楊丹陽

的本質(zhì)，學(xué)生才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)，本文主要從四個(gè)方面闡述.

【關(guān)鍵詞】細(xì)節(jié)能培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣；細(xì)節(jié)能培養(yǎng)學(xué)生的探索能力；細(xì)節(jié)能積累成一種能力；細(xì)節(jié)決定成敗

1967年8月23日，蘇聯(lián)的宇航員科馬洛夫殉難，原因是地面檢查時(shí)忽略了一個(gè)小數(shù)點(diǎn)而導(dǎo)致聯(lián)盟一號(hào)宇宙飛船在返回大氣層時(shí)，減速降落傘無法打開.這個(gè)事故告訴我們這樣一個(gè)道理：對(duì)待人生不能有絲毫的馬虎，否則，即使是一個(gè)細(xì)枝末節(jié)，也會(huì)讓你付出沉重的甚至是永遠(yuǎn)無法彌補(bǔ)的代價(jià).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一樣，在每一個(gè)細(xì)節(jié)上做足工夫，把握好數(shù)學(xué)中的每一個(gè)“細(xì)節(jié)”，找出問題的本質(zhì)，學(xué)生才能真正學(xué)好用好數(shù)學(xué).下面談?wù)劰P者的一些體會(huì).

1畢附諛芘嘌學(xué)生優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣

惠普創(chuàng)始人戴維·帕卡德曾說過“小事成就大事，細(xì)節(jié)成就完美”.細(xì)節(jié)，往往被人忽略，但恰恰最能反映一個(gè)人的真實(shí)水平.讓學(xué)生重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的每一個(gè)細(xì)節(jié)，有利于學(xué)生培養(yǎng)優(yōu)良的學(xué)習(xí)品質(zhì)及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯思維能力，深化分類討論的數(shù)學(xué)思想.

作為教師，糾正學(xué)生解題錯(cuò)誤固然非常重要，但更重要的是通過教學(xué)中的一些細(xì)節(jié)，找出錯(cuò)誤的原因，使學(xué)生遇事能認(rèn)真分析，養(yǎng)成能認(rèn)真思考每一個(gè)環(huán)節(jié)的習(xí)慣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì).

2畢附諛芘嘌學(xué)生的探索能力

海爾集團(tuán)總裁曾說過“探索存在于每一個(gè)細(xì)節(jié)之中”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也一樣，可以抓住數(shù)學(xué)問題的某些細(xì)節(jié)，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，讓學(xué)生去思考、去探索、去發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，有助于提高學(xué)生的自主探索創(chuàng)新能力.

病例3已知拋物線C：y2=4x與一條過點(diǎn)A(0，1)的直線l，當(dāng)直線l與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程.

癥狀由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+1.

由方程組y2=4x，

y=kx+1，可得ky2-4y+4=0.（*）

∴Δ=16-16k=0，∴k=1，∴直線l的方程為y=x+1.

分析如圖可直觀看出y軸與拋物線相切只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)斜率不存在，故要討論直線l的斜率是否存在.考慮Δ時(shí)，（*）是二次方程，故對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)也要進(jìn)行討論.

處方（1）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l：x=0符合題意.

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，

①當(dāng)k=0時(shí)，直線l：y=1與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)14，1；

②當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=0，∴k=1，∴直線l：y=x+1.

綜上所述，直線l的方程為x=0或y=1或y=x+1.

探索①A(0，1)改為A(1，2)，問：此時(shí)與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有幾條？

②A(0，1)改為A(1，0)，問：此時(shí)與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有幾條？

分析過定點(diǎn)A與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的條數(shù)跟定點(diǎn)A與拋物線的位置有關(guān).

結(jié)論①若定點(diǎn)A在拋物線開口方向外，則這樣的直線l有3條（兩條切線和一條割線）；

②若定點(diǎn)A在拋物線開口方向內(nèi)，則這樣的直線l有1條（一條割線）；

③若定點(diǎn)A在拋物線上，則這樣的直線l有2條（一條切線和一條割線）.

3畢附諛芑累成一種能力

海不擇細(xì)流，故能成其大，山不拒細(xì)壤，方能就其高.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是一樣，只要平時(shí)注意并能認(rèn)真解決好數(shù)學(xué)中的每個(gè)細(xì)節(jié)，解題能力就會(huì)逐步增強(qiáng)，這就是細(xì)節(jié)的魅力.

病例4求函數(shù)y=1x-ln(x+1)的單調(diào)減區(qū)間.

癥狀由y′=-1x2-1x+1=-x2+x+1x2(x+1)<0.

又∵x2+x+1>0，x2>0，

∴x+1>0，∴單調(diào)減區(qū)間為(-1，+∞).

處方函數(shù)的單調(diào)性首先應(yīng)在函數(shù)的定義域內(nèi)研究，

故x≠0，

x+1>0，

y′<0.∴單調(diào)減區(qū)間為(-1，0)，(0，+∞).

病例5求函數(shù)f(x)=x2+5x2+4的最小值.

癥狀f(x)=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2.（*）

∴f(x)的最小值為2.

分析利用基本不等式a+b2≥ab(a>0，b>0)求最值需滿足“一正二定三等”，缺一不可，而（*）中當(dāng)x2+4=1x2+4時(shí)取“=”，此時(shí)x∈.

處方令t=x2+4，則t≥2.

而f(x)=t+1t在t∈［2，+∞)上為增函數(shù)，∴當(dāng)t=2即x=0時(shí)，f(x)的最小值為52.

這兩個(gè)癥狀中的細(xì)節(jié)都是圍繞函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)考慮函數(shù)定義域的影響，我們把這些細(xì)節(jié)認(rèn)真加以研究、總結(jié)、開發(fā)和利用，不但可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，也能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

病例6已知雙曲線方程2x2-y2=2，過點(diǎn)B(1，1)能否作直線l與所給雙曲線交于Q1，Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

癥狀設(shè)Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，

則2x21-y21=2，2x22-y2=2.

兩式相減，得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，

2·x1+x22-y1+y22·y1-y2x1-x2=0，即2×12-12×y1-y2x1-x2=0.

∴y1-y2x1-x2=2，

∴直線Q1Q2的方程為y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.

分析要使B點(diǎn)是弦Q1Q2的中點(diǎn)，首先直線l與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)Q1，Q2，

故方程組2x-y-1=0，

2x2-y2=2應(yīng)有兩組解，而消去y，得

2x2-4x+3=0.

此時(shí)Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，無實(shí)根.

因此直線l與雙曲線無交點(diǎn)，這一矛盾說明了滿足條件的直線l不存在.

4畢附誥齠ǔ砂

1%的錯(cuò)誤會(huì)帶來100%的失敗.原因很簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)填空題的結(jié)果只有對(duì)與不對(duì)，一個(gè)細(xì)節(jié)沒有考慮周到，就是全錯(cuò)，所以只有一絲不茍、仔細(xì)審題的學(xué)生可以做出正確答案，注重“細(xì)節(jié)”是學(xué)生取得好成績(jī)的一個(gè)關(guān)鍵.

病例7若向量a=(λ，2)，b=(-3，5)，且a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍為.

癥狀∵a·b=|a||b|cos〈a，b〉，〈a，b〉是銳角，

∴a·b>0，

∴a·b=-3λ+10>0，∴λ<103.

處方∵〈a，b〉是銳角，∴cos〈a，b〉＞0且cos(a，b)≠1.

當(dāng)cos〈a，b〉=1時(shí)，a與b同向，此時(shí)5a+6=0，則λ≠-65.

∴λ的取值范圍是λ<103且λ≠-65.

往往學(xué)生的水平在知識(shí)能力等方面差距不是很大，要想在高考或其他考試中獲勝，實(shí)際上還是那百分之幾的細(xì)節(jié)，所以說“細(xì)節(jié)決定成敗”，可能一兩天覺察不到細(xì)節(jié)的“魅力”，但經(jīng)過一個(gè)月、一個(gè)季度、一年，細(xì)節(jié)的重要性就會(huì)充分顯現(xiàn).所以，作為一名數(shù)學(xué)教師，必須重視每一節(jié)課的細(xì)節(jié)，每一次作業(yè)的細(xì)節(jié)，讓學(xué)生掌握好數(shù)學(xué)中的每一個(gè)細(xì)節(jié)，長(zhǎng)此以往，既能培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)良的學(xué)習(xí)習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生的探索能力，學(xué)生不但能夠很好地掌握知識(shí)，提高數(shù)學(xué)成績(jī)，而且綜合能力與素質(zhì)都能進(jìn)一步提高.