關(guān)秀翠，周建華

摘要：線性代數(shù)與解析幾何是大學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重要組成部分，由于其知識點(diǎn)繁多及具有抽象性和邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，很多學(xué)生認(rèn)為這是一門枯燥難學(xué)的課程。如何在第一堂課上讓學(xué)生認(rèn)同這門課并產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣呢？本文根據(jù)筆者多年來在教學(xué)實踐中的思考，介紹我們第一堂課六個方面的內(nèi)容：本課程的重要性、與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別、與“高等數(shù)學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別、課程的基本思想、主要內(nèi)容及學(xué)好本課程的關(guān)鍵。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；解析幾何；第一堂課；學(xué)習(xí)興趣；杜勒魔方

中圖分類號：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0076-03

線性代數(shù)與解析幾何是大學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的重要組成部分，相關(guān)課程是高等院校各專業(yè)重要的通識教育課程之一。隨著計算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，線性代數(shù)理論在科學(xué)研究、工程技術(shù)和社會經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的作用日益突出，因此對于本課程的學(xué)習(xí)成效很大程度上影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和實踐能力。由于課程具有知識點(diǎn)繁多以及抽象性和邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，很多學(xué)生認(rèn)為這是一門枯燥難學(xué)的課程，甚至對其龐大的研究對象——矩陣、向量空間等產(chǎn)生畏懼心理，更談不上喜歡這門課程。俗話說“好的開始是成功的一半”。每門課第一堂課的一個目的是要使學(xué)生對課程的概況有個初步的了解，而對于本課程來說，第一堂課尤其重要，這是因為線性代數(shù)與學(xué)生對數(shù)學(xué)已有的認(rèn)識有很大不同。首先是研究對象不再是單一的數(shù)，而是矩陣和向量這樣的高維數(shù)組；其次是所涉及的概念不再是直觀具體的，而是基于直觀的抽象；再則課程理論的表述與學(xué)生所熟悉的方式有很大差別。這些差別可能會成為學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，但是，如果能在第一堂課上處理好上述問題，反而可使學(xué)生更加認(rèn)同這門課并對課程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣。本文根據(jù)多年來在教學(xué)實踐中的思考，介紹我們第一堂課六個方面的內(nèi)容：課程的重要性、與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別、與“高等數(shù)學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別、課程的基本思想、主要內(nèi)容以及學(xué)好本課程的關(guān)鍵。

一、課程的重要性

1.眾多學(xué)科的廣泛基礎(chǔ)。線性代數(shù)是討論數(shù)學(xué)中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程。掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法，可以為解決理工醫(yī)管科各專業(yè)的實際問題奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。線性代數(shù)在經(jīng)濟(jì)、管理、運(yùn)籌學(xué)、社會學(xué)、人口學(xué)、遺傳學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。高校中許多專業(yè)的后繼課程都以此為基礎(chǔ)。尤其重要的是，很多工程領(lǐng)域的科學(xué)問題在離散數(shù)值求解時實際上就是一個線性方程組的求解問題。

2.數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練。本課程的教學(xué)目的不僅僅是講授課程的理論，更重要的是向?qū)W生傳授課程特有的思維方式，給予他們一種熏陶、訓(xùn)練和磨煉，這些素質(zhì)會使他們受益終生。

二、本課程與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別

現(xiàn)行中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教育有密切聯(lián)系，理念上又有很大差別，大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教師要在教學(xué)中發(fā)掘中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法的多種聯(lián)系與區(qū)別：大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課在知識上是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的延伸和拓展，思想方法上是中學(xué)數(shù)學(xué)的因襲和擴(kuò)張，觀念上是中學(xué)數(shù)學(xué)的深化和發(fā)展。換言之，很多大學(xué)課堂里貌似困難的新問題都可以在中學(xué)數(shù)學(xué)中找到原型。這些準(zhǔn)備工作可大大降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的畏難情緒，為實現(xiàn)學(xué)生由中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的平穩(wěn)過渡打下堅實的基礎(chǔ)。大學(xué)新生要完成兩個轉(zhuǎn)變。一是完成學(xué)習(xí)目的從“應(yīng)試”向“應(yīng)用”的轉(zhuǎn)變。當(dāng)今大學(xué)主要培養(yǎng)應(yīng)用型創(chuàng)新性人才已成為共識，這就要求學(xué)生能夠?qū)W(xué)到的理論知識應(yīng)用于實踐，提高自身觀察問題、分析問題和解決問題的實際能力，增強(qiáng)自己日后的就業(yè)資本和競爭能力。二是完成學(xué)習(xí)方式從“被動”向“主動”的轉(zhuǎn)變。在教學(xué)過程中，教師是施教的主體，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體。學(xué)習(xí)主體性是學(xué)生作為學(xué)習(xí)活動的主體所具有的獨(dú)立性、自覺能動性和創(chuàng)造性的內(nèi)在特性，它是學(xué)生主體得以確立的內(nèi)在依據(jù)和根本標(biāo)志。為配合學(xué)生的這兩個轉(zhuǎn)變，在第一堂課上應(yīng)該向?qū)W生講清楚本課程的考核方式。我們采用由期末成績、期中成績、平時成績、數(shù)學(xué)實驗、學(xué)術(shù)小論文等按一定比例構(gòu)成的綜合考核方式。這樣的考核更強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，教師應(yīng)該充分調(diào)動學(xué)生的積極性，指導(dǎo)學(xué)生合理分配時間。教師要起好引導(dǎo)作用，為學(xué)生創(chuàng)造好自學(xué)和討論的環(huán)境，并選取既能激發(fā)學(xué)生興趣又能開拓學(xué)生思維的題目作為思考題和學(xué)術(shù)小論文的選題。

三、本課程和“高等數(shù)學(xué)”的聯(lián)系與區(qū)別

一般來說，大一學(xué)生同期學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程是“代數(shù)與幾何”與“高等數(shù)學(xué)”，這兩門課既有聯(lián)系又有區(qū)別?？傮w而言，代數(shù)是數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，有序思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)計算與邏輯思維能力；幾何是空間形式的科學(xué)，視覺思維占主導(dǎo)，培養(yǎng)直覺能力和洞察力；分析是數(shù)形關(guān)系的科學(xué)，量變關(guān)系占主導(dǎo)，函數(shù)為對象、極限為工具，培養(yǎng)周密的邏輯思維能力和建模能力。這兩者的區(qū)別體現(xiàn)在多個方面?！案叩葦?shù)學(xué)”主要研究實數(shù)及關(guān)于實數(shù)的函數(shù)，側(cè)重于處理單變量的問題，“線性代數(shù)”則主要研究向量和矩陣，側(cè)重于處理高維對象的問題?！案叩葦?shù)學(xué)”所涉及的數(shù)量是連續(xù)型的，“線性代數(shù)”所涉及的數(shù)量是離散型的，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展使得處理離散型關(guān)系數(shù)學(xué)理論的重要性日益突出?！案叩葦?shù)學(xué)”中諸如導(dǎo)數(shù)、積分等重要概念直接來自幾何，其許多理論也可以直接用來刻畫幾何現(xiàn)象，而線性代數(shù)中諸如n維向量及其線性相關(guān)性等重要概念只是借助幾何為之提供直觀，其中大部分都是借助這一直觀經(jīng)過提煉抽象出來的，這就使得線性代數(shù)的理論更具抽象性?！案叩葦?shù)學(xué)”重數(shù)學(xué)原理的分析，“代數(shù)與幾何”則更側(cè)重于建立分析問題的框架。

四、“線性代數(shù)與解析幾何”的基本思想

1.解析幾何的基本思想——從笛卡爾的解析幾何與古典幾何作圖的三大難題談起。法國的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾（Descartes）引進(jìn)了直角坐標(biāo)系，創(chuàng)立了用代數(shù)方法研究幾何問題的解析幾何學(xué)。直角坐標(biāo)系的偉大功績是實現(xiàn)了兩個幾何與代數(shù)之間的一一對應(yīng)：平面上的每一個點(diǎn)P與一對有序?qū)崝?shù)（x，y）之間的一一對應(yīng)；動點(diǎn)的軌跡產(chǎn)生一條曲線與一個含有兩個變量的方程之間的一一對應(yīng)。從此，解析幾何揭開了變量數(shù)學(xué)也即近代數(shù)學(xué)的新篇章。解析幾何的一個成功的例子是解決了古典幾何作圖的三大難題。幾千年以來，許多卓越的數(shù)學(xué)家都未能解決這三大難題，既不能找到它的解答，又不能證明它的不可行性。然而，解析幾何僅通過提出并從代數(shù)的角度回答了三個問題就輕而易舉地解決了這些難題，將幾何作圖的本質(zhì)歸結(jié)為求一系列二元一次或二元二次圓方程的根；將幾何作圖有解的充要條件歸結(jié)為這些方程組的根一定可以由原方程的系數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除及開平方這5種運(yùn)算表示。經(jīng)檢驗三大難題都不滿足這個充要條件，從而解析幾何用這精彩的三問將困擾數(shù)學(xué)家?guī)浊甑娜箅y題化解在無形之中，展現(xiàn)了解析幾何在解決該問題時的科學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，呈現(xiàn)了新的思維方式，即將一類問題作為一個整體加以考察，而不是對每個問題單獨(dú)進(jìn)行研究。通過大一新生熟悉的平面解析幾何知識來揭示解析幾何的基本思想，將使學(xué)生認(rèn)識到用代數(shù)方法研究幾何問題的重要作用，從而激起學(xué)生學(xué)習(xí)空間解析幾何的欲望。

2.線性代數(shù)的基本思想——從兩個游戲談起。①從動物連連看談等價分類。學(xué)生喜愛的一些游戲的設(shè)計思想與線性代數(shù)的思想本質(zhì)上是吻合的。例如，動物連連看游戲蘊(yùn)含著等價分類的思想。雖然現(xiàn)在大多連連看游戲都只是將完全一樣的動物頭像連起來消掉，但只要將游戲規(guī)則改為將同一種類動物連起來消掉就是等價分類。從理論上看，線性代數(shù)的一個重要的任務(wù)就是將矩陣不同的等價關(guān)系進(jìn)行分類，這些等價關(guān)系主要是指矩陣間的相抵關(guān)系、相似關(guān)系和相合關(guān)系。這些分類方法的共同特征就是找出相應(yīng)的不變量和最簡形式。這就揭示了線性代數(shù)的一個重要思想——化繁為簡。②從數(shù)獨(dú)游戲談向量空間。數(shù)獨(dú)游戲是學(xué)生非常喜歡的數(shù)學(xué)智力游戲。數(shù)獨(dú)游戲又稱數(shù)字九宮格，即3格寬3格高的正方形，每一格又細(xì)分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上數(shù)字1至9，讓整個大九宮格每一列、每一行的數(shù)字都不重復(fù)。不妨嘗試解析幾何帶來的新思維方式：將一類問題作為一個整體加以考察。下面以杜勒魔方為例來闡述其主要思想。杜勒魔方是指一個4×4數(shù)字方滿足每行、每列、每一對角線、每一個小方塊上的數(shù)字和相等且是一確定數(shù)。作為例子，不難構(gòu)造如下兩個杜勒魔方：

我們不禁要問：杜勒魔方一共有多少個？如何構(gòu)造所有的杜勒魔方呢？容易看到任意兩個杜勒魔方的和仍是一個杜勒魔方；任意一個杜勒魔方的任意數(shù)乘還是一個杜勒魔方。因此，如果杜勒魔方的元素允許取任意實數(shù)，且將每個杜勒魔方元素首尾相接構(gòu)成一個16維列向量，那么所有杜勒魔方的集合就構(gòu)成了一個向量空間。從而，上述兩個問題就不難回答了：杜勒魔方有無數(shù)多個，只要構(gòu)造杜勒魔方空間的一組基就可得到所有的杜勒魔方。杜勒魔方的魅力還不僅僅局限于引出向量空間和基的概念，它還可以在以后的課堂教學(xué)中引領(lǐng)我們揭示線性代數(shù)一個又一個的抽象概念：基于化繁為簡的思想，構(gòu)造由0，1構(gòu)成的和為1的八個基本杜勒魔方，但它們線性相關(guān)，而去掉任何一個就是線性無關(guān)的，從而找到了7維杜勒魔方空間的一組基；當(dāng)增強(qiáng)或者放松杜勒魔方中“和相等”的限制條件時，就可得到向量空間的子空間和擴(kuò)張。用學(xué)生喜愛的游戲來揭示線性代數(shù)的基本思想——等價分類和化繁為簡，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神奇，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。我們在課堂教學(xué)中的這一嘗試收到了很好的效果。

3.線性代數(shù)與解析幾何的聯(lián)系——從勾股定理說起。解析幾何為線性代數(shù)提供幾何直觀，許多線性代數(shù)的概念和方法都有其幾何原形。比如說，勾股定理是一個眾所周知的幾何特征，其實在n維空間中，結(jié)論仍然成立，即當(dāng)n維向量α，β垂直時，有||α±β||2=||α||2+||β||2。在實踐中常用的最小二乘法就是建立在此基礎(chǔ)上的。線性代數(shù)也為解析幾何提供代數(shù)方法。比如說，平面上的二次曲線和空間中的二次曲面的分類在幾何上是比較困難的問題，但是，如果借助于代數(shù)上矩陣的特征值和二次型的慣性定理，該問題就可以輕松圓滿地獲得解決。

五、本課程的主要內(nèi)容

“線性代數(shù)與解析幾何”的主要內(nèi)容顧名思義分為線性代數(shù)和解析幾何兩部分，但是不同教材講授的內(nèi)容不盡相同，講授順序也各有差別，這里僅以教材為例介紹內(nèi)容。線性代數(shù)的核心工具是初等變換，主要任務(wù)是求解線性方程組，為此要研究各個方程之間的關(guān)系；每一個方程對應(yīng)一個向量，因此要研究向量組的線性相關(guān)性、極大無關(guān)組和秩以及向量空間的基和維數(shù)；一個向量組構(gòu)成一個矩陣，又要研究矩陣的各種運(yùn)算，矩陣中行列數(shù)相等的方陣還有一個特殊的行列式運(yùn)算，因此最先研究的應(yīng)該是行列式的各種性質(zhì)和計算。知識點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣，而學(xué)習(xí)的過程要按照上述從后向前的順序進(jìn)行。線性方程組的一個主要應(yīng)用就是計算方陣的特征值和特征向量，從而研究方陣的相似對角化問題?？臻g解析幾何包括用代數(shù)方法研究三維空間的直線、平面和二次曲面。基于向量的數(shù)量積、向量積和混合積，可以得到直線、平面的各種方程，并能研究直線、平面間的夾角、距離等位置關(guān)系；基于實對稱矩陣的合同關(guān)系的等價分類，通過可逆線性變換特別是正交變換將一般二次曲面轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形，從而判別二次曲面的類型。課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)是向量組的線性相關(guān)性、極大無關(guān)組；矩陣的秩；向量空間的基和維數(shù)；二次曲面的類型判別等。

六、學(xué)好本課程的關(guān)鍵

學(xué)好本課程的關(guān)鍵是要解決學(xué)什么及怎樣學(xué)的問題。學(xué)什么？課程知識是一個方面，更重要的是課程帶給我們的數(shù)學(xué)思維方式以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識和能力。在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)力求弄清知識產(chǎn)生的背景和課程內(nèi)容前后的聯(lián)系，增強(qiáng)知識的整體感、系統(tǒng)性和連貫性，以免淹沒在知識點(diǎn)的海洋之中。怎么學(xué)？第一掌握三基，即基本概念（定義、符號）、基本理論（定理、公式）、基本方法（計算、證明）；第二做好預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)，課上體會思路，課下學(xué)會總結(jié)；第三多看多練多想，深入體會思想方法，提高邏輯思維能力；第四培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力、獨(dú)立分析問題和解決問題的能力。要做好教學(xué)工作，需要我們在各個環(huán)節(jié)上認(rèn)真細(xì)致的努力，作為其中一環(huán)，第一堂課的成功與否對整個課程教學(xué)有直接的影響。這幾年的教學(xué)實踐讓我們越來越感受到努力的成效?，F(xiàn)在，常有學(xué)生告訴我們這樣的話，“原本以為這是一門比較枯燥的課程，但是在第一堂課上的杜勒魔方和連連看的例子徹底顛覆了我們原有的認(rèn)識，原來看似單調(diào)的矩陣?yán)镆彩且粋€數(shù)字的舞臺，在其中向我們展示著數(shù)學(xué)神奇的魔力，也因此對這門課程產(chǎn)生了濃厚的興趣”。

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基金項目：國家精品課程《線性代數(shù)與解析幾何》建設(shè)項目，東南大學(xué)優(yōu)秀青年教師教學(xué)科研資助計劃（3207011202）

作者簡介：關(guān)秀翠（1974.7-），女，河北唐山，博士，副教授，主要從事運(yùn)籌優(yōu)化的研究工作；周建華（1962.7-），男，江蘇宜興，博士，教授，主要從事李代數(shù)的研究工作。