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帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)類型

2012-04-29 18:17:35高文平
高中生學(xué)習(xí)·高二版 2012年4期
關(guān)鍵詞:強(qiáng)磁場(chǎng)擋板微粒

高文平

一、復(fù)合場(chǎng)中的極值問題

例1如圖1,第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)[E=]0.5×103V/m與勻強(qiáng)磁場(chǎng)[B1=]0.5T. 在第一象限的某個(gè)矩形區(qū)域內(nèi),有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)[B2],磁場(chǎng)的下邊界與[x]軸重合.一質(zhì)量[m=]1×10-14kg、電荷量[q=]1×10-10C的帶正電微粒以某一速度[v]沿與[y]軸正方向60°從[M]點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)[P]點(diǎn)即進(jìn)入處于第一象限內(nèi)的磁場(chǎng)[B2]區(qū)域.一段時(shí)間后,小球經(jīng)過[y]軸上的[N]點(diǎn)并與[y]軸正方向成60°的方向飛出.[M]點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-10),[N]點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,30),不計(jì)粒子重力,[g]取10m/s2.

圖1

(1)判斷勻強(qiáng)電場(chǎng)[E]的方向,并求微粒的運(yùn)動(dòng)速度[v];

(2)勻強(qiáng)磁場(chǎng)[B2]的大小為多大?

(3)磁場(chǎng)區(qū)域[B2]的最小面積為多少?

解析(1)由于重力忽略不計(jì),微粒在第四象限內(nèi)僅受洛倫茲力和電場(chǎng)力,且做直線運(yùn)動(dòng).因速度的變化會(huì)引起洛倫茲力的變化,微粒必做勻速直線運(yùn)動(dòng).這樣,電場(chǎng)力和洛倫茲力大小相等,方向相反,電場(chǎng)[E]的方向與微粒運(yùn)動(dòng)的方向垂直,即與[y]軸負(fù)方向成30°角斜向下.

由力的平衡,有[qE=qvB1]

得[v=EB1=0.5×1030.5=]103m/s

(2)畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡,將[P]點(diǎn)速度的延長(zhǎng)線及[D]點(diǎn)速度反向延長(zhǎng)線相交于[E]點(diǎn),可知性[△MEN]為等邊三角形,[P]為[ME]中點(diǎn),[NP]為中垂線,如圖2.

圖2

由幾何關(guān)系,知微粒在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑[O1P=13NP]=[R=315m]

微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供,有

[qB2v=mv2R]

解得[B2=32]T

(3)由圖可知,勻強(qiáng)磁場(chǎng)[B2]的最小區(qū)域應(yīng)該分布在矩形[PACD]內(nèi).由幾何關(guān)系,有

[PD=2Rsin60°=0.2m]

[PA=R(1-cos60°)=330m]

所求磁場(chǎng)的最小面積

[S=PD?PA=15×330=3150m2]

點(diǎn)撥由于帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的受力情況復(fù)雜,運(yùn)動(dòng)情況多變,往往出現(xiàn)臨界問題,這時(shí)應(yīng)以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等為突破口,挖掘隱含條件,并根據(jù)臨界條件列出輔助方程,再與其它方程聯(lián)立求解.此外特別要注意規(guī)范作圖.

二、復(fù)合場(chǎng)中的對(duì)稱性問題

例2如圖3,空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng).左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為[E],方向水平向右,電場(chǎng)寬度為[L];中間和右側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度均為[B],方向垂直紙面向里.一個(gè)質(zhì)量為[m]、電量為[q]、不計(jì)重力的帶正電粒子從電場(chǎng)的左邊緣的[O]點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng),穿過中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后,又回到[O]點(diǎn),然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過程. 求:

圖3

(1)中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度[d];

(2)帶電粒子從[O]點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到[O]點(diǎn)所用的時(shí)間[t].

解析(1)帶電粒子在電場(chǎng)中加速,設(shè)以速度[v]進(jìn)入磁場(chǎng),由動(dòng)能定理,有

[qEL=12mv2]

在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn),由牛頓第二定律,有[Bqv=mv2R]

由以上兩式,得[R=1B2mELq]

粒子在兩磁場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)半徑相同,如圖4. 三段圓弧的圓心組成的三角形[△O1O2O3]是等邊三角形,邊長(zhǎng)為[2R]. 則中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為

[d=Rsin600=12B6mELq]

圖4

(2)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

[t1=2va=2mvqE=22mLqE]

在中間磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[t2=T3=2πm3qB]

在右側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[t3=56T=5πm3qB]

則粒子第一次回到O點(diǎn)所用的時(shí)間為

[t=t1+t2+t3=22mLqE+7πm3qB]

點(diǎn)撥先分清幾個(gè)過程——粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng),進(jìn)入中間磁場(chǎng)后偏轉(zhuǎn),再進(jìn)入右邊磁場(chǎng)反向偏轉(zhuǎn),又進(jìn)入中間磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn),再返回電場(chǎng)回到起點(diǎn). 依次畫出軌跡圖,依據(jù)對(duì)稱性可證明,三段圓弧的圓心組成了一個(gè)正三角形,則各段圓弧的圓心角確定.

三、復(fù)合場(chǎng)中的周期性問題

例3如圖5甲,豎直擋板[MN]的左側(cè)空間有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)和磁場(chǎng)的范圍足夠大,電場(chǎng)強(qiáng)度[E=]40N/C,磁感應(yīng)強(qiáng)度[B]隨時(shí)間[t]變化的關(guān)系圖象如圖5乙,選定磁場(chǎng)垂直紙面向里為正方向.在[t=]0時(shí)刻,一質(zhì)量[m=]8×10-4kg、帶電荷量[q=]+2×10-4C的微粒在[O]點(diǎn)具有豎直向下的速度[v=]0.12m/s,[O′]是擋板[MN]上一點(diǎn),直線[OO′]與擋板[MN]垂直,取[g=]10m/s2.求:

[甲乙]

圖5

(1)微粒下一次經(jīng)過直線[OO′]時(shí)到[O]點(diǎn)的距離;

(2)微粒在運(yùn)動(dòng)過程中離開直線[OO′]的最大距離;

(3)水平移動(dòng)擋板,使微粒能垂直射到擋板上,擋板與[O]點(diǎn)間的距離應(yīng)滿足什么條件.

解析(1)微粒所受重力[G=mg=]8×10-3N

電場(chǎng)力[F=Eq=]8×10-3N

重力與電場(chǎng)力平衡,則微粒先在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng),有

[qvB=mv2R ]

解得[R=mvqB=0.6 m]

由[T=2πRv],解得[T=10πs]

則微粒在5πs內(nèi)轉(zhuǎn)過半個(gè)圓周,再次經(jīng)直線[OO′]時(shí)與[O]點(diǎn)的距離[l=2R=1.2m]

(2)微粒運(yùn)動(dòng)半周后向上勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間[t=]5πs,軌跡如圖6.

圖6

位移大小[x=vt=]0.6πm=1.88m

微粒離開直線[OO′]的最大距離[h=x+R=]2.48m

(3)若微粒能垂直射到擋板上的某點(diǎn)[P],[P]點(diǎn)在直線[OO′]下方時(shí),擋板[MN]與[O]點(diǎn)間的距離應(yīng)滿足

[L=(4n+1)×0.6m(n=0,1,2…) ]

若微粒能垂直射到擋板上的某點(diǎn)[P,P]點(diǎn)在直線[OO′]上方時(shí),擋板[MN]與[O]點(diǎn)間的距離應(yīng)滿足

[L=(4n+3)×0.6m (n=0,1,2…) ]

點(diǎn)撥解決復(fù)合場(chǎng)中的問題,與力學(xué)中的問題類似,也可以依據(jù)動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)或動(dòng)量能量觀點(diǎn).注意受力分析和運(yùn)動(dòng)分析要結(jié)合起來,粒子的電性、重力是否考慮,粒子作直線、曲線、圓周運(yùn)動(dòng)的條件也要清楚.

四、復(fù)合場(chǎng)中的數(shù)理結(jié)合問題

例4如圖7,在坐標(biāo)系[xOy]的第一象限中存在沿[y]軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)為[E]. 在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂直于紙面向里. [A]是[y]軸上的一點(diǎn),它到坐標(biāo)原點(diǎn)[O]的距離為[h];[C]是[x]軸上的一點(diǎn),到[O]的距離為[l].一質(zhì)量為[m]、電荷量為[q]的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿[x]軸方向從[A]點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域,繼而通過[C]點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域,并再次通過[A]點(diǎn),此時(shí)速度方向與[y]軸正方向成銳角. 不計(jì)重力作用,求:

(1)粒子經(jīng)過[C]點(diǎn)速度的大小和方向;

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小[B].

圖7

解析(1) 以[a]表示粒子在電場(chǎng)作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度,有[qE=ma],加速度沿[y]軸負(fù)方向

設(shè)粒子從[A]點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的初速度為[v0],由[A]點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到[C]點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為[t],有[x=v0t=ly=12at2=h]

由以上幾式,得[v0=la2h]

設(shè)粒子從[C]點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為[v],[v]垂直于[x]軸的分量,有[vx=v0vy=at=2ah]

綜合得到[v=v2x+v2y=qE(4h2+l2)2mh]

如圖8,畫出粒子運(yùn)行軌跡. 設(shè)粒子經(jīng)過[C]點(diǎn)時(shí)的速度方向與[x]軸的夾角為[α],有

[tanα=vyvx=][hl2=2hl]

則[α=arctan2hl]

圖8

(2)粒子經(jīng)過[C]點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做速率為[v]的圓周運(yùn)動(dòng).若圓周的半徑為[R],有[qvB=mv2R]

設(shè)圓心為[P],則[PC]必與過[C]點(diǎn)的速度垂直,且有[PC][=PA=P],用[β]表示[PA] 與[y]軸的夾角,由幾何關(guān)系,有[Rcosβ=Rcosα+hRsinβ=l-Rsinα]

解得[R=h2+l22hl4h2+l2B=1h2+l22mhEq]

點(diǎn)撥電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)和磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)是復(fù)合場(chǎng)中的常見運(yùn)動(dòng)形式,求解中常用到數(shù)學(xué)方法,對(duì)幾何作圖和運(yùn)算能力要求較高. 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題,難在受力情況和運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的判斷.要做好以下三點(diǎn):①分析受力;②掌握不同場(chǎng)對(duì)粒子作用的特點(diǎn);③分析運(yùn)動(dòng)過程,發(fā)掘隱含條件,建立物理情景,把物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式.

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