孫廣彪 鄭軍

【摘 要】 金融風險管理者最關(guān)注的是VaR技術(shù)的精度，目的就是通過構(gòu)造VaR的置信區(qū)間和期望損失預(yù)測來評估常見的動態(tài)模型的精度，并量化誤差的大小。要構(gòu)造合適的置信區(qū)間，關(guān)鍵問題在于解決投資收益條件方差的動態(tài)行為。文章通過構(gòu)造VaR的預(yù)測區(qū)間和期望損失來評估常見的動態(tài)模型的精度，并量化誤差的大小，通過Monte Carlo方法來提供定量依據(jù)。它不僅可以作為金融機構(gòu)評估和管理個別資產(chǎn)或資產(chǎn)組合市場風險的工具，而且可以作為金融監(jiān)管部門監(jiān)管金融機構(gòu)和評估市場風險的重要手段。

【關(guān)鍵詞】 金融風險； 管理； VaR； 評估

一、關(guān)于VaR的介紹

風險價值模型（Value—at—Risk，VaR）是近年發(fā)展起來的用于測量和控制金融風險的量化模型。VaR技術(shù)越來越廣泛地用于投資組合風險計量、風險資本配置和績效評價。金融風險管理者當然最關(guān)注VaR技術(shù)的精確度。

VaR從統(tǒng)計的意義上講，本身是個數(shù)字，是指面臨“正?！钡氖袌霾▌訒r“處于風險狀態(tài)的價值”。即在給定的置信水平（通常是1%或5%）和一定的持有期限內(nèi)（通常是一天或一周），預(yù)期的最大損失量（可以是絕對值，也可以是相對值）。期望損失（Expected Shortfall，ES）指位于超出VaR損失的條件期望。VaR技術(shù)在度量尾部風險時是無用的，誤差較大。

本文寫作目的有兩方面：一是評估計算VaR和ES中產(chǎn)生的潛在損失；二是通過VaR和ES的置信區(qū)間來量化誤差的嚴重性。

Jorion和Pritsker考慮過VaR風險值的估計。但構(gòu)造合適的VaR和ES的置信區(qū)間，關(guān)鍵問題在于解決投資收益條件方差的動態(tài)行為，本文將運用著名的GARCH模型來量化這些動態(tài)行為。GARCH模型適用于波動性的分析和預(yù)測，已經(jīng)成為金融風險管理中的主力，在GARCH—VaR模型和ES預(yù)測中很少產(chǎn)生參數(shù)估計錯誤。

Pascual，Romo和Ruiz利用GARCH產(chǎn)生的時間序列獲得預(yù)測密度，提出了一個新的Bootstrap重采樣技術(shù)。本文發(fā)展了該重采樣技術(shù)，提出的重采樣技術(shù)相對來說更容易實現(xiàn)，并可擴展到多元風險模型。

二、模型的構(gòu)建和風險措施

本文對一個給定的金融資產(chǎn)或投資組合建立每日損失（負回報）的動態(tài)模型：

Lt=σtεt，t=1，…，T （1）

其中，εt是獨立同分布的，均值為0，方差為1，分布函數(shù)為G。這里考慮G為標準的Students t分布，自由度為d?！靓舤～t（d）為模擬波動動態(tài)，使用對稱的GARCH（1，1）模型，σ■■=ω+αL■■+βσ■■，其中α+β<1。需要說明的是，本文方法適用于更復(fù)雜的σ■■模型和其他εt分布。

本文關(guān)注損失分布的尾部情形，為此考慮兩個主流的風險措施：VaR技術(shù)和期望損失ES。前者簡單說就是損失分布的條件分位數(shù)，后者是超過VaR的那部分損失的期望。

已知T時期信息情況下，VaR以覆蓋率p度量T+1時期，用VaR■■表示這個正值：

Pr（LT+1>VaR■■■F■）=p （2）

這里FT表示在時間T可用的信息；p通常是一個小數(shù)字，如p=0.01或p=0.05。

類似，已知T時期信息情況下，ES以覆蓋率p度量T+1時期，用ES■■表示這個正值：

ES■■=E（LT+1■LT+1>VaR■■，F(xiàn)T） （3）

給定模型（1），可以得到VaR■■和ES■■的簡化的表達式：

VaR■■=σT+1G■■≡σT+1c1，p （4）

其中，G■■表示G的（1—p）分位數(shù)、標準損失分布εt=Lt/σt，σT+1是T+1時期的條件波動。例如，若G是標準正態(tài)分布Φ，p=0.05，則G■■=Φ■■=1.645，從而有VaR■■=1.645σT+1。在一般情況下，當ε～G，方程（4）表明，可以將VaR■■表示為σT+1和常數(shù)c1，p=G■■的乘積，其值取決于G和p。

類似地，給定模型（1）：

ES■■=σT+1E（ε■ε>G■■）

≡σT+1c2，p（5）

其中，ε是獨立同分布的隨機變量，均值為0，方差為1，分布函數(shù)為G。若ε～N（0，1），則對任意常數(shù)a，有E（ε■ε>a）=■，其中φ和Φ表示標準正態(tài)隨機變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)。此時有ES■■=σT+1■和c2，p

≡■。若ε服從標準的Students t分布，自由度為d，則c2，p由不同公式給出。為描述這個公式，令td服從標準的Students t分布，自由度為d，Andreev和Kanto給出，對任何常數(shù)a，有E（td■td>a）=（1+■）■■，其中f和F表示td的概率密度和累積密度函數(shù)。于是有：

c2，p≡E（ε■ε>G■■）=1+（■G■■）2/d■■■

其中，G■■是ε分布的（1—p）分位數(shù)。特別地，G■■=■t■■，其中t■■是td分布的（1—p）分位數(shù)。

實際上，無法計算VaR■■和ES■■的真實值，因為它們依賴于數(shù)據(jù)生成的過程（也就是說，它們依賴于G和條件方差模型σ■■）。因此，需要估計它們，從而估計風險。本文的最終目標就是要通過建立置信區(qū)間（或預(yù)測區(qū)間）來量化風險估計。

三、蒙特卡羅的結(jié)果

對GARCH方差預(yù)測，雖然可以考慮利用逼近思想例如三角方法來計算預(yù)測區(qū)間，但是在筆者所考慮的非參數(shù)模型中并不能直接計算VaR和ES的預(yù)測區(qū)間，甚至在參數(shù)情況下，這種三角逼近的方法也有可能比重采樣方法差。下面通過構(gòu)造VaR的預(yù)測區(qū)間和期望損失ES來評估常見的動態(tài)模型的精度，并量化誤差的大小。通過蒙特卡羅（Monte Carlo）方法來提供定量依據(jù)，重點是GARCH模型下的時間變異風險的實際情況。

本文考慮三種不同的估計方法：

一是歷史模擬法（Historical Simulation）：下面稱為HS法，它利用損失的經(jīng)驗分布來計算VaR和ES。

二是正態(tài)條件分布（Normal Conditional Distribution）：下面稱為Normal法。

三是極值理論中的Hill估計方法（The Hill's estimates）：下面稱為Hill法。

（一）GARCH損失情況

現(xiàn)在考慮GARCH—t（d）數(shù)據(jù)生成過程（DGP）的四種情況。設(shè)α=0.10，ω=（202/252）*（1—α—β）。因此，無條件波動為每年20%。選擇如下四個參數(shù)：

1.Benchmark參數(shù)：β=0.80，d=8；

2.High Persistence參數(shù)：β=0.89，d=8；

3.Low Persistence參數(shù)：β=0.40，d=8；

4.Normal Distribution參數(shù)：β=0.80，d=500。

在Hill估計極值分布前，需要選擇一個截止點Tu，它定義了要估計的尾部指數(shù)參數(shù)極值的子樣本。為了挑選這個重要參數(shù)，從上述四個DGP參數(shù)來進行Monte Carlo模擬實驗，估計尾部指數(shù)的臨界值，并最終計算出為期一天的VaR和ES預(yù)測的結(jié)果偏差和均方根誤差（RMSE）。圖1和圖2顯示500和1 000的樣本估計總體的情況。

在這兩種情況下，選擇截斷點要符合極值子樣本的0.5%至10%的最大損失。圖1和圖2 的橫軸表示極值觀察量（超出500和1 000的數(shù)量），縱軸表示偏差和均方根誤差（RMSE）。從減少均方根誤差以實現(xiàn)偏差接近于零的角度來看，對這四個DGP，不管是VaR還是ES，2%的截止是合理的。

表1—表4給出了對應(yīng)上述四個DGP的蒙特卡羅結(jié)果。表1—表4的上半部分計算VaR，下半部分計算ES。表的左側(cè)給出了相應(yīng)風險的點估計，右側(cè)給出了基于Bootstrap法的VaR區(qū)間估計。對VaR和ES預(yù)測，考慮兩個估計樣本大小，T = {500，1 000}。在這些實驗中，點估計進行100 000次Monte Carlo計算。對Bootstrap置信區(qū)間，只進行5 000次Monte Carlo計算，每次帶有999次Bootstrap復(fù)制。

（二）VaR與ES的點預(yù)測

本文主要目的是給出VaR和ES的有限樣本的置信區(qū)間，首先來考慮各種模型準確預(yù)測風險的能力。VaR和ES的點預(yù)測結(jié)果見表1—表4左側(cè)的偏差和均方根誤差。

1.Benchmark參數(shù)情況

表1頂部給出樣本大小為T=500時，Benchmark DGP的VaR的結(jié)果。

首先考慮VaR估計的偏差，主要注意的是HS的向上偏差和Normal的向下偏差。后者是可以預(yù)料的，正態(tài)分布的尾部相對于1%的覆蓋率的確太小了，其他顯示的偏差都很小。對VaR估計的均方根誤差，HS最高且遠遠高于其他，而Hill要低得多。Normal的均方根誤差也比較低，如前所述，它有相當大的偏差。當增加樣本大小為1 000，表1顯示一般偏差變??；HS仍向上偏差，Normal仍向下偏差。在均方根誤差方面，Hill表現(xiàn)非常好。

下面來看ES點預(yù)測?？梢园l(fā)現(xiàn)Normal有非常大的向下偏差。與VaR結(jié)果進行比較，各種ES估計模型都有更大的均方根誤差。均方根誤差的增加部分緣于偏差的增加。

2.High Persistence參數(shù)情況

表2的上半部給出High Persistence的DGP的VaR結(jié)果。可以看到，結(jié)果類似于表1，但HS卻不同，HS現(xiàn)在偏差更大，均方根誤差已超過VaR真實值的50%，近似為2.71。Hill再次表現(xiàn)非常好。

表2的下半部給出High Persistence的DGP的ES結(jié)果?？梢钥吹剑Y(jié)果類似于表1，但HS不同。HS的偏差和均方根誤差都很大。

3.Low Persistence參數(shù)情況

表3的上半部給出Low Persistence的DGP的VaR結(jié)果。HS現(xiàn)在表現(xiàn)不錯，Hill再次表現(xiàn)非常好。

表3的下半部給出Low Persistence的DGP的ES結(jié)果。HS現(xiàn)在表現(xiàn)不錯。

4.Conditional Normal情況

表4的上半部給出Normal的DGP的VaR結(jié)果。和表1中相比，偏差和均方根誤差都相當小。HS仍舊表現(xiàn)較差，Normal表現(xiàn)非常好，Hill一直表現(xiàn)較好。

表4的下半部給出Normal的DGP的ES結(jié)果。和表1中相比，偏差和均方根誤差都相當小。ES模型的偏差和均方根誤差均與表4中VaR結(jié)果的偏差和均方根誤差相近。

（三）VaR和ES的Bootstrap預(yù)測區(qū)間

上面討論VaR和ES點預(yù)測的精度。現(xiàn)在討論VaR和ES的Bootstrap預(yù)測區(qū)間。也就是說，下面要評估各種方法的Bootstrap預(yù)測區(qū)間的能力。預(yù)測區(qū)間的結(jié)果在每個表的右側(cè)，給出了真實覆蓋率、置信區(qū)間的平均限值、置信區(qū)間平均寬度相對于VaR點預(yù)測的百分比。

1.Benchmark參數(shù)情況

再看表1頂部，相對于90%的覆蓋率而言，HS的覆蓋率非常低。此外，平均置信區(qū)間很寬。HS方法忽略了DGP在覆蓋率和寬度方面的動態(tài)。

在VaR方面，Normal與HS一樣不好，但Normal有更小的寬度。不幸的是Normal覆蓋率又過小。當增加樣本大小為1 000，HS覆蓋率變差。Normal覆蓋率變差，寬度較好。Hill有較好的覆蓋率和寬度。

下面來看ES的Bootstrap預(yù)測區(qū)間?？梢园l(fā)現(xiàn)HS有較低的覆蓋率，置信區(qū)間很寬。Hill有最好的覆蓋率但是又很寬。

從表1整體來看，Hill覆蓋率較好，而HS、Normal的覆蓋率差。Hill比較可取，一般來說它ES的覆蓋率比VaR的覆蓋率要差點。

2.High Persistence參數(shù)情況

先看表2上部的VaR結(jié)果。相較于表2中的Benchmark情況，HS覆蓋率變差（低），寬度變差（寬）。Normal覆蓋率更好。

表2底部的ES的結(jié)果。比較表3中的VaR和ES的結(jié)果，可以看到ES比VaR的覆蓋率通常是更糟的。與表1中Benchmark情況的ES比較，HS覆蓋率更糟糕且寬度更差。Normal仍然覆蓋率很差。Hill有更好的覆蓋率但區(qū)間更寬。

3.Low Persistence參數(shù)情況

表3上部右側(cè)為VaR結(jié)果。HS模型具有更好的覆蓋率和稍好的寬度。Normal覆蓋率變差但寬度更好。Hill覆蓋率相近且寬度比以前更好。

表3下部為ES結(jié)果。HS表現(xiàn)更好。

4.Conditional Normal情況

比較表4和表1中的VaR，HS覆蓋率變差但寬度比以前低。Normal覆蓋率和寬度均更好。Hill寬度比以前更好。Hill模型比較可行。

表4下部為ES結(jié)果。此時覆蓋率一般都變好。HS和Normal比其他表現(xiàn)要差。Normal覆蓋率很好。

（四）結(jié)果概述

根據(jù)表1—表4的結(jié)果，可以得出結(jié)論，對VaR和ES估計，HS不僅在點估計方面差，而且有很差的置信區(qū)間，即使在波動的持久程度相對溫和時也是如此；Normal當正態(tài)假設(shè)接近真實時當然表現(xiàn)很好，否則就不行了。Hill的表現(xiàn)相當不錯，即使在有條件的正態(tài)分布。

一般情況下，計算ES的均方根誤差相比于VaR的均方根誤差要高得多（相對真實值）。因此，雖然在理論上ES會傳達更多的損失分布的尾部信息，但它難以準確估計。當討論兩個風險措施的優(yōu)點時要考慮這一點。

不幸的是，相較于VaR而言，很難在事前評估ES的準確度。

當Hill為VaR點估計90%的置信區(qū)間提供相當可靠的覆蓋率，但ES相應(yīng)的覆蓋率通常遠低于90%，因此是不可靠的。從一個保守風險管理者的角度來說，過度覆蓋不如低覆蓋。

四、結(jié)論

風險管理者和投資組合管理者躑躅于VaR估計的精度。量化點估計的精度可以使風險管理者做出更明智的決策。需要指出的是VaR 技術(shù)是一種非常復(fù)雜的方法，VaR計算方法的選用以及歷史數(shù)據(jù)的處理方式等都將顯著地影響到?jīng)Q策過程的復(fù)雜程度和最終的精度。本文采用VaR技術(shù)可以對選定的財務(wù)風險措施進行預(yù)測與分析，在今后的研究與實踐中，還需進一步將其他風險估計法的優(yōu)點綜合于VaR估計技術(shù)中?！?/p>

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