介于經(jīng)典型和乘積型的奇異積分算子*
2012-05-10 06:42譚超強
中山大學學報(自然科學版)(中英文) 2012年5期
譚超強
(汕頭大學理學院數(shù)學系，廣東 汕頭 515063)
由于偏微分方程和復分析等領(lǐng)域的研究發(fā)展，產(chǎn)生了一系列具有奇性的積分算子，人們需要對這些算子的性質(zhì)進行探索和研究。于是在這種背景的激勵下，Calderon和Zygmund等人經(jīng)過多年的研究，建立出一套比較完善的單參數(shù)奇異積分算子理論[1-4]，如今它已經(jīng)成為調(diào)和分析領(lǐng)域的核心內(nèi)容。這類型算子的特點是核函數(shù)滿足大小條件、光滑性條件與消失矩條件，而這類算子的最重要性質(zhì)之一就是Lp有界性(1 然而隨著多復變函數(shù)等領(lǐng)域的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)有些算子與Calderon-Zygmund奇異積分算子很類似，但是卻不滿足單參數(shù)Calderon-Zygmund奇異積分算子的條件。為解決這些問題，E.M.Stein和R.Fefferman等人引入一套多參數(shù)乘積型的奇異積分算子理論[5-7]，很好地解決了這些問題。這套多參數(shù)理論的特點是把單參數(shù)理論中的核函數(shù)大小條件與光滑性條件同時降低，但是卻加強了消失矩條件，依然能保證這類算子的Lp有界性 (1 這兩套理論有著本質(zhì)的區(qū)別，但同時有著諸多的聯(lián)系。在這兩套算子理論的基礎(chǔ)上，本文將建立另外一套介于單參數(shù)與多參數(shù)間的奇異積分算子理論，給出其Lp有界性。我們給出的這類算子特點是核函數(shù)比單參數(shù)的奇異積分算子的大小條件和光滑性條件要求低，但是保持消失矩條件不變。因此經(jīng)典的單參數(shù)奇異積分算子就是我們這套理論的特殊情形，同時在形式上與乘積型的算子非常類似。 1.1.1 經(jīng)典的單參數(shù)奇異積分算子理論 假設(shè)存在常數(shù)C，使得核K(x):Rn→R滿足： 注1 單參數(shù)核的一個重要性質(zhì)是單參數(shù)展縮不變，即對任意的t>0，tnK(tx)一致地滿足上面大小條件、光滑性條件和消失矩條件。 1.1.2 多參數(shù)奇異積分理論 假設(shè)存在常數(shù)C，使得核K(x,y):Rm×Rn→R滿足： 注2 多參數(shù)核的一個重要性質(zhì)是多參數(shù)展縮不變，即對任意的t,s>0，tmsnK(tx,sy)一致地滿足上面大小條件、光滑性條件和消失矩條件。 我們知道單參數(shù)理論與多參數(shù)理論雖然方法上很多相同之處，但是卻有著本質(zhì)的不同。為研究這兩種理論之間的聯(lián)系，本文將建立一套介于經(jīng)典單參數(shù)與多參數(shù)乘積型的奇異積分算子理論。該理論某種程度上可看作為連結(jié)這兩套理論的紐帶，對它的研究將豐富了奇異積分算子理論體系，有助于我們加深對奇異積分算子的理解與認識。為了更加清楚表述我們的理論，我們只考慮R2上這種簡單的情形。下面是本文的主要定理。 定理1 給定0<δ<1，假設(shè)存在常數(shù)C，使得核K(x):R×R→R滿足： 注3 (i) 我們指出經(jīng)典的單參數(shù)奇異積分算子包含在我們的類里面，同時形式上與多參數(shù)的乘積型奇異積分算子理論類似。 (iv) 該類算子是單參數(shù)展縮不變的，即對任意的t>0，t2K(tx,ty)一致地滿足上面大小條件、光滑性條件和消失矩條件。 注意到 ξ,x2)e-2πi(x1ξ1+x2ξ2)dx1dx2+ I+II+III+IV 對于項I，利用核K的大小條件和消失矩條件，有 (|x1ξ1|+|x2ξ2|)dx1dx2+C≤C. 對于項II，對變量x2進行分部積分，有 |II|≤ II1+II2 假定f是緊支集光滑函數(shù)，那么 I+II 對于項I,利用核K的條件，有 |I|≤F(x)· 其中F(x)為緊支集特征函數(shù)。 對于項II，我們對積分項用絕對值估計，有 而該函數(shù)屬于Lp(R2)。 利用控制收斂定理，我們就得到需要的結(jié)論。 眾所周知，g(f)與函數(shù)f是Lp(R2)互相控制的，即存在常數(shù)C1,C2，使得 C1‖f‖p≤‖g(f)‖p≤C2‖f‖p 為證明算子T的Lp(R2)有界性，首先我們需要證明下面的引理： 證明 分三種情況討論：(a) |x1|≥2,|x2|≥2; (b) |x1|≥2,|x2|<2或者|x1|<2,|x2|≥2；(c) |x1|<2,|x2|<2。 對于情形(a)： |x1|≥2和|x2|≥2,利用函數(shù)ψ的消失矩條件，有 |K*ψ(x)|= 對于情形(b)：|x1|≥2,|x2|<2或者|x1|<2,|x2|≥2，我們有 |K*ψ(x)|= 對于情形(c)： |x1|<2,|x2|<2，利用核K的消失矩條件，有 |K*ψ(x)|= ψ(x1,x2))dy1dy2|+ (|y1|+|y2|)dy1dy2|+C≤ 這樣我們就完成了引理1的證明。 根據(jù)引理1得到的結(jié)論，我們又可以得到如下的引理： 引理2 假定0<λ≤min(δ,1-δ)，j,j′∈Z， 那么有 引理2的證明是規(guī)范的，它需要利用下面兩個事實： (a)卷積算子的交換性，即ψj*K*ψj'(x)=K*(ψj*ψj')(x)； (b)ψj*ψj'(x)滿足引理1證明中函數(shù)ψ(x)需要用到的條件。證明過程這里省略。 根據(jù)引理2得到的結(jié)論，對j,j′∈Z， 有 |ψj*K*ψj'*(ψj'*f)(x)|≤C2-|j-j'|Ms(ψj'*f)(x) 其中Msf(x)為R×R上的強極大函數(shù)。 ‖T(f)‖p≤C‖g(Tf)‖p= 對任意的緊支集光滑函數(shù)f(x)均成立。 最后利用緊支集光滑函數(shù)在Lp(R2)空間上是稠密的性質(zhì)，我們就可以把算子T延拓為Lp(R2)上的有界線性算子，這樣就完成了定理1的證明。 本文建立了一套介于單參數(shù)經(jīng)典型與多參數(shù)乘積型間的奇異積分算子理論，證明其Lp有界性(1 參考文獻： [3]STEIN E M.Note on singular integrals [J].Proc Amer Math Soc,1957,8: 250-254. [4]ZYGMUND A.On singular integrals [J].Rend Mate Appl,1957,16: 468-505. [5]FEFFERMAN R,STEIN E M.Singular integrals on product spaces [J].Adv Math,1982,45(2): 117-143. [6]JOURNE J L.Calderon-Zygmund operators on product spaces [J].Rev Mat Iberoamericana,1985,1: 55-92. [7]RICCI F,STEIN E M.Multiparameter singular integrals and maximal functions [J].Ann Inst Fourier (Grenoble),1992,42: 637-670. [8]STEIN E M.Harmonic analysis: real-variable methods,orthogonality and oscillatory integrals [M].Princeton: Princeton University Press,1993.1 定理的提出
1.1 單參數(shù)與多參數(shù)奇異積分算子理論簡介
1.2 主要定理
2 主要定理的證明
2.1 第一步 證明算子是L2(R2)上一致有界的
2.2 第二步，對緊支集光滑函數(shù)f，證明在Lp(R2)意義下收斂(1
2.3 第三步，證明算子T是Lp(R2)有界的(1
3 結(jié) 論
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