鄭娟

(棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

人們一直很關(guān)心具有振蕩解的初值問題：

y′(x)=f(x,y),y(x0)=y0

(1)

此類問題廣泛出現(xiàn)在量子力學(xué)、天體力學(xué)、物理化學(xué)、電子學(xué)等不同的應(yīng)用領(lǐng)域中,特別是當(dāng)它的解具有一定的振蕩性時.如果之前能對頻率作一個很好的估計(jì)，用三角擬合的方法有時可以得到一個很好的結(jié)果.Gautschi[1]與Lyche[2]首先給出此項(xiàng)技術(shù)的理論基礎(chǔ)，后來Raptis和Allison[3]針對二階微分方程構(gòu)造了一個Numerov類型的指數(shù)擬合方法，[3]中的數(shù)值解表明擬合后的新方法較原始的Numerov方法對于解Schr?dinger類型的方程具有更高的效率.G.Psihoyios與T.E.Simos[4]把三角擬合應(yīng)用到預(yù)估校正線性多步法中用以求解帶振蕩性的一階初值問題的微分方程,得到了很好的結(jié)果.

1 三角擬合Adams-Bashforth線性多步法

考慮如下格式

(2)

這個格式可以在[5]中找到.由上面格式可得到3階Adams-Bashforth線性多步法：

yn+1=yn+h(c1fn+c2fn-1+c3fn-2)

(3)

讓方法(3)對于下面函數(shù)的線性組合精確成立:

{1,x,cos(ωx),sin(ωx)}

(4)

得到如下方程組：

(5)

在這里u=ωh.

解上面方程組可得:

(6)

上面系數(shù)的泰勒展式為:

(7)

以(6)所給系數(shù)的三角擬合三階Adams-Bashforth方法記為ADM3F1，它的局部截?cái)嗾`差為:

(8)

因此這個方法ADM3F1的代數(shù)階為3.根據(jù)(7)，因?yàn)閡=ωh,可知當(dāng)ω→0時，我們所得到的三角擬合三階Adams-Bashforth方法變?yōu)樵嫉娜AAdams-Bashforth方法.

2 穩(wěn)定性分析

將(3)應(yīng)用到試驗(yàn)方程：

y′=λy,Re(λ)<0,

(9)

可得到如下差分方程：

yn+1-yn(1+c1H)-yn-1c2H-yn-2c3H=0,

(10)

其中H=λh.

(10)的特征方程為：

r3-r2(1+c1H)-rc2H-c3H=0.

(11)

圖1 原始三階Adams-Bashforth方法的絕對穩(wěn)定性區(qū)域

圖2 三角擬合三階Adams-Bashforth方法分別當(dāng)u=1,u=5,u=12時的絕對穩(wěn)定性區(qū)域

Fig.2 Stability region for trigonometrically fitted case and for u=1,u=5,u=12

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)我們應(yīng)用新方法到4個振蕩問題中.前三個為非齊次方程，最后一個為雙頻類周期問題.

我們選用下列五個方法以比較:

原始的二階Adams-Bashforth方法,用ADM2表示;

三角擬合二階Adams-Bashforth方法,用ADM2F1表示;

原始的三階Adams-Bashforth方法,用ADM3表示;

三角擬合三階Adams-Bashforth方法,用ADM3F1表示;

原始的四階Adams-Bashforth方法,用ADM4表示.

4.1 非齊次方程

考慮下述問題:

y″=-100y+99sin(x),
y(0)=1,y′(0)=11.

(12)

其解析解為y(x)=cos(10x)+sin(10x)+sin(x).

在區(qū)間0≤x≤100,針對方法ADM2F1與ADM3F1選擇ω=10.對方程(12)做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們比較五個方法的全局誤差及計(jì)算函數(shù)所用個數(shù)，在圖三中給出了數(shù)值演示結(jié)果.

4.2 非齊次方程

考慮下述問題:

(13)

在區(qū)間0≤x≤100,針對方法ADM2F1與ADM3F1選擇ω=9.對方程(13)做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們比較五個方法的全局誤差及計(jì)算函數(shù)所用個數(shù)，在圖四中給出了數(shù)值演示結(jié)果.

4.3 非齊次方程

考慮下述問題:

(14)

在區(qū)間0≤x≤100,針對方法ADM2F1與ADM3F1選擇ω=13.對方程(14)做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們比較五個方法的全局誤差及計(jì)算函數(shù)所用個數(shù)，在圖五中給出了數(shù)值演示結(jié)果.

4.4 雙頻類周期問題

考慮下述問題:

y″=-169y+(480-160i)e3ix,
y(0)=4+i,y′(0)=-23+22i.

(15)

它等價于

u''(x)+169u(x)-480cos(3x)-160sin(3x)=0,

v''(x)+169v(x)-480sin(3x)+160cos(3x)=0.

這里y(x)=u(x)+iv(x).

其解析解為

u(x)=-2sin(13x)+cos(13x)+3cos(3x)+sin(3x),

v(x)=sin(13x)+2cos(13x)+3sin(3x)-cos(3x).

在區(qū)間0≤x≤100,針對方法ADM2F1與ADM3F1選擇ω=13.對方程(15)做數(shù)值實(shí)驗(yàn)，我們比較五個方法的全局誤差及計(jì)算函數(shù)所用個數(shù)，在圖6中給出了數(shù)值演示結(jié)果.

圖3 問題4.1數(shù)值演示結(jié)果 圖4 問題4.2數(shù)值演示結(jié)果

Fig.3 Efficiency curves in Problem 4.1 Fig.4 Efficiency curves in Problem 4.2

圖5 問題4.3數(shù)值演示結(jié)果 圖6 問題4.4數(shù)值演示結(jié)果

Fig.5 Efficiency curves in Problem 4.3 Fig.6 Efficiency curves in Problem 4.4

5 結(jié)論

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)可看到，我們所得到的三角擬合三階Adams-Bashforth方法較其它方法在處理帶初值的振蕩問題時更為高效.三角擬合三階Adams-Bashforth方法優(yōu)于原始的三階Adams-Bashforth方法，甚至也優(yōu)于原始的四階Adams-Bashforth方法.這是因?yàn)檫@個三角擬合方法對于函數(shù){1,x,cos(ωx),sin(ωx)}的線性組合精確成立，而其它的方法不具有這個特性.

參考文獻(xiàn)

[1]Gautschi W. Numerical integration of ordinary differential equations based on trigonometric polynomials[J].Numer.Math, 1989: 387-397.

[2]LycheT.Chebyshevianmultistepmethodsforordinarydifferentialequations, Numer. Math[J].1972:65-75

[3]RaptisA.D,AllisonA.C.Exponential-fittingmethodsforthenumericalsolutionoftheschr?dingerequation[J]. Comput. Phys, Commum.1978:1-5.

[4]Psihoyios G,Simos T.E. Trigonometrically fitted predictor-corrector methods for IVPs with oscillating solutions[J].J.Comput.Appl.Math,2003,158(1):135-144.

[5]Hairer E, N?rsett S. P , Wanner G, Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems[M].2nd～ed. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1993.

[6] Lambert J.D, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems[M]. 1991.