王子霞

在新課程教學中，教師必須改變那種完全依賴教材、照本宣科式的教學方法，變?yōu)橐龑W生創(chuàng)造性地“學”. 教師創(chuàng)造性地“教”應充分體現(xiàn)在精心設計教學過程上，教學過程的精心設計是以對課標和教材的深入研究為前提的，它凝聚著教師的數(shù)學理解、數(shù)學感知、數(shù)學思考和數(shù)學加工. 對課標和教材研究得越深，設計出來的教學過程就越能取得良好的教學效果.

就一元二次方程求根公式的內(nèi)容來說，一些教師往往只停留在對教材表面的理解和是否成為考點上，重視的是公式的運用，忽視公式的推導和公式的教育價值. 《數(shù)學課程標準》明確規(guī)定，要理解配方法，掌握一元二次方程求根公式的推導. 為什么提出這樣的要求，教師需要研究和思考.

一、推導一元二次方程求根公式的必要性

因為所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以這是一個通法，有規(guī)律可循. 如果我們不抽象、概括出一個數(shù)學模型，那么每次都要做重復性的工作. 抽象、概括正是數(shù)學學習留給學生的數(shù)學思維品質(zhì)和方法.

二、推導求根公式的教育價值是突出的

１． 在思想方法上，求根公式的推導運用了配方法，其基本思想是降次，通過配方法轉(zhuǎn)化為可直接開平方的形式，推導過程中還涉及分類討論的思想. 數(shù)學思想方法凝聚著數(shù)學的精髓和靈魂，盡管學生走上社會后，數(shù)學知識似乎漸漸淡忘了，但留存的應是那種銘刻在心頭的數(shù)學思想、數(shù)學思維方式.

２． 在解法上是多樣的． 對于一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ 0（ａ ≠ ０）的求根公式的推導，人教版教材采用了二次項系數(shù)化為１再配方的方法.

因為ａ ≠ ０，所以可以把方程的兩邊都除以二次項系數(shù)ａ，

得ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ ＝ ０，移項，得ｘ２ ＋ ■ｘ ＝ －■，

配方，得x2 + ■x + （■）2 = -■ + （■）2，

即（x + ■）2 = ■.∵ a ≠0，∴ 4a2 > 0.

當ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０時，得

ｘ ＋ ■ ＝ ±■， ①

即x + ■ = ±■， ②

∴ x = -■±■，即x = ■．

首先領會教材的編寫意圖，將二次項系數(shù)化為１，學生容易想到，而且易于配方.再深入分析可知，系數(shù)化為１后，易于發(fā)現(xiàn)a，b，c不是獨立的變量. 再進行難點分析，公式推導過程中有兩個難點：難點１是對b2 - 4ac非負的認識，需要分類；難點２是由①到②，化簡■ = 2|a|出現(xiàn)“±”號問題. 難點１是不可回避的，突破難點的關鍵是對用字母表示數(shù)的理解，而對于難點２ ，也是不可回避的嗎？這個問題值得我們深入思考.

思考１ 難點２ 是化簡二次根式產(chǎn)生的，于是我們想到能否使得開方后等號的右邊是最簡二次根式. 事實上，當b2 - 4ac ≥ 0時，b2 - 4ac = （■）2，于是（x + ■）2 = ■ = ■ = （■）2，從而x + ■ = ±■. 這樣就達到了回避難點２的目的. 這個方法很巧妙，但我們在逆用二次根式性質(zhì)（■）2 ＝ ａ（ａ ≥ ０）的同時，也會給一部分學生帶來困難，因而我們又有了新的思考.

思考２ 難點２是化簡分母■產(chǎn)生的，而字母a是由于配方產(chǎn)生的，那么能否設法在配方時不出現(xiàn)字母呢？這是一個很好的創(chuàng)意，于是想到了要使二次項系數(shù)變?yōu)椋幔玻?/p>

因為ａ ≠ ０，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）兩邊同乘以a，得a2x2 + abx + ac = 0，

配方，得ａ２ｘ２ ＋ ａｂｘ ＋ （■）２ ＝ （■）２ － ａｃ，

即（ａｘ ＋ ■）2 = ■.

當b2 - 4ac ≥ 0時，有ax + ■ = ■，

∴ ax =■. ∵ ａ ≠ ０，∴ x =■.

思考３ 欣賞之余，再認真審視一下解題過程，這個解法似乎并不完美，配方時出現(xiàn)了分數(shù)，因而再次產(chǎn)生了改進的念頭，于是又有了下面漂亮的解法：

對于ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ｃ ＝ ０（ａ≠０），

∵ ａ ≠ ０，方程兩邊同乘以４ａ，得４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

配方，得（４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ｂ２） － ｂ２ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

即（２ａｘ ＋ ｂ）２ ＝ ｂ２ － ４ａｃ，

……

比較上述解法，思考３的解法明顯優(yōu)于其他方法. 它的優(yōu)點在于解法簡潔，并且揭示了判別式是一個完全平方式. 上述三種思考解法的獨創(chuàng)性正是數(shù)學學科所要培養(yǎng)的學生的創(chuàng)造性思維，只有創(chuàng)造型的教師才能培養(yǎng)出創(chuàng)造型的學生！

三、公式自身的教育價值是多重的

１． 從運算的角度看，公式包容了初中階段所學過的全部六種代數(shù)運算：加、減、乘、除、乘方、開方，體現(xiàn)了公式的和諧統(tǒng)一. 各級運算的順序自動決定了一元二次方程的解題順序. 開平方運算不是總能進行的，要根據(jù)判別式Δ = b2 - 4ac的符號來判斷方程是否有實數(shù)根，如果有實數(shù)根，則由其三個系數(shù)來確定. 通過運算可以完美地解決根的存在性、根的個數(shù)、根的求法三個問題，可以說是“萬能”求根公式. 它向我們展示了抽象性、一般性和簡潔性等數(shù)學的美和魅力.

２． 從方程的觀點來看，當公式中的三個量為常數(shù)時，則它是關于第四個量的方程. 比如a，b，c為確定的數(shù)值時，它便是關于x的方程. 當a，b，c，x中不只有一個變量時，若視其中一個字母為變量，其余的為常數(shù)，則它是關于這個變量的一元方程；若視其中兩個字母為變量，其余的為常數(shù)，則它是關于這兩個變量的二元方程.

３． 從基本量的觀點來看，公式中有四個基本量，只要知道其中三個，就可以求出另外一個． 公式可變形為ｘ ＝ ■. 可見公式中只有三個獨立的基本量x，■，■，因此知二可求一，這就是為什么利用兩根之和、兩根之積可求方程的根的原因.

總之，深入鉆研課標和教材，充分挖掘教材所蘊含的具有創(chuàng)新教育的內(nèi)容，對教材內(nèi)容做進一步地研究和推廣，并提出異于教材中的處理方法，是教師提高自身素質(zhì)和不斷提高創(chuàng)造性教學能力，合理選擇猜想、討論、變式推廣、多角度思考、批判反思等方法進行創(chuàng)新教育的有效途徑.