孫靜波

【摘要】高等數(shù)學(xué)是高職高專院校各專業(yè)必修的一門重要的公共基礎(chǔ)課程，通過本課程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生獲得高等數(shù)學(xué)方面的基本理論、基本概念和基本知識，為后繼課程的學(xué)習(xí)和今后工作打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它對培養(yǎng)、提高學(xué)生的思維素質(zhì)、創(chuàng)新能力、科學(xué)精神、治學(xué)態(tài)度以及用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力都有著非常重要的作用.高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，而我們在教學(xué)過程中，最棘手的也是函數(shù)的求導(dǎo)與積分的計(jì)算問題，尤其是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)和第一類換元積分法（湊微分法）求積分.本文就如何判斷并使用湊微分法求積分的問題談?wù)剛€人心得體會.

【關(guān)鍵詞】積分；湊微分；被積函數(shù)；復(fù)合函數(shù)

【中圖分類號】獹642

【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】獴オ

在《高等數(shù)學(xué)》的教學(xué)過程中，學(xué)到導(dǎo)數(shù)時就會有一部分同學(xué)掉隊(duì)，再學(xué)積分時就會在導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上又有一部分同學(xué)掉隊(duì).這也是《高等數(shù)學(xué)》學(xué)習(xí)過程中拉開學(xué)生檔次的一個重要地方.那么如何抓住這部分內(nèi)容呢?筆者認(rèn)為既然不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，那么微分運(yùn)算公式在積分中的地位就不言而喻了，只有在掌握了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，我們才能看積分的運(yùn)算，而積分運(yùn)算中最重要的、使用最多的是第一類換元積分法，也就是湊微分法，它的運(yùn)算基本上就是不同類型的微分公式的逆推.如何判斷所給積分能否使用湊微分法求不定積分呢？下面我們就由淺入深觀察湊微分法的判定與運(yùn)算.

凡是能夠使用湊微分法的不定積分中被積函數(shù)均可以看成是若干個函數(shù)的乘積，且其中必包含一個主函數(shù)（一般復(fù)合函數(shù)居多），將其中若干函數(shù)經(jīng)過一次或若干次還原必可以得到主函數(shù)或主函數(shù)的一部分，系數(shù)我們就不考慮了，因?yàn)橄禂?shù)可以根據(jù)實(shí)際情況湊.下面我們就先以最簡單的，主復(fù)合函數(shù)為二重復(fù)合函數(shù)（或基本初等函數(shù)）的不定積分（即只需經(jīng)過一次還原的湊微分法）為例對其進(jìn)行解釋.

1.若不定積分中含有f(x)g［φ(x)］玠玿,且有А要f(x)玠玿=φ(x)+C或А要f(x)玠玿=g［φ(x)］+C，則該不定積分一定可以使用湊微分法進(jìn)行計(jì)算，即必有А要f(x)g［φ(x)］玠玿=И∫g［φ(x)］И玠φ(x)或И∫f(x)g［φ(x)］玠玿=∫g［φ(x)］玠玤［φ(x)］，這樣我們只要將φ(x)看成一個整體使用積分公式進(jìn)行計(jì)算即可.

例1 判定下列哪些不定積分可以使用第一類換元積分法求解.

（1）А要x·玸in玿玠玿;（2）А要x·玸in玿2玠玿;（3）А要x·玸in玡瑇玠玿;（4）А要И玪n玿[]x玠玿.

求解過程如下：

（1）因?yàn)椐∫獂玠玿=1[]2x2+C不等于x+C,也不等于┆玸in玿+狢，所以不滿足湊微分法的條件.

（2）А要x玠玿=1[]2x2+C，系數(shù)不影響判定，因此原式可使用湊微分法.

原式=1[]2А要И玸in玿2玠玿2=-1[]2玞os玿2+C.

（3）А要x玠玿=1[]2x2+C不等于玡瑇，也不等于玸in玡瑇，所以不滿足湊微分法的條件.

（4）А要1[]x玠玿=玪n玿+C，因此原式可使用湊微分法進(jìn)行計(jì)算，即А要И玪n玿[]x玠玿=А要И玪n玿玠玪n玿=1[]2(玪n玿)2+C.

這樣基本上所有該類型的不定積分我們就都可以進(jìn)行計(jì)算了，只是形式不同而已，原理都是一樣的.例如下列各題：

例2 求解下列積分：

（1）А要И玜rcsin玿[]1-x2玠玿;（2）А要И玡┆玜rcsin玿猍]1-x2玠玿;ィ3）А要1[]玜rcsin玿1-x2玠玿.

求解過程如下：

（1）А要1[]1-x2玠玿=玜rcsin玿+C，ニ以原式=А要И玜rcsin玿玠arcsin玿=1[]2(玜rcsin玿)2+C.

（2）原式=А要И玡┆玜rcsin玿玠玜rcsin玿=玡┆玜rcsin玿+C.

（3）原式=А要1[]玜rcsin玿玠arcsin玿=玪n珅玜rcsin玿|+C.

有了簡單湊微分法的計(jì)算方法，我們就可以在此基礎(chǔ)上增加難度了，比如被積函數(shù)需經(jīng)過至少兩次湊微分才能求解.下面我們就將湊微分法的基本公式推廣至被積函數(shù)需經(jīng)過兩次換元的不定積分，其他的可以以此類推.

2.需經(jīng)過兩次湊微分運(yùn)算的不定積分又有什么樣的特征呢？我們同樣給出例子來進(jìn)行判定.

例3 А要x·玸in玿2·玞oscos玿2玠玿.

經(jīng)過觀察我們會發(fā)現(xiàn)玞oscos玿2是一個三重復(fù)合函數(shù)，而且式子之中目前只有x可以參與湊微分，試將其湊成微分會發(fā)現(xiàn)原式可變形為1[]2А要И玸in玿2玞oscos玿2玠玿2,將x2看成一個整體，那么該式又變成了和被積函數(shù)經(jīng)一次湊微分運(yùn)算的不定積分類型相同的積分了，接下來按照上面的方法將玸in玿2的原式可變形為-1[]2А要И玞oscos玿2玠玞os玿2，根據(jù)積分公式可得出原式等于-1[]2玸incos玿2+C,相應(yīng)的，其他具有該特征的不定積分我們就又都可以求解了.下面我們再舉一些例子.

例4 求解下列不定積分：

(1)А要1[]x玪n玿玪nln玿玠玿;（2）А要И玪nln玿[]x玪n玿玠玿;（3）А要И玞oslnln玿[]x玪n玿玠玿.

求解過程如下：

（1） 原式=А要1[]玪n玿玪nln玿玠玪n玿=А要1[]玪nln玿玠lnln玿=玪n珅玪nln玿|+C.

（2） 原式=А要И玪nln玿[]玪n玿玠ln玿=А要И玪nln玿玠玪nln玿=1[]2(玪nln玿)2+C.

（3）原式=А要И玞oslnln玿[]玪n玿玠ln玿=А要И玞oslnln玿玠玪nln玿=玸inlnln玿+C.

這樣所有的利用湊微分法求解不定積分的題我們就都可以進(jìn)行求解了，當(dāng)然我們說會做題還不是我們對這部分內(nèi)容掌握的最高境界，如果只給出題的一部分讓你能夠?qū)⒃擃}補(bǔ)充完整并使之能夠應(yīng)用湊微分法進(jìn)行計(jì)算，這才說明我們對湊微分法理解得非常透徹了.下面我們也舉一些該類型的例子進(jìn)行一下觀察，首先是使用一次湊微分法進(jìn)行計(jì)算的題.

例5 補(bǔ)充下列各式使之能夠使用湊微分法進(jìn)行計(jì)算并求解：

（1）А要И玪n玿玠玿; （2）А要И玞ose瑇玠玿; （3）А要И玸intan玿玠玿.

考慮求解方法，那就需要運(yùn)用我們的求導(dǎo)公式了，分別看誰的導(dǎo)數(shù)是玪n玿,玡瑇,玹an玿，然后將其以乘積的形式補(bǔ)充給被積函數(shù)即可.

求解過程如下：

（1） 原式應(yīng)補(bǔ)充為А要И玪n玿[]x玠玿且А要И玪n玿[]x玠玿=А要И玪n玿玠玪n玿=1[]2(玪n玿)2+狢.

（2） 原式應(yīng)補(bǔ)充為А要И玡瑇玞ose瑇玠玿且А要И玡瑇玞os玡瑇玠玿=おА要И玞ose瑇玠玡瑇玸in玡瑇+C.

（3） 原式應(yīng)補(bǔ)充為А要И玸ec2玿玸intan玿玠玿且玸ec2玿玸intan玿玠玿=おА要И玸intan玿玠tan玿=-玞ostan玿+C.

相應(yīng)的我們還可以將這些題變得更復(fù)雜一些.

例6 補(bǔ)充下列各式使之能夠使用湊微分法進(jìn)行計(jì)算并求解：

（1）А要1[]玪nln玿玠玿; （2）А要И玪nln玿玠玿; （3）А要И玞oslnln玿玠玿.

求解過程如下：

（1） 原式應(yīng)補(bǔ)充為А要1[]x玪n玿玪nln玿玠玿且А要1[]x玪n玿玪nln玿玠玿=И∫1[]玪n玿玪nln玿И玠玪n玿=А要1[]玪nln玿玠lnln玿=玪n|lnln玿|+C.

（2）原式應(yīng)補(bǔ)充為А要И玪nln玿[]x玪n玿玠玿且А要И玪nln玿[]x玪n玿玠玿=А要И玪nln玿[]玪n玿玠ln玿=おА要И玪nln玿玠lnln玿=1[]2(玪nln玿)2+C.

（3）原式應(yīng)補(bǔ)充為А要И玞oslnln玿[]x玪n玿玠玿且А要И玞oslnln玿[]玪n玿玠ln玿=おА要И玞oslnln玿玠lnln玿=玸inlnln玿+C.

這樣就算再有變化也就是形式上的改變了，計(jì)算方法和原理都是一樣的.