孫福明

幾何概型是普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修3第三章第三小節(jié)內(nèi)容，是新課程新增加的內(nèi)容之一． 課程標(biāo)準(zhǔn)將其定位為信息化的現(xiàn)代社會(huì)“統(tǒng)計(jì)和概率的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來公民的必備常識(shí)”，在要求上“初步體會(huì)幾何概型的意義，會(huì)進(jìn)行簡單的幾何概率計(jì)算”． 教學(xué)上的基本要求并不意味著把課堂教學(xué)簡單化、機(jī)械化． 但在實(shí)際教學(xué)工作中，確實(shí)存在由于教師重視不夠、研究不深引發(fā)的膚淺、粗糙的現(xiàn)象．本文圍繞幾何概型教學(xué)的三個(gè)主要問題談?wù)剛€(gè)人的認(rèn)識(shí)．

一、 幾何概型計(jì)算公式的合理性

古典概型的計(jì)算是在大量隨機(jī)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過統(tǒng)計(jì)，借助于頻率的穩(wěn)定值來替代概率的，因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)是正整數(shù)，基本事件是有限的，所以古典概型處理的離散問題，可以進(jìn)行直接計(jì)算．幾何概型研究的隨機(jī)試驗(yàn)盡管仍然是等可能的，但基本事件有無限個(gè)，無法統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基本事件的次數(shù)，因此幾何概型的計(jì)算就面臨著如何進(jìn)行合理的替代計(jì)算的問題． 教材（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)必修3）通過若干類型的例題引進(jìn)相應(yīng)測度求幾何概型，并給出了計(jì)算公式，但沒有說明這種替代計(jì)算的合理性．這就需要教師深入地細(xì)化教材，理清兩個(gè)對(duì)象之間的邏輯聯(lián)系，提升學(xué)生的理性思維能力．

下面以教材中的兩個(gè)引入情境來說明這種合理性． 教材的兩個(gè)引入情境：

（1） 取一根長度為3m的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？

（2） 射箭比賽的箭靶涂有5個(gè)彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色．金色靶心叫“黃心”． 奧運(yùn)會(huì)射箭比賽箭靶的靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm． 運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭． 假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面上任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？

教師首先要引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)來代替基本事件，每個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)于在某個(gè)具體的可以度量的幾何圖形中隨機(jī)地取一點(diǎn)． 問題（1）中，無法計(jì)算剪刀剪的次數(shù)，但可以建立“每剪繩子一次與線段上一點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上建立“無數(shù)次的隨機(jī)剪與線段上所有點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)，此處還要特別強(qiáng)調(diào)由于剪的隨機(jī)性，得到所有的點(diǎn)是布滿這條線段的，或者說這些點(diǎn)在線段上是連續(xù)分布的． 最后建立“剪的數(shù)量與線段長度”的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 通過這樣的“數(shù)（次數(shù)）與形（點(diǎn)）與數(shù)（長度）” 轉(zhuǎn)換過程，解決無限性無法計(jì)算的問題． 借助于這樣的“數(shù)（次數(shù)）與形（點(diǎn)）與數(shù)（長度）”轉(zhuǎn)換，類似的處理問題（2），在“射中靶面與圓面上一點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)上，順次建立“無數(shù)次射中靶面與圓面上所有的點(diǎn)”的對(duì)應(yīng)、“射中次數(shù)與圓面面積”的對(duì)應(yīng)．

其次，教師要讓學(xué)生感受并接受、理解上述的對(duì)應(yīng)是內(nèi)在的、邏輯的，因此用相對(duì)應(yīng)的幾何圖形的測度（長度、面積、體積等）來描述基本事件的總數(shù)和某個(gè)事件中包含的基本事件數(shù)量是合情又合理的，最終建立的度量公式是自然的，合理的．

只有讓學(xué)生的思維經(jīng)歷“直觀感知、抽象概括、反思與構(gòu)建”的過程，讓學(xué)生有機(jī)會(huì)對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行理性思維，才能真正提高學(xué)生的思維能力．

二、 怎樣理解幾何概型才是真正把握了概念的本質(zhì)？

眾所周知，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)大廈的基石，讓學(xué)生準(zhǔn)確理解概念是教學(xué)的重中之重． 只有準(zhǔn)確地理解了概念，才能準(zhǔn)確地表述概念和準(zhǔn)確地運(yùn)用概念． 幾何概型概念的定義，不屬于數(shù)學(xué)概念中的嚴(yán)格定義性，它是一種歸納性地描述定義． 它是對(duì)一類可以借助幾何圖形的測度進(jìn)行計(jì)算的概型的歸納．

1． 幾何概型的特征是等可能性和無限性嗎？

從教材內(nèi)容安排的順序看，幾何概型在古典概型之后，這就使得很多教師把兩種概型當(dāng)做了互為矛盾的關(guān)系，從基本事件是否有限的維度分類為“有限”“無限”，作為兩種概型的特點(diǎn)．其實(shí)這種說法是不正確的，因?yàn)樗^特點(diǎn)（特征）的說法，指的應(yīng)該是幾何概型所特有的性質(zhì)，是這一概型區(qū)別于其他概型的關(guān)鍵，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)（特征）就可以判斷為幾何概型． 很容易舉一個(gè)類似的反例，在全體實(shí)數(shù)中取一個(gè)數(shù)，求取到有理數(shù)的概率．這個(gè)試驗(yàn)中的基本事件是等可能的，有無數(shù)個(gè)，滿足幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)，但是能用幾何概型解決嗎？答案顯然是不可能的． 所以不能把等可能性與無限性作為幾何概型的特征，在教學(xué)中防止把兩種概型作為矛盾對(duì)立面的行為．

那么究竟什么是幾何概型的特征呢？上面分析的基本事件的等可能性和無限性僅僅是構(gòu)成幾何概型的必要條件，本人認(rèn)為幾何概型的特征是可以建立隨機(jī)試驗(yàn)與某個(gè)可度量的幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這種對(duì)應(yīng)是符合邏輯的，不是牽強(qiáng)附會(huì)的．

2． 幾何概型的概念重在建模

幾何概型概念的理解，重在對(duì)試驗(yàn)的正確建模． 建模分三個(gè)層面，第一個(gè)層面是隨機(jī)試驗(yàn)的對(duì)象與某個(gè)可度量的幾何圖形之間具有合理的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即首先要確定D． 這個(gè)可度量的區(qū)域D既可能是問題中直接提供的圖形，也可能是需要學(xué)生轉(zhuǎn)化后對(duì)應(yīng)的圖形，如問題（1）中的線段． 第二個(gè)層面對(duì)基本事件的建模，教材上的表述是“每個(gè)基本事件可視為從區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣”，也有老師說成“把基本事件理解為一個(gè)點(diǎn)”． 其實(shí)“可視為”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是對(duì)應(yīng)，是建立一個(gè)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的合理對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此“每個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)于區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)”的說法更具有數(shù)學(xué)味． 不同的說法既可能是概念多樣性的不同表述，但也有可能對(duì)概念的本質(zhì)理解產(chǎn)生偏差．教師在試圖用自己的語言對(duì)概念解讀時(shí)，要再三斟酌，不能為了過分的“通俗”而對(duì)概念產(chǎn)生誤解． 第三個(gè)層面是對(duì)某個(gè)隨機(jī)事件A的建模，隨機(jī)事件A的發(fā)生對(duì)應(yīng)著在區(qū)域D內(nèi)恰好取到某個(gè)指定的區(qū)域d，區(qū)域d的確定一般從試題的問題中去建立相對(duì)應(yīng)的模型．

三、 概念的運(yùn)用就是單純地運(yùn)用計(jì)算公式解題嗎？

在運(yùn)用概念解題時(shí)，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用概念引導(dǎo)解題的思維方法，即從概念的判斷開始，圍繞概念的要素分析題意，最后回到概念，加深和豐富概念的內(nèi)涵和外延． 從表面上看，本節(jié)是在運(yùn)用幾何概型的計(jì)算公式解題，其實(shí)不然，公式的應(yīng)用不能僅僅停留在代替數(shù)字計(jì)算的技能層面上，重點(diǎn)是要尋找實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)模型，即能否建構(gòu)隨機(jī)試驗(yàn)與某個(gè)幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)，著力點(diǎn)在利用公式之前．本節(jié)課例題都是從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，教師要反復(fù)引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題，形成從三個(gè)層面分析問題的思維模式，這三個(gè)層面依次是：（1）隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是否具有等可能性；（2）隨機(jī)事件的幾何模型是什么，即區(qū)域D與d的形狀；（3）區(qū)域D與d的測度．其中第二點(diǎn)是最關(guān)鍵的，需要指導(dǎo)學(xué)生抓準(zhǔn)題意的關(guān)鍵詞，即“題眼”． 教材例題3與習(xí)題3．3第6題，兩題背景相似，但研究對(duì)象不同，前者為“點(diǎn)”，后者為“射線”，度量的測度隨之而變，分別是“長度”、“角度”，所以結(jié)果不同．

教材例題2的處理是一個(gè)難點(diǎn)． 例2是這樣的：在1 L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，含有麥銹病種子的概率是多少？

常見的錯(cuò)誤建模是，很多教師在教學(xué)時(shí)為了形象生動(dòng)起見，常常畫出一大一小兩個(gè)容器，說基本事件是在大容器內(nèi)取一點(diǎn)，關(guān)注的事件是點(diǎn)落在小容器內(nèi)． 按照這些教師的說法，如果假設(shè)基本事件是在大容器內(nèi)取一點(diǎn)的話，那么它跟小容器內(nèi)的點(diǎn)有什么關(guān)系呢？也就是如果把小容器看做事件A的話，根據(jù)這些教師的解釋，事件A中就不包含基本事件了，這顯然是違背邏輯的！究其原因，在于這些教師沒有準(zhǔn)確理解這里面蘊(yùn)涵的幾何概型，建模產(chǎn)生了偏差． 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能僅僅為了追求直觀而忽視對(duì)概念本質(zhì)的理解，不反對(duì)教師用自己的個(gè)體感受的語言闡述概念，但千萬不能違背概念的本質(zhì)．

本題正確的建模應(yīng)該是，第一步將種子抽象成點(diǎn)，那么1L 小麥種子就抽象成一個(gè)容積為1L 的幾何體，即為區(qū)域D． 10 mL小麥種子就抽象成容積為10 ml的幾何體，即為區(qū)域d． 而麥銹病種子這一個(gè)點(diǎn)在幾何體中任一處出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是隨機(jī)的、均等的，因此下結(jié)論判斷這個(gè)概型是幾何概型問題．

第二步分析隨機(jī)事件A，在取出來之前，這10mL幾何體處于1L幾何體里面，形狀和位置是特定的，由于基本事件對(duì)應(yīng)為在1L幾何體內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，從而關(guān)注的事件A對(duì)應(yīng)為取出的一點(diǎn)恰好落在10mL的幾何體內(nèi)．

第三步，利用幾何概型的計(jì)算公式計(jì)算．因?yàn)閹缀螆D形是空間圖形，其對(duì)應(yīng)的測度是體積，所以用區(qū)域d和區(qū)域D的體積之比作為所求概型的概率．

本文所提出的三個(gè)問題恰好是教授幾何概型這一節(jié)時(shí)需要把握的三個(gè)主要環(huán)節(jié)，也是筆者在多年教學(xué)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)很多教師由于沒有深入鉆研而暴露出來的三個(gè)主要問題． 通過上述三個(gè)問題的探討，筆者深深感到教材分析作為我國基礎(chǔ)教育的特色，在新課程背景下沒有得到加強(qiáng)，相反的，卻弱化了． 本文的目的既是研究幾何概型的教學(xué)，也是希望提供教材分析的一個(gè)點(diǎn)狀的案例，以此希望有更多的教師重視對(duì)教材的研究，不斷豐富個(gè)人的學(xué)科知識(shí)，以此應(yīng)對(duì)新課程深度推進(jìn)的需要．