金穎 段丹華
在研究大量的中考數學試題的過程中,讓我真正的感受到深入研究一道題對老師、對學生的價值. 下面僅就2008年泰州市中考數學試題第25題的研究過程,看一道題的發(fā)生和發(fā)展,也許會給大家一點啟示和借鑒.
1. 試題呈現
2008年5月12日14時28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級強烈地震.某市接到上級通知,立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點480千米的災區(qū).乙組由于要攜帶一些救災物資,比甲組晚出發(fā)1.25小時(從甲組出發(fā)時開始計時).圖1中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲(千米)、y乙(千米)與時間x(小時)之間的函數關系對應的圖像.請根據圖像所提供的信息,解決下列問題:
(1)由于汽車發(fā)生故障,甲組在途中停留了小時;
(2)甲組的汽車排除故障后,立即提速趕往災區(qū).請問:甲組的汽車在排除故障時,距出發(fā)點的路程是多少千米?
(3)為了保證及時聯(lián)絡,甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過25千米,請通過計算說明,按圖像所表示的走法是否符合約定.
試題分析
此題是2008年泰州的中考試題,主要是利用圖像提供的信息解決行程問題. 行程問題反映的是路程、時間和速度的關系問題. 它具有一定的典型性、示范性和遷移性,有較高的應用價值. 類比上述問題我們可以將其改編成研究工作量、工作時間和工作效率的問題. 所以將上述問題改編成如下試題.
2. 試題變式1
甲、乙兩個小組進行工作,他們的總工作量是480件,甲組人員到齊就開工,乙組人員到齊比甲組晚1.25小時開始工作,圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的工作量y甲、y乙與時間x(小時)之間的函數圖像如圖2所示.請根據圖像所提供的信息,解決下列問題:
(1)解釋AB線段的實際意義 .
(2)求甲組和乙組完成相同工作量時的時間.
(3)甲、乙兩組在第一次完成相同工作量時約定,以后兩組工作量之差不超過25件,這樣才能保證同時送貨,請通過計算說明,按圖像所表示的完成工作是否符合規(guī)定.
變式1分析
變式1是在2008年泰州的中考試題的基礎上,沒有改變圖像,只是將內容的呈現形式做了相應的調整,但其主體的數量關系并沒有改變,讓學生能進一步體會、理解此圖像提供的信息,學會從繁雜的題目中抓住其要考查的數學本質,將其真正的內化理解并達到舉一反三的目的. 進一步把圖像進行適當改變再賦予新的問題情境提出相應的問題,又設計了以下內容.
3. 試題變式2
甲、乙兩組同時加工一批零件,乙組工作中有一次停產檢修,兩組各自剩余工作量y(件)與時間x(時)的函數圖像如圖3所示,從開始工作時計時.
(1)直接寫出甲、乙兩組各自的工作量.
(2)求甲組剩余工作量y與x的函數關系式.
(3)求甲、乙兩組剩余工作量相同時的x值.
(4)工作3小時后,當甲組剩余工作量比乙組剩余工作量多20件時,甲組想通過提高工作效率,保證與乙組同時完成工作,甲組每小時要比原來多生產多少件?
變式2分析
變式2是將變式1的圖像進行了180°的旋轉后適當調整,賦予新的意義后提出相應的問題,這樣設計本題的難度大大提高,學生在解決問題時思維層面上要出現跳躍,雖然題目很好但卻難以達到考查學生的目的.因此把題目3的圖像又進行了調整,旋轉180°后得到變式3.
4. 試題變式3
甲、乙兩組工人同時加工某種零件,乙組工作中有一次停產更換設備,更換設備后,乙組的工作效率是原來的2倍.兩組各自加工零件的數量y(件)與時間x(時)的函數圖像如圖4所示.
(1)求甲組加工零件的數量y與時間x之間的函數關系式.
(2)求乙組加工零件總量a的值.
(3)甲、乙兩組加工出的零件合在一起裝箱,每夠300件裝一箱,零件裝箱的時間忽略不計,求:經過多長時間恰好裝滿第一箱?再經過多長時間恰好裝滿第二箱?
變式3分析
變式3是長春市2011年中考試題. 這道題的情境符合生活實際,問題的表述更加科學規(guī)范,最后一問涉及分類討論,具有一定的區(qū)分度. 從這道中考試題的演變過程,讓我們看到了數學的魅力,不僅能幫我們解決生活中的問題,還會讓我們思維更加縝密,視角更加開闊.
學數學離不開做題,怎樣做題卻是值得每位一線教師深思的. 我們不應該僅僅停留在解題層面,而更應該研究它,要知道它是從哪里來要到哪里去,并挖掘出它的本質是什么,找到其考查的數學思想方法. 數學思想方法是解決數學問題的靈魂,是形成數學能力、數學意識的橋梁,是靈活運用數學知識、技能的關鍵. 在解數學綜合題時,尤其需要用數學思想方法來統(tǒng)帥,去探求解題思路,優(yōu)化解題過程,驗證所得結論,這就要求教師在平時教學時要加強數學方法、解題技巧、數學思想方面的訓練,使學生形成數學能力,在落實基礎知識的前提下,能更加靈活地駕馭中考試題.