吳淑花，劉振永，張若洵，容旭巍

(1.石家莊學(xué)院物理與電氣信息工程系，河北石家莊 050035;2.邢臺(tái)學(xué)院初等教育學(xué)院，河北邢臺(tái) 054001)

0 引言

混沌是在確定性系統(tǒng)中表現(xiàn)出的一種不確定現(xiàn)象，并存在于自然界的諸多領(lǐng)域，如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)以及信息技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等。自上世紀(jì)60年代第一個(gè)混沌系統(tǒng)——Lorenz系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)以來［1］，人們相繼發(fā)現(xiàn)了多個(gè)混沌吸引子［2－4］。2005年，Qi等提出了另外一種全新的混沌系統(tǒng)——Qi系統(tǒng)［5］，該系統(tǒng)與以往發(fā)現(xiàn)的系統(tǒng)最大不同之處在于它的每個(gè)方程均含有非線性乘積項(xiàng)，動(dòng)力學(xué)行為更為復(fù)雜。

隨著人們對(duì)混沌的基本特性的深入研究，有目的地控制或者加強(qiáng)已存在的混沌行為越來越廣泛地應(yīng)用于機(jī)械振動(dòng)、工程設(shè)計(jì)、電力電網(wǎng)動(dòng)態(tài)分析和保護(hù)、信號(hào)檢測(cè)與處理等領(lǐng)域，近年來，混沌現(xiàn)象應(yīng)用于圖像數(shù)據(jù)加密、保密通信、電子振蕩發(fā)生器設(shè)計(jì)等方面的研究取得了迅猛發(fā)展。在這些應(yīng)用中，通過電路設(shè)計(jì)來研究混沌信號(hào)和實(shí)現(xiàn)混沌控制已成為研究的熱點(diǎn)［6－9］。

本文基于Qi系統(tǒng)提出了一個(gè)新的系統(tǒng)，該系統(tǒng)含4個(gè)參數(shù)，每個(gè)方程都含有一個(gè)非線性項(xiàng)。通過理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真系統(tǒng)的Poincaré截面圖、功率譜、時(shí)域圖等，研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性;設(shè)計(jì)了新系統(tǒng)的硬件電路并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了新系統(tǒng)的混沌行為?；贚aSalle不變?cè)恚O(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的自適應(yīng)反饋控制器，將新混沌系統(tǒng)控制到不穩(wěn)平衡點(diǎn)，數(shù)值仿真證實(shí)了該方法的有效性和可行性。

1 新的混沌系統(tǒng)

本文提出的新混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

(1)式中:a，b，c，e是實(shí)常數(shù)。當(dāng) a=35，b=8/3，c=80，e=4.8，選取初值(1，－1，30)時(shí)，新系統(tǒng)存在一個(gè)典型的混沌吸引子，如圖1所示。

1.1 基本特性分析

在變換(x，y，z)→(－x，－y，z)下系統(tǒng)(1)具有不變性，即系統(tǒng)(1)關(guān)于z軸具有對(duì)稱性，系統(tǒng)中的參數(shù)均不影響這種對(duì)稱性的成立。

新系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，由(1)式得

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of sysytem(1)

1.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

在平衡點(diǎn)S0(0，0，0)，對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行線性化得到其Jacobian矩陣為

令 det(J0－ λI)=0 ，得到平衡點(diǎn)S0(0，0，0)相應(yīng)的3個(gè)特征根:λ1=37.578 8，λ2= －2.666 7，λ3= －73.578 8。其中 λ1為正實(shí)根，而 λ2和 λ3都是負(fù)實(shí)根，因此，平衡點(diǎn)S0為不穩(wěn)鞍結(jié)點(diǎn)。

由于2個(gè)非零平衡點(diǎn) S1，S2具有(x，y，z)→(－x，－y，z)的對(duì)稱性，因此2個(gè)解具有相同的性質(zhì)，故我們分析其中之一即可。在此只分析平衡點(diǎn)S1(－6.653 9，－2.030 5，79.694 8)的穩(wěn)定性。

在平衡點(diǎn)S1對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行線性化得到Jacobian矩陣為

令det(J0－λI)=0得到S1的特征根為λ1=－55.221 2，λ2=8.277 3+28.494 7i和λ3=8.277 3－28.494 7i。因?yàn)棣?為負(fù)實(shí)根，而λ2和λ3是一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，因而平衡點(diǎn)S1是不穩(wěn)焦結(jié)點(diǎn)，顯然S2也是不穩(wěn)焦結(jié)點(diǎn)。

由上述分析可知，系統(tǒng)(1)的3個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的，其中S0為不穩(wěn)鞍結(jié)點(diǎn);而另外2個(gè)平衡點(diǎn)S1和S2都是不穩(wěn)焦結(jié)點(diǎn)。

1.3 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

利用奇異值法計(jì)算系統(tǒng)(1)在參數(shù)a=35，b=8/3，c=80，e=4.8時(shí)的 Lyapunov指數(shù)分別為:λL1=8.365 8，λL2=0.003 1和 λL3= －47.072 4。從而我們得到新系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為

由于系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)大于零，而且系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)，由此可以斷定新系統(tǒng)是混沌的。

1.4 混沌吸引子

當(dāng)參數(shù)a=35，b=8/3，c=80，e=4.8時(shí)，系統(tǒng)(1)存在1個(gè)典型的混沌吸引子。圖1是利用matlab軟件，采用了四階Runge－Kutta離散化算法，運(yùn)行300 s后取后面的200 s數(shù)據(jù)得到的混沌吸引子相圖。

由圖1可見，新系統(tǒng)的混沌吸引子軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性。這個(gè)吸引子與Qi系統(tǒng)的吸引子形狀不相同(Qi系統(tǒng)有5個(gè)平衡點(diǎn)，而新系統(tǒng)只有3個(gè))，與其他系統(tǒng)(如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü和Liu系統(tǒng))的吸引子形狀也都不相同。

圖2給出了系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為分析。由圖2a可見，新系統(tǒng)的時(shí)域波形是非周期的，其解的流對(duì)初始值非常敏感。它的頻譜是連續(xù)譜，如圖2b所示，其峰值連成一片，頻譜圖中沒有明顯的波峰。說明新系統(tǒng)是混沌的，而且具有很寬的序列頻譜。

圖2 系統(tǒng)(1)的動(dòng)力學(xué)行為分析Fig.2 Dynamical analysis of sysytem(1)

選取x=0的截面，得到系統(tǒng)(1)的Poincaré截面圖，如圖2c所示。從圖2c可以看出Poincaré截面圖上是一些成片的密集的點(diǎn)，具有一定的分形結(jié)構(gòu)。一些葉片被反復(fù)折疊，說明了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為的復(fù)雜性。

2 電路的設(shè)計(jì)和仿真

對(duì)本文所提出的新系統(tǒng)進(jìn)行了振蕩器電路設(shè)計(jì)。由運(yùn)算放大器、模擬乘法器、電阻和電容器等實(shí)現(xiàn)加、減、乘法等運(yùn)算，并將3個(gè)狀態(tài)變量x，y和z連接成一個(gè)整體，混沌信號(hào)的輸出電平調(diào)為原來的 1/10。電路設(shè)計(jì)如圖3所示。

圖3 電路原理圖Fig.3 Circuit diagram of system(1)

圖3中:

上述的理論分析、數(shù)值仿真以及電路系統(tǒng)仿真均證明了本文提出的系統(tǒng)確實(shí)是一個(gè)新的混沌系統(tǒng)，具有混沌系統(tǒng)共有的一切特征;因?yàn)槠鋮?shù)多和電路的可實(shí)現(xiàn)性，使得該系統(tǒng)具有更多的潛在的應(yīng)用價(jià)值，如電路的抗干擾性、混沌通信和信息加密等，這將是我們下一步的研究工作。

3 自適應(yīng)混沌控制

基于LaSalle不變?cè)恚瑯?gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單的自適應(yīng)反饋控制器，將新混沌系統(tǒng)控制到3個(gè)不穩(wěn)平衡點(diǎn)上。

為了穩(wěn)定新系統(tǒng)的軌道到它的平衡點(diǎn)x*，設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)控制器［10－11］:

(7)式中，L是一個(gè)足夠大的正常數(shù)，滿足L≥nl。

圖4 系統(tǒng)(1)的仿真相圖Fig.4 Simulation diagrams of system(1)

3.1 零平衡點(diǎn)S0的穩(wěn)定

我們使用簡(jiǎn)單單一的控制器，并將控制器加在新系統(tǒng)的第二項(xiàng)上，受控系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

令˙k=－ry2，其中，選取時(shí)間t的步長(zhǎng)為0.000 7，當(dāng)參數(shù)分別a=35，b=8/3，c=80，e=4.8，未加控制的系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài)。初始值為x0=1.0，y0=1.0，z0=30，采用 Runge－Kutta離散法求解上面方程，運(yùn)行10 s后加入自適應(yīng)控制器(r=1)，系統(tǒng)(1)很快被控制在平衡點(diǎn) S0(0，0，0)上(見圖5)。通過系統(tǒng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，利用這個(gè)方法也可以將新系統(tǒng)控制到其他不穩(wěn)平衡點(diǎn)上。

圖5 控制系統(tǒng)(1)到零平衡點(diǎn)S0(0 0 0)，在t=10 s時(shí)加入控制Fig.5 Stabilization of the zero equilibrium point S0(0 0 0)for system(1)，the control is activated at t=10 s

3.2 非零平衡點(diǎn)S1，S2的穩(wěn)定

我們?nèi)允褂煤?jiǎn)單單一的控制器，并將控制器加在新系統(tǒng)的第2項(xiàng)上，令u=k(y－y*)，受控系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(9)式中，ˉk=－r(y－y*)2。時(shí)間t的步長(zhǎng)、系統(tǒng)參數(shù)、控制器參數(shù)r及初始值的選取與上面相同。當(dāng)y*= －2.030 5時(shí)，系統(tǒng)(1)被控制在S1(－6.653 9，－2.030 5，79.694 8)上(見圖 6);當(dāng)y*=2.030 5時(shí)，系統(tǒng)(1)被控制在S2(6.653 9，2.030 5，79.694 8)上(見圖7)。

圖6 控制系統(tǒng)(1)到平衡點(diǎn)S1(－6.6539，－2.0305，79.6948)，在t=10 s時(shí)加入控制Fig.6 Stabilization of the equilibrium point S1(－6.6539，－2.0305，79.6948)for system(1)，the control is activated at t=10 s

圖7 控制系統(tǒng)(1)到平衡點(diǎn)S2(6.6539，2.0305，79.6948)，在t=10 s時(shí)加入控制Fig.7 Stabilization of the equilibrium point S2(6.6539，2.0305，79.6948)for system(1)，the control is activated at t=10 s

4 結(jié)論

本文基于Qi系統(tǒng)提出了一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)含有4個(gè)參數(shù)，每個(gè)方程中各含有一個(gè)非線性乘積項(xiàng)。數(shù)值仿真和電路仿真發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的混沌吸引子形狀有別于Qi系統(tǒng)和其他Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)等。計(jì)算了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，通過理論分析、數(shù)值仿真、電路仿真驗(yàn)證了該系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性。基于LaSalle不變?cè)?，?gòu)造一簡(jiǎn)單的自適應(yīng)反饋控制器，將新系統(tǒng)控制到平衡點(diǎn)。數(shù)值模擬證實(shí)了控制方法的有效性。新系統(tǒng)的參數(shù)較多，并且可以用電子振蕩器電路來實(shí)現(xiàn)，所以它在電子測(cè)量、圖像數(shù)據(jù)加密、保密通信等領(lǐng)域中具有潛在的應(yīng)用價(jià)值，也是作者后續(xù)研究的工作。

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(編輯:魏琴芳)