丁克華

【摘要】數(shù)與形是一對(duì)矛盾，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面，它滲透于中學(xué)教材之中，本文試從函數(shù)圖像和幾何圖形兩個(gè)方面，結(jié)合中學(xué)教材的實(shí)際情況，舉例說(shuō)明“以形助數(shù)”在解決問(wèn)題中的一些妙用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合オ

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.

1.利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

例1 設(shè)方程|x2-1|=k+1，試討論k取不同范圍的值時(shí)其不同解的個(gè)數(shù)的情況.圖 1

分析 我們可把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)y1=|x2-1|與y2=k+1圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，因函數(shù)y2=k+1表示平行于x軸的所有直線，如圖1，從圖像可以直觀看出.

解 ①當(dāng)k<-1時(shí)，y1與y2沒(méi)有交點(diǎn)，這時(shí)原方程無(wú)解；

②當(dāng)k=-1時(shí)，y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程有兩個(gè)不同的解；

③當(dāng)-1

④當(dāng)k=0時(shí)，y1與y2有三個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè)；

⑤當(dāng)k>0時(shí)，y1與y2有兩個(gè)交點(diǎn)，原方程不同解的個(gè)數(shù)有三個(gè).

點(diǎn)評(píng) 將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

2.求取值范圍

例2 方程2x-x2=k(x-2)+2在區(qū)間［0,2］上有解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

圖 2解 分別作出y1=2x-x2((x-1)2+y2=1(y≥0))與y2=﹌(x-2)的圖像，如圖2.

y1為圓心為(1,0)、半徑為1的上半圓，y2為過(guò)點(diǎn)(2,2)、斜率為k的直線.

當(dāng)圓與直線相切時(shí)，有|k(1-2)+2|[]1+k2=1，得k=3[]4，結(jié)合圖形知k∈3[]4,1為所求.

點(diǎn)評(píng) 加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識(shí)，做到腦中有圖，借助方程的曲線，將圖形性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到化難為易，起到事半功倍的效果.

3.解方程中的應(yīng)用

例3 已知x,y,z為正數(shù)，且x2+y2+xy=1,

z2+y2+zy=4,

x2+z2+xz=3,

求x+y+z的值.

解 注意到三個(gè)方程的結(jié)構(gòu)類似余弦定理(分別視“1”，“3”，“4”為“12”，“（3）2”，“22”），如a2=b2+c2-2bc玞os獳，只要分別令其中的兩邊夾角為120°即可,原方程組

為x2+y2-2xy玞os120°=12，(1)

z2+y2-2zy玞os120°=22，(2)

x2+z2-2xz玞os120°=(3)2，(3)

x,y,z>0.(4)

圖 3オオス乖焱夾危如圖3，注意到㏒△ABC=猄△AOB+S△BOC+S△COA，且〢B2+狝C2=BC2，∴△ABC是直角三角形，故1[]2×3×1=1[]23[]2xy+3[]2yz+3[]2xz,即

xy+yz+xz=2.(5)

把各方程相加，得2(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)=8.把(5)代入，解得

x2+y2+z2=3.（6）

又 (x+y+z)2=(x2+y2+z2)+2(xy+yz+xz)，ァ(x+y+z)2=3+2×2=7.

∵x,y,z>0，∴x+y+z=7.

點(diǎn)評(píng) 此題解法關(guān)鍵是求出x+y+z，若用純代數(shù)解法是極困難的，但構(gòu)造三角形運(yùn)用余弦定理便迎刃而解，充分體現(xiàn)了以平面圖形助數(shù)的實(shí)效性.

通過(guò)以上例題可看出，數(shù)形結(jié)合思想方法能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，其實(shí)質(zhì)就是“數(shù)中思形，以形助數(shù)”.它使很多代數(shù)問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.同學(xué)們平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，在做題中要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要做到“胸中有圖，見(jiàn)數(shù)思圖”，以開(kāi)拓自己的思維視野，從而提高自己的解題能力.