孫長(zhǎng)卿

近年高考或模擬考試的導(dǎo)數(shù)大題中，出現(xiàn)了一個(gè)身影，即超越不等式：

ex>x+1(x≠0).（1）

用導(dǎo)數(shù)工具易證此不等式如下：

證明令h(x)=ex-x-1(x≠0)，求導(dǎo)得h′(x)=ex-1，令h′(x)=0，得x=0.

易知當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)>0，∴在區(qū)間(0，+∞)上，h(x)是單調(diào)增函數(shù)，∴h(x)>h(0)=0，也就是ex-x-1>0，即ex>x+1.同理可證：當(dāng)x<0時(shí)，ex>x+1.

綜上所述，對(duì)x≠0，ex>x+1成立.

總結(jié)這類超越不等式證明的程序是：

構(gòu)造函數(shù)——求導(dǎo)——定號(hào)定區(qū)間——判定單調(diào)性——下結(jié)論（①③稷冢.

說(shuō)明其中“下結(jié)論”要依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，我們知道增減函數(shù)的定義是：①設(shè)任意x1，x2∈D罥且x1f(x2)）.③則f(x)在區(qū)間D上為增函數(shù)(減函數(shù)).據(jù)此可以得出三個(gè)命題是：

命題一：①②稷.

命題二：①③稷.

命題三：②③稷.

還可得到如下變式：e-x>1-x(x≠0).（2）

對(duì)（1）式兩邊取自然對(duì)數(shù)，得x>ln(x+1)(x>0).（3）

對(duì)（3）式用x-1換x，得x-1＞lnx(x＞0且x≠1).（4）

我們不難得出以上不等式中等號(hào)成立的條件.顯然熟練掌握應(yīng)用這些不等式對(duì)我們順利解決有關(guān)導(dǎo)數(shù)大題（常為壓軸題）會(huì)起到事半功倍的效果.如：

例1（2010年新課標(biāo)全國(guó)卷理數(shù)22題）設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍.

【參考文獻(xiàn)】

［1］2010普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·理科數(shù)學(xué)［J］.學(xué)子，2010，7/8.

［2］2011普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·理科數(shù)學(xué)［J］.學(xué)子，2011，7/8.