許文

一、經典再現

如圖1，從豎直圓環(huán)的最高點[A]向圓環(huán)內作多條不同的光滑的弦軌道，證明：一小物體從[A]點自靜止開始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環(huán)上所用時間相等.

圖1

證明設圓的半徑為[R]，某一條弦軌道的水平傾角為[α]. 則該軌道的長度[s=2Rsinα]，由牛頓運動定律，知小物體在該弦軌道上無摩擦地下滑時加速度大小為[a=gsinα]，其下滑的時間為[t].

由[s=12at2]，得[t=2Rg]（與[α]無關），即小物體從[A]點自靜止開始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環(huán)上所用時間相等.

二、創(chuàng)新演變

對經典習題進行創(chuàng)新演變，是一種創(chuàng)造性思維，是使思維成果具有新奇性、獨立性、目的性和價值性的思維活動. 創(chuàng)新思維包括兩個方面：一是重新安排與組合、遷移與應用已有的知識，創(chuàng)造出新的知識和形象；二是突破已有的知識提出新的見解、設想、思路、方法和觀點等.

例1在距山坡底端[l=]10m處的[O]點豎直立一直桿，桿長為[h=]10m. 從桿頂到坡的底端拉緊一條光滑的細繩（如圖2）. 求一個小環(huán)套在細繩上從桿的頂端靜止開始滑到坡的底端所用時間. （[g]取10m/s2）

圖2圖3

解析如圖3，作出以[O]點為圓心、[h]為半徑的圓. 由于[h=l]，此圓應過山坡的底端. 由等時圓的結論知，小環(huán)從桿頂沿細繩靜止滑到坡底的時間應與從圓的最高點（即桿頂）沿圓的豎直直徑自由下落到的另一端的時間相等. 即[2h=12gt2]，可得[t=2s].

例2如圖4，傾角為[α]的斜面外有一定點[A]，從[A]點在同一豎直平面內作多條直軌道，一個小物體從[A]點靜止出發(fā)分別沿這些軌道無摩擦地下滑到斜面上，求所用時間最短的軌道與豎直方向的夾角[β].

圖4 圖5

解析以[A]點為最高點作一與斜面相切的圓，如圖5，切點[B]與[A]點的連線即為小物體從[A]點靜止開始滑到斜面上所用時間最短的軌道. 設圓心在過[A]點的豎直線上[O]點，連[BO]，由幾何知識可得[β=α2.]

例3豎直圓周內有三條光滑直桿[AD、BD、CD]，其水平傾角分別為[30°]、[60°]、[90°]，如圖6. 一個小環(huán)分別從[A、B、C]靜止開始沿三條直桿下滑到[D]點所用時間分別為[t1、t2、t3]. 則（ ） 圖6圖7

A．[t1>t2>t3] B．[t1

C．[t1=t2=t3] D．[t2>t1>t3]

解析以[D]點為最低點，在豎直平面內分別作過點[A、B ]的圓，與過[D]點的豎直線分別交于點[A′]、[B′]，如圖9. 小物體靜止開始從[A]點沿[AD]滑到[D]點的時間與從[A′]點自由下落到D點的時間相等；同理小物體從[B]點到[D]點時間與從[B′]自由下落到[D]點時間相等. 故有[t1>t2>t3].

答案A

例4如圖8，[A]點為豎直圓的最低點，從圓上[O]點作[OA、OB]兩條光滑直軌道，一小物體自[O]點分別沿[OA、OB]兩軌道下滑到圓上[A、B]兩點的時間為[tA、tB]. 則（ ）

圖8 圖9圖10

A．[tA=tB] B．[tA>tB]

C．[tA

解析解法1，如圖9，過[A]點作[AO1]平行且等于[BO]，則[tB]等于小物體從[O1]點靜止沿[O1A]滑到[A]點的時間，故有[tA

解法2，如圖10，作以[O]點為最高點且過[A]點的圓與[OB]交于[B1]點. 則[tA]等于小物體從[O]點靜止沿[OB1]滑到[B1]點的時間，故有[tA

答案 C

例5如圖11，豎直平面內一定圓[O]與水平地面相切于[M]點，圓外定點[A]與圓在同一豎直平面內. 從[A]點作四條光滑直軌道到圓上，其中軌道[AC]過圓心[O]，軌道[AB、AE]是圓的切線，軌道[AD]過地面切點[M]. 一個小物體從[A]點靜止開始分別沿軌道[AB]、[AC]、[AD]、[AE]滑到圓上，所用時間最短的是（ ）

圖11圖12

A．[AB]B．[AC]C．[AD]D．[AE]

解析解法1，如圖12，從[A]點向圓作任意一條光滑軌道與圓交于[P、Q]，此軌道的水平傾角為[α]，設軌道豎直高度[AF=h]，則小物體從[A]點靜止開始沿此光滑軌道下滑到[P]點時間

[t=2APgsinα=2APgh/AQ=2AP?AQgh=2AB2gh]

由于[AB]為定值，欲使[t]最小，則[h]應最大. 當[h]最大時，[Q]點應與[M]點重合. 即物體沿[AD]軌跡滑到圓上，所用時間最短.

圖13

解法2，如圖13，設固定圓的半徑為[R]，過[A]點作豎直線[AG]，在[AG]上取[AC=R]，連[OC]，作[OC]的垂直平分線交[AG]于[O1]，以[O1]為圓心、以[O1A]為半徑作圓與固定圓外切于[D]點，連[AD]. 可以證明[AD]的延長線通過[M]點.

答案C

點撥習題訓練是同學們掌握知識、培養(yǎng)思維、提高能力的重要環(huán)節(jié). 對經典習題的創(chuàng)新演變應具有實踐性、新穎性、靈活性、綜合性特點，有利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng). 對經典習題充分討論，進行一題多解、一題多變、一題多思，展示分析問題的思維過程，有利于總結思維方法，提高創(chuàng)新思維能力.