蔡國(guó)忠

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者. ”基于這個(gè)理念，我們應(yīng)把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正主人. 教師的任務(wù)是給學(xué)生提供數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和空間，引領(lǐng)學(xué)生積極合作交流，努力自主探索，不斷創(chuàng)新實(shí)踐，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)提高自己的探索能力和創(chuàng)新能力.

下面就浙教版八年級(jí)上冊(cè)第二章第六節(jié)“探索勾股定理”具體分析教學(xué)設(shè)計(jì).

一、教學(xué)目標(biāo)

１． 知識(shí)目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握勾股定理，并且能夠運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.

２． 能力目標(biāo)：通過(guò)探索勾股定理，讓學(xué)生學(xué)會(huì)探索的基本方法，提高學(xué)生的探索能力.

３． 情感目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理的探索及應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：勾股定理的探索及驗(yàn)證.

學(xué)情分析：學(xué)生經(jīng)過(guò)小學(xué)到七年級(jí)的學(xué)習(xí)已經(jīng)具備一定的觀察、歸納和推理能力，同時(shí)在小學(xué)里已經(jīng)學(xué)習(xí)了求簡(jiǎn)單基本圖形的面積公式，以及圖形的簡(jiǎn)單割補(bǔ)，因此對(duì)圖形面積的計(jì)算具有一定的基礎(chǔ)，由于在探究勾股定理的正確性時(shí)，要求學(xué)生具有較高的空間圖形概念. 因此學(xué)生的現(xiàn)有能力與本節(jié)學(xué)習(xí)要求還有一定的差距.

二、教學(xué)過(guò)程

（一）結(jié)合生活，引入課題

利用多媒體展示生活中直角三角形的案例，如電線桿拉線、木棒斜靠在墻上、學(xué)生用的三角板等，通過(guò)圖片激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 在觀看圖片時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)過(guò)的直角三角形的相關(guān)知識(shí)，然后提出問(wèn)題：“直角三角形的三邊之間是否存在某種特殊的關(guān)系？”由此引入本課題，板書(shū)“探索勾股定理”.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)直角三角形定義以及直角三角形的基本性質(zhì)，學(xué)生已經(jīng)有了一定的了解，這里讓學(xué)生通過(guò)欣賞圖片，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性. 通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)讓學(xué)生經(jīng)歷將生活中的事物進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，提高學(xué)生的空間概念. 在本環(huán)節(jié)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生了解本節(jié)課的主題是研究直角三角形三邊之間的關(guān)系.

（二）交流合作，探究新知

１． 探索勾股定理

給每名同學(xué)發(fā)下一張白紙，以四名同學(xué)為一個(gè)小組，同學(xué)之間進(jìn)行分工合作，每個(gè)學(xué)生按要求畫(huà)三角形. 要求盡量準(zhǔn)確地在紙上作出相應(yīng)的一個(gè)直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為：

第一名同學(xué)：３厘米和４厘米； 第二名同學(xué)：６厘米和８ 厘米；

第三名同學(xué)：５厘米和１２厘米；第四名同學(xué)：９厘米和１２厘米.

并且測(cè)量斜邊的長(zhǎng)度，結(jié)果保留整數(shù)，并通過(guò)計(jì)算填寫(xiě)表格.

觀察表中ａ２ ＋ ｂ２與ｃ２兩列的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)之間的關(guān)系嗎？

小組討論，并且得出結(jié)論：ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)以小組為單位合作學(xué)習(xí)，有利于加強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，在學(xué)習(xí)中相互合作，在合作中相互學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短. 同時(shí)通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)直角三角形的勾股定理，有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力和探索發(fā)現(xiàn)能力. 四名同學(xué)每人作一個(gè)直角三角形，有利于在較短的教學(xué)時(shí)間內(nèi)作出較多的直角三角形，從而探索出勾股定理.

２． 探究勾股定理的正確性

以小組為單位，用四塊相同的直角三角板（或者四塊相同的直角三角形紙片）拼一個(gè)大的正方形，其中間空出一個(gè)小的正方形，然后通過(guò)它們面積之間的關(guān)系來(lái)驗(yàn)證上面探究出的等量關(guān)系.

課堂預(yù)設(shè) 本環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，為保證在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，教師應(yīng)當(dāng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生操作.

當(dāng)小組合作差不多時(shí)，在屏幕上展示拼湊方法有兩種：圖１和圖２.

分析：運(yùn)用等積法，圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加上小正方形的面積，即得：ｃ２ ＝ ４ × ■ａｂ ＋ （ｂ － ａ）２，化簡(jiǎn)，得ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２.

圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加上小正方形的面積，即得（ａ ＋ ｂ）２ ＝ ４ × ■ａｂ ＋ ｃ２，化簡(jiǎn)，得ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

設(shè)計(jì)意圖 用直角三角形來(lái)驗(yàn)證勾股定理，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度. 因此這里設(shè)計(jì)小組活動(dòng)，可以發(fā)揮集體智慧的作用，避免基礎(chǔ)較差學(xué)生因難度太大而無(wú)所事事. 同時(shí)通過(guò)本環(huán)節(jié)讓學(xué)生樹(shù)立“任何猜想需要通過(guò)驗(yàn)證后才能作為正確結(jié)論”的觀念，理解勾股定理可由等積法得到驗(yàn)證.

３． 揭示勾股定理

在上兩個(gè)環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，教師給出勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為ａ，ｂ，斜邊長(zhǎng)為ｃ，則ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２.

同時(shí)介紹數(shù)學(xué)小史：勾股定理是我國(guó)最早發(fā)現(xiàn)的. 中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，“勾股定理”因此而得名. 由于三邊都為整數(shù)的最小直角三角形的三邊長(zhǎng)為３，４，５，因此有勾三、股四、弦五之說(shuō). （勾股定理在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理）

設(shè)計(jì)意圖 這個(gè)環(huán)節(jié)旨在揭示本節(jié)課的主題：勾股定理，讓學(xué)生掌握. 同時(shí)通過(guò)介紹數(shù)學(xué)小史，讓學(xué)生感受中國(guó)之偉大，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情.

（三）應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，鞏固所學(xué)

１． 人人都是“小老師”

例１ 已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＡＢ ＝ ｃ， ＢＣ ＝ ａ， ＡＣ ＝ ｂ，

（１）如果a = 1,b = 2，求ｃ；（答案：■）

（２）如果ａ ＝ １５，ｃ ＝ １７ 求ｂ；（答案： ８）

以同桌的兩名同學(xué)為小組，在學(xué)生各自完成例題解答后，小組間相互交換批改，并且討論遇到的問(wèn)題. 如有學(xué)習(xí)困難的同學(xué)，小組成員負(fù)責(zé)幫助指導(dǎo).

鞏固所學(xué)：比一比誰(shuí)最快.

（１）直角三角形的兩直角邊為６和８，則斜邊為.

（答案：１０）

（２）直角三角形的兩直角邊為２和３，則斜邊為 .

（ 答案：■）

（３）直角三角形的兩條邊為３和４，則這個(gè)直角三角形的第三邊長(zhǎng)為 . （答案：５或■）

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)本例，試圖讓學(xué)生掌握勾股定理，并且能夠運(yùn)用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)，為運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ). 這里以二人小組進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，既方便組合，提高學(xué)習(xí)效率，又有利于同學(xué)之間的相互幫助. 通過(guò)同學(xué)之間的相互探討，可以使學(xué)習(xí)困難的學(xué)生得到及時(shí)的幫助，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心，提高他們的學(xué)習(xí)積極性. 通過(guò)一組練習(xí)題，進(jìn)一步鞏固勾股定理和運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，是現(xiàn)炒現(xiàn)買(mǎi)，尤其是已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)時(shí)，有兩種情況，需進(jìn)行分類討論.

２． 學(xué)以致用

例２ 如圖3，從電桿離地面５米處向地面拉一條７米長(zhǎng)的鋼纜，求地面鋼纜固定點(diǎn)Ａ到電桿底部Ｂ的距離．

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的目的是應(yīng)用，學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的目的是為了應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題. 因此設(shè)計(jì)本例讓學(xué)生學(xué)會(huì)將學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際，認(rèn)識(shí)到知識(shí)來(lái)源于生活，也必將應(yīng)用于生活. 同時(shí)本例也很好地呼應(yīng)引入時(shí)的問(wèn)題.

例３ 如圖4，是一個(gè)長(zhǎng)方形零件，根據(jù)所給尺寸（單位：毫米），求兩孔中心Ａ，Ｂ之間的距離.

設(shè)計(jì)意圖 本例是讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何構(gòu)造出直角三角形，并且運(yùn)用所學(xué)的勾股定理加以解決. 由于學(xué)生對(duì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力不是很強(qiáng)，教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中要及時(shí)引導(dǎo). 通過(guò)本例練習(xí)可以讓學(xué)生掌握解決問(wèn)題的方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

（四）課堂小結(jié)，學(xué)生主角

１． 通過(guò)本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？

２． 在本節(jié)課中你有哪些認(rèn)識(shí)和收獲？

設(shè)計(jì)意圖 本小節(jié)采用了學(xué)生自主小結(jié)的方法，讓學(xué)生從知識(shí)、能力和情感等多角度進(jìn)行小結(jié). 通過(guò)知識(shí)層面的小結(jié)使學(xué)生把一堂課所學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化，有利于對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固和掌握. 通過(guò)認(rèn)識(shí)和收獲的小結(jié)，可以使學(xué)生再次梳理自己的情感思維，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激勵(lì)學(xué)生的的探索精神.

三、設(shè)計(jì)反思

優(yōu)秀的課堂教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)是通過(guò)課堂教學(xué)使各類教學(xué)目標(biāo)得以圓滿達(dá)成. 而要實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，一個(gè)重要環(huán)節(jié)便是教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)是優(yōu)秀課堂教學(xué)的前提和保證. 通過(guò)本教學(xué)設(shè)計(jì)使我深深感受到要設(shè)計(jì)合作學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方式并不難，但是要設(shè)計(jì)切實(shí)可行且具有較好學(xué)習(xí)效果的教學(xué)方案，卻有較大難度.

“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. ”合作學(xué)習(xí)作為一種較為有效的學(xué)習(xí)方式，為大多數(shù)老師所推崇. 合作學(xué)習(xí)確實(shí)可以改善課堂氣氛，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以促進(jìn)學(xué)生個(gè)性的發(fā)展，但是合作學(xué)習(xí)容易出現(xiàn)由于學(xué)生的水平不同，導(dǎo)致學(xué)生的參與度不均衡，基礎(chǔ)較差的學(xué)生往往成為觀眾. 因此我們?cè)谶M(jìn)行合作學(xué)習(xí)時(shí)要合理分組、明確分工，學(xué)習(xí)內(nèi)容難度適中. 同時(shí)可以引導(dǎo)基礎(chǔ)較好的學(xué)生適當(dāng)幫助基礎(chǔ)較差的學(xué)生. 合作學(xué)習(xí)、自主探究在實(shí)施時(shí)還存在一個(gè)重要的問(wèn)題——時(shí)間. 一節(jié)課４５分鐘，不能多，教學(xué)內(nèi)容也不能少. 如何在有限的時(shí)間內(nèi)，用合作學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生獲得知識(shí)和能力，值得在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中探討研究. 如本節(jié)課中“探究勾股定理”的合作與探究，難度不大，能夠順利完成. 但是“探究勾股定理的正確性”的合作探究難度較大，學(xué)生完成有較大難度，教師在教學(xué)前應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)較好的引導(dǎo)方式，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中合理把握教學(xué)進(jìn)程，以便順利完成教學(xué)任務(wù).

好的教學(xué)設(shè)計(jì)需要有好的演繹者. 一個(gè)好的教學(xué)設(shè)計(jì)，只有通過(guò)教師在課堂上完美演繹，才能體現(xiàn)出其優(yōu)秀. 因此我們?cè)谧非髢?yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)的同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)提高自己的教學(xué)能力，完善自己的教學(xué)方法和過(guò)程，最終實(shí)現(xiàn)二者的完美統(tǒng)一.