賈鶴鳴，宋文龍，陳子印

（1.東北林業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150040；2.哈爾濱工程大學(xué)自動化學(xué)院，哈爾濱150001）

0 引 言

輪式移動機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡單，運(yùn)動靈活、操作性能好、能量利用率高，已被廣泛用于物流導(dǎo)引、家用清潔、智能導(dǎo)游和行星探測等領(lǐng)域［1］。輪式移動機(jī)器人是多輸入多輸出、欠驅(qū)動、本質(zhì)非線性系統(tǒng)，而且具有非完整約束特性，這給實現(xiàn)精確路徑跟蹤控制帶來了困難［2－3］。已有的控制方法大多采用動態(tài)反饋線性化方法和反步法［4－9］。用反饋線性化方法設(shè)計控制器時主要依賴于系統(tǒng)線性化部分，忽略非線性項對系統(tǒng)的影響，跟蹤精度不高；而采用傳統(tǒng)的反步法由于在設(shè)計過程中需要對虛擬控制量迭代求導(dǎo)，往往會令控制器結(jié)構(gòu)復(fù)雜而不利于工程實現(xiàn)，難以保證實際工況下系統(tǒng)的控制品質(zhì)。基于Serret-Frenet坐標(biāo)系下的虛擬向?qū)У母櫡椒ㄍㄟ^引入額外的控制量，已經(jīng)在移動機(jī)器人的路徑跟蹤控制中得到應(yīng)用［10－11］。

本文針對輪式移動機(jī)器人的路徑跟蹤問題，提出了基于反饋增益的反步法設(shè)計控制器，借鑒了反步法通過迭代過程構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的優(yōu)點，提出通過狀態(tài)誤差構(gòu)造虛擬控制量的思想獲得虛擬控制量，不同于傳統(tǒng)的利用非線性項抵消的思想，克服了傳統(tǒng)反步法在迭代過程中對虛擬控制量不斷求導(dǎo)的缺點。通過控制器參數(shù)的設(shè)計消除了Lyapunov能量函數(shù)中部分符號不確定的非線性項，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。采用本文方法進(jìn)行了任意曲線的路徑跟蹤控制仿真實驗，結(jié)果表明控制器表現(xiàn)出了較高的跟蹤性能，可以實現(xiàn)對期望路徑的精確跟蹤。

1 問題描述

1.1 輪式移動機(jī)器人模型

對笛卡爾坐標(biāo)系下的輪式移動機(jī)器人，其數(shù)學(xué)模型可以描述為

式中：x和y是大地坐標(biāo)系下的相對位置；ψB是偏航角；u是體坐標(biāo)系下輪式機(jī)器人的縱向速度；r是體坐標(biāo)系下偏航角速度；F是縱向推力；τ是轉(zhuǎn)向控制力矩；g（u，r）和f（u，r）表示模型中的非線性項。

在式（1）中，假設(shè)質(zhì)心位于后輪軸的中點上，即車輪僅發(fā)生純滾動而無側(cè)向和縱向滑動，因此橫向速度為零。本文假設(shè)輪式移動機(jī)器人僅能前向行駛，無法實現(xiàn)倒車行駛。

1.2 跟蹤路徑描述

跟蹤路徑Ω上的虛擬參考點P的坐標(biāo)可以表示為某一標(biāo)量參數(shù)μ∈R的函數(shù)，所以P點的位置坐標(biāo)在固定坐標(biāo)系下可表示為

為了保證被跟蹤曲線的光滑性，滿足xp（μ）、yp（μ）連續(xù)可導(dǎo)。虛擬參考點的速度可以定義為

固定坐標(biāo)系水平軸的夾角ψF定義為

P點的旋轉(zhuǎn)角速度ωF定義為

1.3 輪式移動機(jī)器人運(yùn)動學(xué)誤差方程

圖1 輪式移動機(jī)器人路徑跟蹤示意圖Fig.1 Schematic diagram of path following of wheeled mobile robot

如圖1所示，P點為Q點在跟蹤路徑上的投影，以P為原點、由路徑的切向量T和法向量N張成的坐標(biāo)系為｛SF｝坐標(biāo)系。P點在｛U｝坐標(biāo)系下的速度表示為νP，坐標(biāo)系 ｛U｝到坐標(biāo)系｛SF｝的轉(zhuǎn)換矩陣表示為RF，根據(jù)向量合成公式，Q點在｛U｝坐標(biāo)系下的速度νQ可以表示為

將上述變量代入式（7），得到由xe、ye、ψ構(gòu)成的跟蹤誤差方程為

2 控制器設(shè)計

輪式移動機(jī)器人路徑跟蹤控制器的設(shè)計目的是滿足跟蹤誤差方程（8）和動力學(xué)模型（1），對于給定連續(xù)光滑參考路徑Ω和期望速度ud＞0，基于反饋增益思想的反步法設(shè)計路徑上虛擬點的移動速率、軸向推力F和轉(zhuǎn)向力矩Γ，使得跟蹤誤差xe、ye、ψ和u－ud漸進(jìn)趨近于零。即滿足－ud）＝0。

速度子系統(tǒng)由軸向推力F驅(qū)動，可作為單獨(dú)的子系統(tǒng)控制，艏向和位置子系統(tǒng)通過迭代的方法進(jìn)行控制。

2.1 速度子系統(tǒng)控制器設(shè)計

采用PD控制器對縱向速度u進(jìn)行控制，使得u跟蹤期望速度ud＞0，由式（1）的第4個方程可得移動機(jī)器人的虛擬縱向推力為

2.2 位置子系統(tǒng)控制器設(shè)計

采用基于反饋增益的反步法的思想設(shè)計位置跟蹤控制器，由于橫向運(yùn)動無直接控制輸入以及橫向運(yùn)動和轉(zhuǎn)向運(yùn)動的耦合作用，跟蹤誤差ye可以通過轉(zhuǎn)向力矩調(diào)節(jié)，實現(xiàn)間接控制作用，首先定義控制誤差變量和坐標(biāo)變換為

式中：α1、α2分別為等價艏向角和艏向角速度虛擬控制量。

第一步：定義Lyapunov函數(shù)V1＝0.5z21，沿式（8）對等式兩邊求導(dǎo)得

化簡可得

將式（15）代入式（14）得

若取式（12）中的α1為

式（16）可以變形為

由式（12）和式（17）可得

由上式可知，由于參數(shù)c1和p1均為控制器設(shè)計參數(shù)，不妨取p1＝1／c21，以消除式（19）中的非線性項，得到

若取式（13）中的虛擬控制量α2為

根據(jù)式（13）和式（21）可將式（20）化為

選擇控制器參數(shù)c2，滿足條件c2＞c1u。

由式（13）（21）可得

第三步：定義Lyapunov函數(shù)V3為

沿式（22）（23）求導(dǎo)得

由此得到輪式移動機(jī)器人的路徑跟蹤等價控制輸入為

如果上述控制器設(shè)計參數(shù)選取滿足

將式（26）代入式（25）得到

當(dāng)且僅當(dāng)（xe，ye，z2，z3）＝（0，0，0，0）時滿足＝0，基于Lasalle不變性原理，通過合理地選擇控制器設(shè)計參數(shù)c1、c2、c3、p1、p2和k1使得系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定［12］。

3 仿真驗證

仿真實驗對象——輪式移動機(jī)器人的物理參數(shù)如下：質(zhì)量為85 kg，長度為0.6 m，寬度為0.4 m。選取期望參數(shù)化跟蹤路徑為（單位為m）：

設(shè)輪式移動機(jī)器人的初始位置和姿態(tài)角為［x（0），y（0），ψ（0） ］＝ ［－18，－8，0］，初始速度和角速度為 ［u（0），r（0） ］＝［0，0］，期望速度ud＝1 m／s，取虛擬點的線速度增益參數(shù)k1＝0.6，其他控制器參數(shù)取值為：p1＝25，p2＝102，c1＝0.2，c2＝0.4，c3＝1。

圖2 輪式移動機(jī)器人路徑跟蹤曲線Fig.2 Path following curves of wheeled mobile robot

圖3 控制輸入量變化曲線Fig.3 Control variable curves

圖2～圖4為采用基于輪式機(jī)器人精確非線性模型且無外界擾動存在時的跟蹤控制仿真結(jié)果。從圖2中可看出，本文設(shè)計的控制器可以實現(xiàn)輪式移動機(jī)器人對期望路徑的精確跟蹤，具有較好的跟蹤效果。圖3為控制輸入量的變化曲線，圖4為路徑跟蹤誤差的變化曲線。

圖4 路徑跟蹤誤差變化曲線Fig.4 Path following error curves

4 結(jié)束語

針對非完整約束輪式移動機(jī)器人路徑跟蹤控制問題，結(jié)合Serret-Frenet坐標(biāo)系，提出了基于反饋增益的Backstepping控制器設(shè)計思想，避免了反步法在迭代過程中存在虛擬控制量高階導(dǎo)數(shù)的情況，得到的控制器形式依賴于狀態(tài)誤差和被跟蹤路徑參數(shù)，降低了控制器的復(fù)雜度，提高了控制器參數(shù)的可調(diào)節(jié)性。仿真結(jié)果表明設(shè)計的控制器可以實現(xiàn)對任意路徑的精確跟蹤，具有較好的工程實用價值。

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