梁曉輝

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常會有“似曾相識”的感覺，而且在不同分支、不同領(lǐng)域中會感到某種類似的成分。如果我們把這些類似進(jìn)行比較并加以聯(lián)想的話，可能出現(xiàn)許多意想不到的結(jié)果和方法。這種把類似進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學(xué)對象已知特殊性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去，從而獲得另一個對象性質(zhì)的方法就是類比法。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教材特點(diǎn)運(yùn)用類比的方法，既可以提高課堂教學(xué)的效果，又有助于培養(yǎng)學(xué)生類比的能力。

一、分式與分?jǐn)?shù)的類比

首先，要用與分?jǐn)?shù)類比的方法導(dǎo)出分式概念、分式基本性質(zhì)與分式的四則運(yùn)算法則。一個分?jǐn)?shù)由分子、分母和分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分子、分母都是數(shù)，但分母不能是零。為什么分母不能為零呢？因?yàn)榱悴荒茏龀龜?shù)，如果分子等于零，只要分母不是零，這個分?jǐn)?shù)的值就是零。再把分?jǐn)?shù)的概念引申到代數(shù)式來，發(fā)現(xiàn)分式由分子、分母與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分母中含有字母，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著指出分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別所在：分?jǐn)?shù)與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在講分式的基本性質(zhì)時，先通過復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)來進(jìn)行推想。我們回憶如何做不同分母分?jǐn)?shù)的加法，是先將異分母化為同分母，這是根據(jù)什么呢？根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以(或除以)同一個不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，分式是一般化了的分?jǐn)?shù)，分式應(yīng)該有 ，這里A、B、M是整式，根據(jù)分式的概念要求，由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)應(yīng)該想到。因此，分式的基本性質(zhì)是分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變。此外，當(dāng)一個分?jǐn)?shù)的分子分母有公因數(shù)時，我們就可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)中分子分母中的公因數(shù)約去，從而成為最簡分?jǐn)?shù)。同理，由于分式也具有與分?jǐn)?shù)相似的基本性質(zhì)，所以我們也可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分式中分子分母中的公因式約去，化成最簡分式。（這個概念可由學(xué)生總結(jié)出）

第三，兩個分?jǐn)?shù)相乘時，分子乘分子，分母乘分母；兩個分式相乘時，也應(yīng)該分子乘分子，分母乘分母，除去一個分?jǐn)?shù)等于乘以這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。同理，除以一個分式時，也應(yīng)乘以這個分式的倒數(shù)。兩個同分母分?jǐn)?shù)相加減時，分母不變，分子相加減；同分母分式相加減時，分母不變，分子相加減。異分母分?jǐn)?shù)相加減時，要先進(jìn)行通分，化成同分母分?jǐn)?shù)后再加減；異分母分式相加減時，也要先進(jìn)行通分，化成同分母分式，然后再加減。分?jǐn)?shù)通分時，要先找各分母的最小公倍數(shù)，分式通分時，也要先找分母的最簡公分母。在解整式方程式時（特別是含有分母時），一般要先經(jīng)過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化1的過程，那么在解分式方程式，也要用以上方法去解。

二、實(shí)數(shù)和代數(shù)式的類比

首先是分類的類比，實(shí)數(shù)分成有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分成正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)；代數(shù)式分成有理式和無理式，有理式分成整式和分式，整式分成單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。其次是實(shí)數(shù)與整式在各自的運(yùn)算律以及添括號、去括號法則等都是可以類比的，特別是在有理數(shù)乘法分配律中。當(dāng)a(b+c)=ab+ac，a、b、c都換成單項(xiàng)式時，即可得出單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則；當(dāng)(a+b)÷c=(a+b)/c=a/c+b/c=a÷c+b÷c，其中的a、b、c都換成單項(xiàng)式時，即可以得出多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則；當(dāng)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中的a、b、c、d代表單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，即可以表示多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則。

三、等式和不等式的類比

在講解等式和不等式時，可以根據(jù)天平的功能類比出等式和不等式的性質(zhì)。

天平的杠桿相當(dāng)于等號和不等號，天平的左盤和右盤相當(dāng)于等式和不等式的左邊和右邊。當(dāng)天平的兩邊分別增加和減少相同的質(zhì)量時，天平仍然平衡，即給等式兩邊同時加上或減去一個相同的數(shù)或代數(shù)式時，等式仍然成立。當(dāng)給天平的兩端同時擴(kuò)大或縮小相同的量時，天平兩端仍然平衡，即給等式的兩邊同時乘以或除以一個相同的數(shù)時，等式仍然成立。

當(dāng)天平傾斜時，給天平的兩端同時加上或減去一個相同的量時，天平的傾斜方向不變，即不等式具有性質(zhì)1。當(dāng)天平的兩端同時擴(kuò)大或縮小相同的數(shù)時，天平的傾斜方向仍不變，即不等式具有性質(zhì)2（對于負(fù)數(shù)另外考慮）。

四、一元一次方程和一元一次不等式的類比

首先，我們可以根據(jù)一元一次方程的概念類比推出一元一次不等式的概念，明確它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。其次，由于等式具有基本性質(zhì)1，所以我們解方程時可以移項(xiàng)。同理，由于不等式也具有與等式一樣的基本性質(zhì)1，所以在解不等式時，也可以移項(xiàng)。解法的一般步驟中前幾步都是一樣的，去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，包括最后一步的名稱都是一樣的：系數(shù)化為1 ，只不過由于等式和不等式在性質(zhì)上的一個差別：兩邊除以同一個負(fù)數(shù)時，等式不變，而不等式的符號就要改變方向，才導(dǎo)致方程和不等式在最后一步上的不同。我們在教學(xué)中牢牢抓住這個不同，對學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化，就會幫助學(xué)生正確掌握一元一次不等式的解法。同樣，在解方程組時，是求方程組中幾個方程的公共解，在解不等式組時，也是求不等式組內(nèi)幾個不等式的公共解，這也是可以進(jìn)行類比的地方。

五、相似三角形與全等三角形的類比

相似三角形與全等三角形判斷方法有聯(lián)系。在相似與全等三角形的判定中，有關(guān)角的條件都是對應(yīng)角相等，有關(guān)邊的條件，全等三角形中是對應(yīng)邊相等，而相似三角形中是成比例，只要把全等三角形判定中的對應(yīng)邊相等改為對應(yīng)邊成比例，就相應(yīng)得到相似三角形的判定方法。全等三角形必須有一組對應(yīng)邊相等，而判定相似三角形時，可舍去此條件。

概念的區(qū)別。全等三角形是能夠完全重合的三角形。包括形狀相同，大小也相同兩個方面；相似三角形只是形狀相同而大小不一定相同。即只是對應(yīng)角相等，而對應(yīng)邊成比例，當(dāng)對應(yīng)邊的比值等于1時，就全等，因此全等三角形是相似三角形的特例。掌握它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，問題就迎刃而解。

因此，類比聯(lián)想在解決問題中有著廣泛的作用，同樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中采用類比教學(xué)可以梳理知識、歸納題型、總結(jié)解題方法，既利于學(xué)生記憶和掌握所學(xué)知識，又有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維的靈活性。在課堂上，運(yùn)用類比教學(xué)，可以節(jié)省大量的時間，鮮明地區(qū)分兩個相似知識的異同，更加有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我將在實(shí)踐中更加合理地加以運(yùn)用和提高。