，除第一模態(tài)與瑞利波速曲線相交之外，其余模態(tài)均介于土層的瑞利波速和剪切波速曲線范圍之內(nèi)。同時含有隧道梁的軌道系統(tǒng)頻散曲線與土層的前兩個模態(tài)相交。從中可以發(fā)現(xiàn)兩個重要頻散特征。其一就是多普勒效應，對于特定頻率來說，當其移動速度超過極限速度時，土層多會產(chǎn)生多普勒效應。以靜荷載對上側(cè)土層影響為例，其極限速度可以通過上層土層模態(tài)曲線與土層瑞利波速曲線相交點(f0，k0)來判斷，當靜荷載移動速度超過2πf0/k0時，會發(fā)生多普勒效應。另外對特定移動速度情況下，如圖3所示的虛線代表時速為60 km/h移動的簡諧荷載，其與第一模態(tài)起點相交，并與頻率軸同時相交于2.4 Hz，說明當時速為60 km/h時，其極限頻率為2.4 Hz。超過該頻率時，亦會發(fā)生多普勒效應。

另外一個重要特征耦合結(jié)構(gòu)的共振頻率。以第一個交點為例，交點位于點(7.82 Hz，0.41 m－1)，說明頻率為7.82 Hz的振動波可同時在軌道系統(tǒng)和土層中傳播，此時共振效應將會發(fā)生，后續(xù)的分析驗證上述特點。

4.3 軌道響應及與實測數(shù)據(jù)對比

根據(jù)圖2中各參數(shù)數(shù)值，依據(jù)式(10)，可計算得到頻率波數(shù)域內(nèi)鋼軌和浮置板的響應值，如圖4所示，頻域計算范圍選定為［－5，5］，從圖中可以發(fā)現(xiàn)波數(shù)k值絕對值大于3后，其幅值已很小，從而保證了做逆傅里葉變換時數(shù)值無遺漏。通過運用IFFT變換得到如圖5及圖6所示時域內(nèi)的響應值。

圖4 鋼軌位移波數(shù)域內(nèi)求解值Fig.4 The rail displacement value at wavenumber domain

圖5 軌道位移模擬結(jié)果與實測結(jié)果對比圖Fig.5 The Rail simulation displacement along the x direction and compared with the measures

圖6 浮置板模擬結(jié)果與實測結(jié)果對比圖Fig.6 The float slab simulation displacement along the x direction and compared with the measures

從圖5、圖6看出，由于實測數(shù)據(jù)中包含測試儀器與隧道同振動，因而列車離開時存在小差異，其余部分模擬結(jié)果與實測結(jié)果吻合良好。說明模型能較好的模擬耦合結(jié)構(gòu)的振動響應。

4.4 地層響應

4.4.1 地表位移

為驗證3.3節(jié)中頻譜分析結(jié)論，探討地表振動隨激勵頻率變化的差異，本文對不同頻率下地表位移做了研究。

假設隧道的橫向位移為零，豎向位移根據(jù)式(10)求解獲得的前提下。根據(jù)式(20)中Θ值，在土層上下邊界應力應變值中的四個值已知，便可求得Θ值，其余四個分量也可同時獲得。根據(jù)圖4頻散曲線，分別選取多普勒效應的極限頻率下值0.1 Hz和共振頻率值8 Hz，一節(jié)運營車廂以時速60 km/h經(jīng)過，分析在上述頻率作用下地表位移的區(qū)別。

圖7 共振與普通激勵頻率下地表位移圖Fig.7 The comparison of the surface displacement under the resonance and normal frequency moving harmonic load

從圖7可發(fā)現(xiàn)，地表的橫向與豎向位移在0.1 Hz頻率荷載作用下符合理論解，而8 Hz頻率荷載作用發(fā)生了多普勒效應。由頻散曲線分析得到的與共振頻率相近的8 Hz簡諧荷載作用下，地表位移值大于其他頻率段的響應值。

4.4.2 地層剪力

對于很多巖土工程師來說，或許會更多的關(guān)注土層中應力情況，根據(jù)4.4.1節(jié)中所述方法，同樣可以求取不同頻率下沿隧道上層土層深度方向的應力值。為分析應力隨激振頻率的關(guān)系，借助本文所述模型計算了不同頻率下應力的變化情況。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，在0～20 Hz范圍內(nèi)，應力最大值出現(xiàn)在共振頻率附近。與上節(jié)中地表位移的分析結(jié)果一致。在實際分析與現(xiàn)場測量中，只需獲取其中一個物理量的頻率分布特征，即可分析振動響應隨頻率的變化情況。從而為減振措施選取做出參考。

同時本文還選取了8 Hz簡諧移動荷載作用下，隧道與上側(cè)土層接觸面和地表處沿列車行進方向上的以及x=0處沿土層深度方向上的剪應力變化情況。

從圖9發(fā)現(xiàn)，剪力也出現(xiàn)明顯的多普勒效應。并且在同一頻率簡諧荷載作用下豎向應力和橫向應力的分布形式不同，頻率為8 Hz時，豎向應力仍處于第一模態(tài)而橫向應力出現(xiàn)第二模態(tài)，且變化更為復雜。

圖8 不同頻率下上層土層應力最大值分布圖Fig.8 The max value of the stress against frequency

圖9 剪力沿列車運行方向及深度方向變化情況Fig9 The stress varies along the train moving direction and depth

5 結(jié)論

本文基于FEM原理和TMM方法開發(fā)一種用于計算軌道－隧道－土層耦合情況下列車振動引起的振動響應的模型，從與實測結(jié)果對比以及相關(guān)頻散特征分析上看，本模型在研究與計算軌道及土層耦合響應問題上是切實可行的。其能較好的求解軌道系統(tǒng)位移和土體應力應變響應。結(jié)論如下:

(1)由軌道隧道系統(tǒng)與土層耦合頻散特性分析中，可以清晰得到當簡諧移動荷載頻率超過一定量值時，將在地表位移及土層剪力中將會出現(xiàn)多普勒效應。

(2)由耦合結(jié)構(gòu)頻散特性分析中，從軌道及土層頻散曲線的交點(f0，k0)上判斷出頻率為f0的振動波在波數(shù)為k0時，能同時在軌道和土層中傳播。如上海四號線軌道與土層共振頻率在7.8 Hz附近的激勵荷載會造成較大的地表位移與應力。

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